Cours et exercices corrigés de L3 : Théorie de la Mesure et Intégration de Lebesgue

1. Tribus et mesures positives

• Tribu : $\mathcal{T} \subset \mathcal{P}(X)$ est une tribu si $X \in \mathcal{T}$, si $\mathcal{T}$ est stable par complémentaire et par réunion dénombrable (donc aussi par intersection dénombrable).
• Tribu borélienne $\mathcal{B}(X)$ : tribu engendrée par les ouverts de $X$. Sur $\mathbb{R}$, elle est aussi engendrée par les intervalles $]a ; b]$.
• Mesure positive : $\mu : \mathcal{T} \to [0 ; +\infty]$ avec $\mu(\emptyset) = 0$ et, pour toute suite $(A_n)$ d'éléments deux à deux disjoints, $\mu\left(\bigcup_n A_n\right) = \sum_n \mu(A_n)$ ($\sigma$-additivité).
• Propriétés : monotonie ; sous-additivité $\mu\left(\bigcup A_n\right) \le \sum \mu(A_n)$ ; continuité croissante : si $A_n \subset A_{n+1}$, $\mu\left(\bigcup A_n\right) = \lim \mu(A_n)$ ; continuité décroissante : si $A_{n+1} \subset A_n$ et $\mu(A_0) < +\infty$, $\mu\left(\bigcap A_n\right) = \lim \mu(A_n)$.
• Mesure de Lebesgue $\lambda$ : unique mesure sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ telle que $\lambda(]a ; b]) = b - a$ pour $a \le b$ ; elle est invariante par translation. Toute partie dénombrable est $\lambda$-négligeable, par exemple $\lambda(\mathbb{Q}) = 0$.
• Presque partout : une propriété est vraie $\mu$-p.p. si elle est vraie hors d'un ensemble de mesure nulle.

2. Fonctions mesurables et construction de l'intégrale

• Fonction mesurable : $f : (X, \mathcal{T}) \to \mathbb{R}$ est mesurable si $f^{-1}(B) \in \mathcal{T}$ pour tout borélien $B$ ; il suffit que $f^{-1}(]a ; +\infty[) \in \mathcal{T}$ pour tout $a \in \mathbb{R}$. Les fonctions continues sont boréliennes ; sommes, produits, $\sup_n$, $\liminf_n$ et limites simples de fonctions mesurables sont mesurables.
• Fonctions étagées positives : $\varphi = \sum_{i=1}^m c_i \mathbf{1}_{A_i}$ avec $c_i \ge 0$, $A_i \in \mathcal{T}$ ; $\int \varphi \, d\mu = \sum c_i \mu(A_i)$ (convention $0 \times \infty = 0$).
• Intégrale d'une fonction mesurable positive :

$$\int_X f \, d\mu = \sup \left\{ \int_X \varphi \, d\mu \;\middle|\; \varphi \text{ étagée}, \; 0 \le \varphi \le f \right\} \in [0 ; +\infty]$$

• Approximation : toute $f \ge 0$ mesurable est limite simple d'une suite croissante de fonctions étagées positives, par exemple $\varphi_n = \min\left(n, 2^{-n} \lfloor 2^n f \rfloor\right)$.
• Fonctions intégrables : $f$ est intégrable ($f \in \mathcal{L}^1(\mu)$) si $f$ est mesurable et $\int |f| \, d\mu < +\infty$ ; on pose $\int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu$. L'intégrale est linéaire et $\left|\int f \, d\mu\right| \le \int |f| \, d\mu$.

3. Théorèmes de convergence

• Convergence monotone (Beppo Levi) : si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite simple $f$, alors

$$\int_X f_n \, d\mu \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_X f \, d\mu$$
Corollaire (Tonelli pour les séries) : pour $g_n \ge 0$ mesurables, $\int \sum_n g_n \, d\mu = \sum_n \int g_n \, d\mu$.

• Lemme de Fatou : pour toute suite de fonctions mesurables positives, $\int \liminf_n f_n \, d\mu \le \liminf_n \int f_n \, d\mu$.
• Convergence dominée (Lebesgue) : soit $(f_n)$ une suite de fonctions mesurables convergeant $\mu$-p.p. vers $f$. S'il existe $g$ intégrable, indépendante de $n$, telle que $|f_n| \le g$ $\mu$-p.p. pour tout $n$, alors $f$ est intégrable et

$$\int_X |f_n - f| \, d\mu \to 0, \quad \text{donc} \quad \int_X f_n \, d\mu \to \int_X f \, d\mu$$

• Intégrales à paramètre : soit $F(x) = \int_\Omega h(x, t) \, d\mu(t)$, $x \in I$.

1. Continuité : si $x \mapsto h(x, t)$ est continue pour presque tout $t$ et $|h(x, t)| \le g(t)$ avec $g$ intégrable (pour tout $x$), alors $F$ est continue.
2. Dérivation : si de plus $I$ est un intervalle, $h(\cdot, t)$ est dérivable et $|\partial_x h(x, t)| \le g_1(t)$ avec $g_1$ intégrable, alors $F$ est dérivable et $F'(x) = \int_\Omega \partial_x h(x, t) \, d\mu(t)$.

4. Démonstrations : convergence monotone et inégalité de Markov

Théorème de convergence monotone. Soit $(f_n)$ une suite croissante de fonctions mesurables à valeurs dans $[0 ; +\infty]$ et $f = \lim f_n = \sup_n f_n$. Alors $\int f_n \, d\mu \to \int f \, d\mu$.

Démonstration.
1. $f$ est mesurable (sup de fonctions mesurables). Comme $f_n \le f_{n+1} \le f$, la suite $\left(\int f_n\right)$ est croissante et majorée par $\int f$ : elle a une limite $L \le \int f$.
2. Soit $\varphi = \sum_{i=1}^m c_i \mathbf{1}_{A_i}$ étagée avec $0 \le \varphi \le f$, et $c \in ]0 ; 1[$. Posons $E_n = \{x \mid f_n(x) \ge c \, \varphi(x)\}$, mesurable.
3. $(E_n)$ est croissante (car $(f_n)$ l'est) et $\bigcup_n E_n = X$ : si $\varphi(x) = 0$, $x \in E_0$ ; si $\varphi(x) > 0$, alors $c\varphi(x) < \varphi(x) \le f(x) = \lim f_n(x)$, donc $f_n(x) \ge c\varphi(x)$ pour $n$ assez grand.
4. Pour tout $n$ : $\int f_n \ge \int f_n \mathbf{1}_{E_n} \ge c \int \varphi \mathbf{1}_{E_n} = c \sum_{i=1}^m c_i \, \mu(A_i \cap E_n)$.
5. Par continuité croissante de la mesure, $\mu(A_i \cap E_n) \to \mu(A_i)$, donc $L \ge c \int \varphi$. En faisant $c \to 1$ puis en prenant le sup sur $\varphi$ : $L \ge \int f$. D'où $L = \int f$. $\square$

Inégalité de Markov. Pour $f$ mesurable positive et $a > 0$ : $\mu(\{f \ge a\}) \le \frac{1}{a} \int f \, d\mu$.

Démonstration. On a $a \mathbf{1}_{\{f \ge a\}} \le f$ point par point ; par croissance de l'intégrale, $a \, \mu(\{f \ge a\}) \le \int f \, d\mu$. $\square$

Corollaire. Si $f \ge 0$ et $\int f \, d\mu = 0$, alors $f = 0$ $\mu$-p.p. : $\{f > 0\} = \bigcup_{k \ge 1} \{f \ge 1/k\}$ et chaque $\mu(\{f \ge 1/k\}) \le k \int f = 0$.

5. Espaces $L^p$ et inégalités

• Espaces $L^p(\mu)$, $1 \le p < \infty$ : fonctions mesurables telles que $\int |f|^p \, d\mu < +\infty$, quotientées par l'égalité presque partout, normées par $\|f\|_p = \left(\int |f|^p \, d\mu\right)^{1/p}$. $L^\infty$ : fonctions essentiellement bornées. Ce sont des espaces de Banach (Riesz-Fischer) ; $L^2$ est un espace de Hilbert pour $\langle f, g \rangle = \int f \bar{g} \, d\mu$.
• Inégalité de Hölder : pour $p, q \in [1 ; +\infty]$ conjugués ($\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$), $\int |fg| \, d\mu \le \|f\|_p \|g\|_q$. Cas $p = q = 2$ : Cauchy-Schwarz.
• Inégalité de Minkowski : $\|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$.
• Inclusions : si $\mu(X) < +\infty$ et $1 \le p \le q \le \infty$, alors $L^q(\mu) \subset L^p(\mu)$, avec $\|f\|_p \le \mu(X)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \|f\|_q$ (Hölder). Sans finitude de la mesure, aucune inclusion n'est garantie.
• Lien avec Riemann : une fonction Riemann-intégrable sur un segment est Lebesgue-intégrable, avec la même intégrale. Une intégrale impropre absolument convergente est une intégrale de Lebesgue ; une intégrale seulement semi-convergente ne l'est pas.

6. Mesure produit et théorème de Fubini-Tonelli

Soient $(X, \mathcal{T}_X, \mu)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y, \nu)$ deux espaces mesurés $\sigma$-finis.

• Mesure produit : il existe une unique mesure $\mu \otimes \nu$ sur la tribu produit telle que $(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu(A)\nu(B)$. Exemple : $\lambda \otimes \lambda$ est la mesure de Lebesgue de $\mathbb{R}^2$.
• Tonelli : si $f : X \times Y \to [0 ; +\infty]$ est mesurable, alors

$$\int_{X \times Y} f \, d(\mu \otimes \nu) = \int_X \left(\int_Y f(x, y) \, d\nu(y)\right) d\mu(x) = \int_Y \left(\int_X f(x, y) \, d\mu(x)\right) d\nu(y)$$
(égalités dans $[0 ; +\infty]$, sans hypothèse d'intégrabilité).

• Fubini : si $f \in L^1(\mu \otimes \nu)$ — ce que l'on vérifie en appliquant Tonelli à $|f|$ —, les mêmes égalités ont lieu, toutes les intégrales étant finies.
• Changement de variables : si $\Phi : U \to V$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme entre ouverts de $\mathbb{R}^n$, $\int_V f(y) \, dy = \int_U f(\Phi(x)) \, |\det J_\Phi(x)| \, dx$ pour $f \ge 0$ mesurable ou $f$ intégrable.