Cours et exercices corrigés de L3 : Théorie des Groupes I : Morphismes, sous-groupes distingués et quotients

1. Groupes et sous-groupes

• Axiomes de groupe : un ensemble $G$ muni d'une loi interne $\cdot : G \times G \to G$ est un groupe si :

1. Associativité : $\forall x, y, z \in G, \quad (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$.
2. Élément neutre : $\exists e \in G, \forall x \in G, \quad e \cdot x = x \cdot e = x$.
3. Symétrique : $\forall x \in G, \exists x^{-1} \in G, \quad x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x = e$.

• Si de plus $\forall x, y \in G, \; xy = yx$, le groupe est dit abélien (ou commutatif).
• Caractérisation d'un sous-groupe : une partie $H \subset G$ est un sous-groupe (noté $H \le G$) si et seulement si $H \neq \emptyset$ et

$$\forall x, y \in H, \quad x y^{-1} \in H$$

• Exemples : $(\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$, le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$ (d'ordre $n!$), $\text{GL}_n(\mathbb{K})$ et son sous-groupe $\text{SL}_n(\mathbb{K})$.
• Sous-groupe engendré : pour $S \subset G$, $\langle S \rangle$ est l'intersection de tous les sous-groupes contenant $S$ ; c'est l'ensemble des produits finis d'éléments de $S$ et de leurs inverses.

2. Morphismes de groupes, noyau et image

• Soient $(G, \cdot)$ et $(G', \ast)$ deux groupes. Une application $f : G \to G'$ est un morphisme de groupes si :

$$\forall x, y \in G, \quad f(x \cdot y) = f(x) \ast f(y)$$

• Propriétés immédiates : $f(e_G) = e_{G'}$ et $\forall x \in G, \; f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$. L'image directe et l'image réciproque d'un sous-groupe par $f$ sont des sous-groupes.
• Noyau : $\text{Ker}(f) = f^{-1}(\{e_{G'}\})$, sous-groupe de $G$. Image : $\text{Im}(f) = f(G)$, sous-groupe de $G'$.
• Critère d'injectivité : $f$ est injectif $\iff \text{Ker}(f) = \{e_G\}$. En effet, $f(x) = f(y) \iff f(x^{-1}y) = e_{G'} \iff x^{-1}y \in \text{Ker}(f)$.
• Exemples : $\det : \text{GL}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}^{\ast}$ a pour noyau $\text{SL}_n(\mathbb{K})$ ; $\exp : (\mathbb{C}, +) \to (\mathbb{C}^{\ast}, \times)$ est surjectif de noyau $2i\pi\mathbb{Z}$.

3. Groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément

• Ordre d'un élément : si $\{k \ge 1 \mid g^k = e\}$ est non vide, son minimum $\omega(g)$ est l'ordre de $g$ ; alors $g^k = e \iff \omega(g) \mid k$, et $\langle g \rangle = \{e, g, \dots, g^{\omega(g)-1}\}$ est de cardinal $\omega(g)$.
• Sous-groupes de $\mathbb{Z}$ : ce sont exactement les $n\mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$ (si $H \neq \{0\}$, $n = \min(H \cap \mathbb{N}^{\ast})$ et la division euclidienne donne $H = n\mathbb{Z}$).
• Classification : tout groupe monogène infini est isomorphe à $\mathbb{Z}$ ; tout groupe cyclique d'ordre $n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, via $k \mapsto g^k$.
• Sous-groupes d'un groupe cyclique d'ordre $n$ : pour chaque diviseur $d$ de $n$, il existe un unique sous-groupe d'ordre $d$, et il est cyclique.
• Générateurs : $\bar{k}$ engendre $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ si et seulement si $k \wedge n = 1$ ; il y en a $\varphi(n)$ (indicatrice d'Euler). L'ordre de $\bar{k}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est $\frac{n}{k \wedge n}$.

4. Théorème de Lagrange et conséquences

• Classes à gauche : pour $H \le G$ et $g \in G$, $gH = \{gh \mid h \in H\}$. L'ensemble des classes à gauche est noté $G/H$ ; l'indice $[G : H]$ est son cardinal.
• Théorème de Lagrange : si $G$ est fini et $H \le G$, alors

$$|G| = |H| \times [G : H]$$

• Corollaires :

1. L'ordre de tout sous-groupe de $G$ divise $|G|$.
2. L'ordre de tout élément $g$ divise $|G|$ (appliquer Lagrange à $\langle g \rangle$), donc $g^{|G|} = e$.
3. Tout groupe d'ordre premier $p$ est cyclique (tout $g \neq e$ est d'ordre $p$), donc isomorphe à $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
4. Euler et Fermat : appliqué au groupe $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ d'ordre $\varphi(n)$ : $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$ si $a \wedge n = 1$ ; en particulier $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ si $p$ est premier et $p \nmid a$.

• Multiplicativité des indices : si $K \le H \le G$ avec $G$ fini, $[G : K] = [G : H] \times [H : K]$.

5. Démonstration du théorème de Lagrange

Énoncé. Soit $G$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$. Alors $|H|$ divise $|G|$ et $|G| = |H| \times [G : H]$.

Démonstration.
1. Relation d'équivalence. Posons $x \mathcal{R} y \iff x^{-1} y \in H$. Elle est réflexive ($x^{-1}x = e \in H$), symétrique (si $x^{-1}y \in H$, alors $y^{-1}x = (x^{-1}y)^{-1} \in H$) et transitive (si $x^{-1}y \in H$ et $y^{-1}z \in H$, alors $x^{-1}z = (x^{-1}y)(y^{-1}z) \in H$).
2. Les classes sont les $xH$. On a $y \mathcal{R} x \iff x^{-1}y \in H \iff \exists h \in H, \; y = xh \iff y \in xH$. Les classes d'équivalence forment une partition de $G$ : $G$ est réunion disjointe des $[G : H]$ classes à gauche distinctes.
3. Chaque classe a $|H|$ éléments. L'application $\tau_x : H \to xH$, $h \mapsto xh$ est surjective par définition de $xH$, et injective car $xh = xh' \implies h = h'$ (multiplication à gauche par $x^{-1}$). C'est une bijection, donc $|xH| = |H|$.
4. Dénombrement. $G$ étant réunion disjointe de $[G : H]$ parties ayant chacune $|H|$ éléments, $|G| = [G : H] \times |H|$. $\square$

Remarque. La démonstration vaut aussi avec les classes à droite $Hx$ ; l'application $xH \mapsto Hx^{-1}$ est une bijection entre classes à gauche et classes à droite, donc les deux indices coïncident même si $G$ est infini.

6. Sous-groupes distingués, quotient et théorème d'isomorphisme

• Un sous-groupe $H \le G$ est distingué (ou normal), noté $H \trianglelefteq G$, si

$$\forall g \in G, \; \forall h \in H, \quad g h g^{-1} \in H \qquad (\text{équivalent à } \forall g \in G, \; gH = Hg)$$

• Exemples : tout sous-groupe d'un groupe abélien ; tout noyau de morphisme ; $\text{SL}_n(\mathbb{K}) \trianglelefteq \text{GL}_n(\mathbb{K})$ ; $\mathfrak{A}_n \trianglelefteq \mathfrak{S}_n$ ; le centre $Z(G)$. Contre-exemple : $\langle (1\,2) \rangle$ n'est pas distingué dans $\mathfrak{S}_3$, car $(1\,3)(1\,2)(1\,3)^{-1} = (2\,3)$.
• Groupe quotient : si $H \trianglelefteq G$, la loi $(xH)(yH) = (xy)H$ est bien définie (indépendante des représentants) et fait de $G/H$ un groupe ; la surjection canonique $\pi : G \to G/H$ est un morphisme de noyau $H$.
• Premier théorème d'isomorphisme : pour tout morphisme de groupes $f : G \to G'$,

$$\text{Ker}(f) \trianglelefteq G \quad \text{et} \quad G/\text{Ker}(f) \simeq \text{Im}(f)$$
via $\bar{f}(x \,\text{Ker}(f)) = f(x)$ : $\bar{f}$ est bien définie et injective car $f(x) = f(y) \iff x^{-1}y \in \text{Ker}(f)$, et surjective sur $\text{Im}(f)$ par construction.

• Applications : $\text{GL}_n(\mathbb{K})/\text{SL}_n(\mathbb{K}) \simeq \mathbb{K}^{\ast}$ ; $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est le quotient de $\mathbb{Z}$ par le noyau de $k \mapsto e^{2ik\pi/n}$, d'où $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \simeq \mathbb{U}_n$.

7. Le groupe symétrique $\mathfrak{S}_n$

• Décomposition en cycles : toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ s'écrit comme produit de cycles à supports deux à deux disjoints, de façon unique à l'ordre près des facteurs ; ces cycles commutent.
• Ordre : l'ordre de $\sigma$ est le PPCM des longueurs des cycles de sa décomposition.
• Générateurs : les transpositions engendrent $\mathfrak{S}_n$ ; un $k$-cycle est produit de $k-1$ transpositions : $(a_1\, a_2 \, \dots \, a_k) = (a_1\, a_2)(a_2\, a_3)\cdots(a_{k-1}\, a_k)$.
• Signature : il existe un unique morphisme non trivial $\varepsilon : \mathfrak{S}_n \to \{-1, 1\}$ ($n \ge 2$) ; il vaut $-1$ sur les transpositions, et un $k$-cycle a pour signature $(-1)^{k-1}$.
• Groupe alterné : $\mathfrak{A}_n = \text{Ker}(\varepsilon)$ est distingué d'indice 2, d'ordre $\frac{n!}{2}$ pour $n \ge 2$.
• Conjugaison : deux permutations sont conjuguées dans $\mathfrak{S}_n$ si et seulement si elles ont le même type (mêmes longueurs de cycles) ; plus précisément $\tau (a_1 \, \dots \, a_k) \tau^{-1} = (\tau(a_1) \, \dots \, \tau(a_k))$.