Cours et exercices corrigés de L3 : Démonstrations fondamentales de L3 : Lebesgue, Banach et Sylow

1. Théorème de convergence dominée de Lebesgue

• Énoncé : soient $(X, \mathcal{A}, \mu)$ un espace mesuré et $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables à valeurs réelles convergeant $\mu$-presque partout vers une fonction mesurable $f$. S'il existe $g \in L^1(\mu)$ telle que, pour tout $n$, $|f_n| \le g$ presque partout, alors $f \in L^1(\mu)$ et

$$\lim_{n \to +\infty} \int |f_n - f| \, d\mu = 0, \qquad \text{donc} \qquad \lim_{n \to +\infty} \int f_n \, d\mu = \int f \, d\mu.$$

• Démonstration (lemme de Fatou) :

1. Intégrabilité de la limite : hors d'une réunion dénombrable d'ensembles négligeables, on a $|f_n| \le g$ pour tout $n$ et $f_n \to f$ ; par passage à la limite, $|f| \le g$ presque partout, donc $f \in L^1(\mu)$.
2. On pose $h_n = 2 g - |f_n - f|$. Presque partout, $|f_n - f| \le |f_n| + |f| \le 2 g$, donc $h_n \ge 0$, et $h_n \to 2 g$.
3. Lemme de Fatou appliqué aux fonctions positives $h_n$ : $\int 2 g \, d\mu \le \liminf \int h_n \, d\mu = \int 2 g \, d\mu - \limsup \int |f_n - f| \, d\mu$.
4. Comme $\int 2 g \, d\mu < +\infty$, on peut le soustraire : $\limsup \int |f_n - f| \, d\mu \le 0$, donc $\int |f_n - f| \, d\mu \to 0$.
5. Enfin $\left| \int f_n \, d\mu - \int f \, d\mu \right| \le \int |f_n - f| \, d\mu \to 0$.

• Contre-exemple : sur $[0 ; 1]$, $f_n = n \mathbf{1}_{]0 ; 1/n]}$ tend vers $0$ en tout point, mais $\int f_n = 1$ pour tout $n$ ; la plus petite majorante $\sup_n f_n$ vaut $\lfloor 1/x \rfloor \ge \frac{1}{x} - 1$ sur $]0 ; 1]$ et n'est pas intégrable.

2. Théorème de Baire et théorème de Banach-Steinhaus

• Théorème de Baire : dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. Forme équivalente (passage au complémentaire) : si un espace métrique complet non vide est réunion dénombrable de fermés $F_n$, l'un des $F_n$ est d'intérieur non vide.
• Théorème de Banach-Steinhaus : soient $E$ un espace de Banach, $F$ un espace vectoriel normé et $(T_i)_{i \in I}$ une famille d'applications linéaires continues de $E$ dans $F$. Si $\sup_{i \in I} \|T_i(x)\| < +\infty$ pour tout $x \in E$, alors $\sup_{i \in I} \|T_i\| < +\infty$.

• Démonstration :

1. Pour $n \in \mathbb{N}^{\ast}$, $F_n = \{x \in E \mid \forall i \in I, \|T_i(x)\| \le n\}$ est une intersection d'images réciproques du fermé $[0 ; n]$ par les applications continues $x \mapsto \|T_i(x)\|$ : c'est un fermé.
2. Par hypothèse, $E = \bigcup_{n \ge 1} F_n$. Comme $E$ est complet, le théorème de Baire fournit $n_0$ tel que $F_{n_0}$ contienne une boule fermée $\bar{B}(x_0, r)$ avec $r > 0$.
3. Soit $u \in E$ avec $\|u\| \le 1$. Alors $x_0 + r u$ et $x_0$ appartiennent à $F_{n_0}$, donc pour tout $i \in I$, par linéarité :
$$r \, \|T_i(u)\| = \|T_i(x_0 + r u) - T_i(x_0)\| \le n_0 + n_0 = 2 n_0.$$
4. Ainsi $\|T_i\| \le \frac{2 n_0}{r}$ pour tout $i \in I$.

• Application : si une suite $(T_k)$ d'applications linéaires continues sur un Banach converge simplement vers $T$, alors $T$ est linéaire et continue, avec $\|T\| \le \sup_k \|T_k\|$.
• Contre-exemple sans complétude : sur $\mathbb{R}[X]$ muni de $\|\sum a_k X^k\| = \max_k |a_k|$, les formes linéaires $T_n(P) = n a_n$ sont ponctuellement bornées (pour $P$ fixé, $a_n = 0$ dès que $n > \deg P$), mais $\|T_n\| = n$.

3. Théorème d'inversion locale

• Énoncé : soient $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $f : U \to \mathbb{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^1$ et $a \in U$ tel que $df(a)$ soit inversible. Il existe un ouvert $V$ contenant $a$ et un ouvert $W$ contenant $f(a)$ tels que $f$ induise une bijection de $V$ sur $W$ dont la réciproque est de classe $\mathcal{C}^1$.

• Démonstration (point fixe de Banach) :

1. Réduction : en remplaçant $f$ par $x \mapsto df(a)^{-1}\big(f(a + x) - f(a)\big)$, on se ramène à $a = 0$, $f(0) = 0$ et $df(0) = \mathrm{Id}$.
2. Pour $y$ fixé, on pose $\varphi_y(x) = x - f(x) + y$ : l'équation $f(x) = y$ équivaut à $\varphi_y(x) = x$. On a $d\varphi_y(x) = \mathrm{Id} - df(x)$, nulle en $0$ ; par continuité de $df$, il existe $r > 0$ tel que $\bar{B}(0, r) \subset U$ et $\|\mathrm{Id} - df(x)\| \le \frac{1}{2}$ pour $x \in \bar{B}(0, r)$.
3. Contraction : par l'inégalité des accroissements finis sur le convexe $\bar{B}(0, r)$, $\|\varphi_y(x) - \varphi_y(x')\| \le \frac{1}{2} \|x - x'\|$. Si $\|y\| < \frac{r}{2}$, alors $\|\varphi_y(x)\| \le \|\varphi_y(x) - \varphi_y(0)\| + \|y\| \le \frac{r}{2} + \|y\| < r$ : $\varphi_y$ envoie la boule fermée $\bar{B}(0, r)$, qui est complète, dans la boule ouverte $B(0, r)$.
4. Bijection locale : par le théorème du point fixe, chaque $y \in W = B(0, \frac{r}{2})$ a un unique antécédent $g(y)$ dans $\bar{B}(0, r)$, et $\|g(y)\| < r$. L'ensemble $V = B(0, r) \cap f^{-1}(W)$ est ouvert (continuité de $f$), contient $0$, et $f$ induit une bijection de $V$ sur $W$, de réciproque $g$.
5. Continuité de $g$ : de $x - x' = \big(\varphi_0(x) - \varphi_0(x')\big) + \big(f(x) - f(x')\big)$, on tire $\|x - x'\| \le 2 \|f(x) - f(x')\|$ sur $V$ : $g$ est $2$-lipschitzienne.
6. Différentiabilité de $g$ : pour $x \in V$, $\|\mathrm{Id} - df(x)\| \le \frac{1}{2} < 1$, donc $df(x)$ est inversible (série de Neumann). Pour $x = g(y)$ et $k = g(y + h) - g(y)$, on a $h = df(x) k + o(\|k\|)$ et $\|k\| \le 2 \|h\|$ ; donc $k = df(x)^{-1} h + o(\|h\|)$, c'est-à-dire $dg(y) = df(g(y))^{-1}$.
7. Classe $\mathcal{C}^1$ : $y \mapsto df(g(y))^{-1}$ est composée de $g$ (continue), de $df$ (continue) et de l'inversion $M \mapsto M^{-1}$ (continue sur $GL_n(\mathbb{R})$ par la formule de la comatrice) ; $g$ est donc de classe $\mathcal{C}^1$.

• Le résultat est local : $(x, y) \mapsto (e^x \cos y, e^x \sin y)$ a une différentielle inversible en tout point de $\mathbb{R}^2$ (jacobien $e^{2x}$), mais n'est pas injective (elle est $2\pi$-périodique en $y$).

4. Premier théorème de Sylow (existence)

• Énoncé : soit $G$ un groupe fini d'ordre $p^{\alpha} m$, avec $p$ premier, $\alpha \ge 1$ et $p \nmid m$. Alors $G$ possède un sous-groupe d'ordre $p^{\alpha}$ (un $p$-sous-groupe de Sylow).

• Lemme arithmétique : $p$ ne divise pas $N = \binom{p^{\alpha} m}{p^{\alpha}}$. En effet,

$$N = \prod_{j=0}^{p^{\alpha} - 1} \frac{p^{\alpha} m - j}{p^{\alpha} - j} ;$$
le facteur $j = 0$ vaut $m$, et pour $1 \le j < p^{\alpha}$ on a $v_p(j) < \alpha$, donc $v_p(p^{\alpha} m - j) = v_p(j) = v_p(p^{\alpha} - j)$. Ainsi $v_p(N) = v_p(m) = 0$.

• Démonstration (action par translation à gauche) :

1. Soit $\mathcal{X}$ l'ensemble des parties de $G$ à $p^{\alpha}$ éléments, de cardinal $N$. Le groupe $G$ agit sur $\mathcal{X}$ par $g \cdot A = g A = \{g a \mid a \in A\}$.
2. Les orbites forment une partition de $\mathcal{X}$ ; comme $p \nmid N$, l'une d'elles, $\mathcal{O}(A)$, a un cardinal non divisible par $p$.
3. Soit $H = \mathrm{Stab}(A) = \{g \in G \mid g A = A\}$, sous-groupe de $G$. Par la relation orbite-stabilisateur, $|G| = |\mathcal{O}(A)| \cdot |H|$ ; $p^{\alpha}$ divise $|G|$ et est premier avec $|\mathcal{O}(A)|$, donc $p^{\alpha}$ divise $|H|$ (lemme de Gauss).
4. Fixons $a \in A$. Pour $h \in H$, $h a \in h A = A$ ; l'application $h \mapsto h a$ est injective (simplification dans un groupe), de $H$ dans $A$, donc $|H| \le |A| = p^{\alpha}$.
5. Ainsi $|H| = p^{\alpha}$ : $H$ est un $p$-sous-groupe de Sylow de $G$.

• Suite du théorème (énoncés) : les $p$-Sylow sont deux à deux conjugués ; leur nombre $n_p$ divise $m$ et vérifie $n_p \equiv 1 \pmod{p}$.
• Exemple : si $|G| = 15$, alors $n_3$ divise $5$ et $n_3 \equiv 1 \pmod{3}$, donc $n_3 = 1$ ; de même $n_5 = 1$. Les deux Sylow sont distingués, d'intersection triviale, et $G \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, groupe cyclique.