Géométrie vectorielle et produit scalaire

Prérequis

Niveaux concernés et situation dans les programmes : au cycle 4, translations, rotations et homothéties, théorèmes de Pythagore et de Thalès, trigonométrie du triangle rectangle ; en seconde, vecteur associé à une translation, somme de vecteurs et relation de Chasles, produit par un réel, coordonnées, colinéarité et déterminant de deux vecteurs, équations cartésiennes et réduites de droites ; en première spécialité, produit scalaire (définitions, propriétés, formule d'Al-Kashi), équations de droites à l'aide d'un vecteur normal, équations de cercles, ensembles de points ; en terminale spécialité, vecteurs, droites et plans de l'espace, bases et repères, représentations paramétriques, produit scalaire dans l'espace, vecteur normal et équation cartésienne d'un plan, projeté orthogonal.
Plan de leçon possible : I. Vecteurs et colinéarité (seconde) ; II. Produit scalaire dans le plan (première) ; III. Géométrie dans l'espace et transformations (terminale). Le développement présenté au jury peut être la démonstration du théorème clé (expression analytique, formule d'Al-Kashi, cercle de diamètre $[AB]$ ) ou l'un des exercices proposés plus bas.
Prérequis des élèves : géométrie du collège (Pythagore et sa réciproque, Thalès, trigonométrie du triangle rectangle), repère orthonormé du plan, distance de deux points $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ , coordonnées du milieu d'un segment, résolution de systèmes linéaires $2 \times 2$ .
Recul attendu du candidat : structure d'espace vectoriel réel de dimension 2 ou 3, espace affine associé, forme bilinéaire symétrique définie positive et norme euclidienne, isométries et similitudes. Ce cadre éclaire la leçon mais ne s'expose pas tel quel aux élèves.

Proposition de plan en trois parties

I. Vecteurs du plan et colinéarité

Définition (seconde) : la translation qui transforme $A$ en $B$ associe à tout point $M$ l'unique point $M'$ tel que $ABM'M$ soit un parallélogramme, éventuellement aplati ; le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est associé à cette translation, et $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ si et seulement si $ABCD$ est un parallélogramme. Relation de Chasles $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ , produit par un réel, milieu $I$ de $[AB]$ caractérisé par $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . Dans une base $(\vec{\imath}, \vec{\jmath})$ , les vecteurs $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ ont pour déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$ . Propriété (démonstration exigible) : $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$ . Applications : trois points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires ; deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Toute droite admet une équation $ax + by + c = 0$ avec $(a ; b) \neq (0 ; 0)$ , de vecteur directeur $(-b ; a)$ . Exemple : $A(1 ; 2)$ , $B(3 ; 5)$ , $C(7 ; 11)$ donnent $\overrightarrow{AB}(2 ; 3)$ , $\overrightarrow{AC}(6 ; 9)$ et $2 \times 9 - 3 \times 6 = 0$ : les points sont alignés. Contre-exemple : l'égalité $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ ne signifie pas que $ABCD$ est un parallélogramme, mais que $ABDC$ en est un.

II. Produit scalaire dans le plan

Définition retenue : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ , de sorte que $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ . Expressions équivalentes, toutes à démontrer à partir de la définition choisie : dans une base orthonormée, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ ; si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont non nuls, $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos(\vec{u}, \vec{v})$ ; par projection, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ . Propriétés : symétrie, bilinéarité, $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ . Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v}$ si et seulement si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ , le vecteur nul étant orthogonal à tout vecteur. Théorèmes (démonstrations exigibles) : formule d'Al-Kashi $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ , qui généralise le théorème de Pythagore ; l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ . Applications : vecteur normal $(a ; b)$ à la droite $ax + by + c = 0$ , équation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$ d'un cercle, tangente à un cercle. Exemple : pour $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 0)$ , $C(1 ; 3)$ , $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4$ , $AB = 4$ et $AC = \sqrt{10}$ , d'où $\cos\widehat{BAC} = \frac{1}{\sqrt{10}}$ . Contre-exemple : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ n'entraîne pas $\vec{v} = \vec{w}$ , seulement $\vec{u} \perp (\vec{v} - \vec{w})$ .

III. Géométrie dans l'espace et transformations

Les vecteurs de l'espace se définissent comme dans le plan. Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres ; trois vecteurs non coplanaires forment une base, et un point $O$ avec une base forme un repère. Une droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ admet la représentation paramétrique $M = A + t\vec{u}$ , $t \in \mathbb{R}$ . Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace se calcule dans un plan contenant des représentants de ces vecteurs ; dans une base orthonormée, $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ . Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan ; un vecteur $\vec{n}$ non nul orthogonal à deux vecteurs non colinéaires d'un plan est normal à ce plan, et le plan passant par $A$ de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$ a une équation $ax + by + cz + d = 0$ . Propriété (démonstration exigible) : le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ , car $MN^2 = MH^2 + HN^2$ pour tout $N \in \mathcal{P}$ (Pythagore). Transformations : la translation de vecteur $\vec{u}$ envoie $M$ sur $M'$ tel que $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ et conserve les distances ; l'homothétie de centre $O$ et de rapport $k \neq 0$ envoie $M$ sur $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k\overrightarrow{OM}$ , transforme tout vecteur $\overrightarrow{AB}$ en $k\overrightarrow{AB}$ , multiplie les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$ ; la symétrie centrale est l'homothétie de rapport $-1$ . Les rotations du plan s'expriment simplement avec les nombres complexes (leçon 12).

Théorème clé et démonstration

Expression analytique du produit scalaire, formule d'Al-Kashi et cercle de diamètre [AB]

On définit le produit scalaire de deux vecteurs du plan par $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$ . (i) Dans une base orthonormée, si $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ , alors $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ ; en conséquence, le produit scalaire est symétrique et bilinéaire. (ii) Pour tout triangle $ABC$ , $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ et $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ . (iii) Pour deux points distincts $A$ et $B$ , l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ est le cercle de diamètre $[AB]$ .

Démonstration

1. Expression analytique. Dans une base orthonormée, le théorème de Pythagore donne $\|\vec{u}\|^2 = x^2 + y^2$ . Comme $\vec{u} + \vec{v}$ a pour coordonnées $(x + x' ; y + y')$ , on obtient $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2 = (x + x')^2 + (y + y')^2 - x^2 - y^2 - x'^2 - y'^2 = 2xx' + 2yy'$ , d'où $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'$ . Cette expression est visiblement symétrique et linéaire par rapport à chacun des deux vecteurs.
2. Développement du carré d'une différence. Par bilinéarité et symétrie, $\|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = \|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ .
3. Formule avec le cosinus. On note $\alpha = \widehat{BAC}$ et on choisit le repère orthonormé d'origine $A$ dont le premier vecteur est $\frac{1}{AB}\overrightarrow{AB}$ , orienté de sorte que $C$ ait une ordonnée positive. Alors $B(AB ; 0)$ et, par définition du cosinus et du sinus, $C(AC\cos\alpha ; AC\sin\alpha)$ . Le point 1 donne $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AC\cos\alpha + 0 = AB \times AC \times \cos\alpha$ .
4. Formule d'Al-Kashi. Par la relation de Chasles, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$ , donc par le point 2, $BC^2 = AC^2 - 2\,\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} + AB^2$ , et le point 3 conclut. Pour $\alpha = \frac{\pi}{2}$ , on retrouve le théorème de Pythagore, et sa réciproque puisque $\cos\alpha = 0$ équivaut à $\alpha = \frac{\pi}{2}$ pour $\alpha \in [0 ; \pi]$ .
5. Cercle de diamètre $[AB]$ . Soit $I$ le milieu de $[AB]$ , de sorte que $\overrightarrow{IB} = -\overrightarrow{IA}$ . Par Chasles et bilinéarité, $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (\overrightarrow{MI} + \overrightarrow{IA}) \cdot (\overrightarrow{MI} - \overrightarrow{IA}) = MI^2 - IA^2 = MI^2 - \frac{AB^2}{4}$ . Ainsi $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ si et seulement si $MI = \frac{AB}{2}$ , c'est-à-dire si et seulement si $M$ appartient au cercle de centre $I$ et de rayon $\frac{AB}{2}$ .

Développements possibles pour l’oral

Exercice de seconde (colinéarité) : dans un repère, $A(-1 ; 2)$ , $B(3 ; 4)$ , $C(1 ; -2)$ et $D(9 ; 2)$ . Montrer que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, puis que ces droites sont distinctes. Corrigé : $\overrightarrow{AB}(4 ; 2)$ et $\overrightarrow{CD}(8 ; 4)$ , de déterminant $4 \times 4 - 2 \times 8 = 0$ : les droites sont parallèles. Puis $\overrightarrow{AD}(10 ; 0)$ et $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = 4 \times 0 - 2 \times 10 = -20 \neq 0$ : $D \notin (AB)$ , donc les droites sont strictement parallèles.
Exercice de première (formule d'Al-Kashi) : dans un triangle $ABC$ , $AB = 5$ , $AC = 8$ et $\widehat{BAC} = 60°$ . Calculer $BC$ et $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ . Corrigé : $BC^2 = 25 + 64 - 2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 49$ , donc $BC = 7$ ; $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 5 \times 8 \times \frac{1}{2} = 20$ . Variante : retrouver l'angle à partir des trois longueurs.
Exercice de première (ensemble de points) : $A(1 ; 2)$ et $B(5 ; -2)$ . Déterminer une équation de l'ensemble des points $M(x ; y)$ tels que $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 0$ . Corrigé : $(1 - x)(5 - x) + (2 - y)(-2 - y) = 0$ équivaut à $x^2 - 6x + 5 + y^2 - 4 = 0$ , soit $(x - 3)^2 + y^2 = 8$ : c'est le cercle de centre $I(3 ; 0)$ , milieu de $[AB]$ , et de rayon $2\sqrt{2} = \frac{AB}{2}$ , conformément au théorème clé.
Exercice de terminale (projeté orthogonal) : $\mathcal{P}$ est le plan d'équation $2x - y + 2z - 1 = 0$ et $M(3 ; 1 ; 4)$ . Déterminer le projeté orthogonal $H$ de $M$ sur $\mathcal{P}$ et la distance de $M$ à $\mathcal{P}$ . Corrigé : $\vec{n}(2 ; -1 ; 2)$ est normal à $\mathcal{P}$ ; la droite passant par $M$ dirigée par $\vec{n}$ a pour représentation $(3 + 2t ; 1 - t ; 4 + 2t)$ ; elle coupe $\mathcal{P}$ lorsque $12 + 9t = 0$ , soit $t = -\frac{4}{3}$ , d'où $H\left(\frac{1}{3} ; \frac{7}{3} ; \frac{4}{3}\right)$ et $MH = \frac{4}{3}\|\vec{n}\| = 4$ .
Prolongements : théorème de la médiane $MA^2 + MB^2 = 2MI^2 + \frac{AB^2}{2}$ ; droite d'Euler (si $O$ est le centre du cercle circonscrit, le point $H$ défini par $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ est l'orthocentre, et $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$ ) ; distance d'un point à un plan $\frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ ; rotations et similitudes par les nombres complexes (leçon 12) ; cadre des espaces préhilbertiens (leçon 05).

Remarques et questions du jury

Erreur fréquente d'élève : traduire « $ABCD$ est un parallélogramme » par $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ . La bonne égalité est $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ; faire tracer la figure suffit en général à corriger.
Erreur fréquente d'élève : utiliser $xx' + yy'$ dans une base non orthonormée. Si $\|\vec{\imath}\| = \|\vec{\jmath}\| = 1$ et $(\vec{\imath}, \vec{\jmath}) = \frac{\pi}{3}$ , alors $\vec{\imath} \cdot \vec{\jmath} = \frac{1}{2}$ , alors que la formule donnerait $1 \times 0 + 0 \times 1 = 0$ .
Erreur fréquente d'élève : « simplifier » par un vecteur dans $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}$ . Avec $\vec{u}(1 ; 0)$ , $\vec{v}(0 ; 1)$ et $\vec{w}(0 ; 2)$ , les deux produits sont nuls alors que $\vec{v} \neq \vec{w}$ .
Erreur fréquente d'élève dans l'espace : croire qu'une droite orthogonale à une seule droite d'un plan est orthogonale au plan, ou que deux droites orthogonales sont sécantes. Il faut deux droites sécantes du plan, et l'orthogonalité de deux droites ne dit rien de leur intersection (arêtes opposées d'un cube).
Le jury demande quelle définition du produit scalaire a été choisie : une leçon qui utilise successivement les normes, la projection, le cosinus et les coordonnées sans en démontrer l'équivalence est circulaire. Il faut aussi savoir dire ce qu'est un vecteur au niveau de la seconde (translation) et au niveau supérieur (élément d'un espace vectoriel, classe de bipoints équipollents).
Le mot « angle » cache deux notions : l'angle géométrique $\widehat{BAC} \in [0 ; \pi]$ , qui suffit pour le produit scalaire puisque le cosinus est pair, et l'angle orienté de vecteurs, défini modulo $2\pi$ , indispensable pour les rotations.

Exercices corrigés

Exercice 1 Critère de colinéarité par le déterminant

Palier 1 · découverte

Dans une base du plan, on considère $\vec{u}(x ; y)$ et $\vec{v}(x' ; y')$ . Quelle condition est nécessaire et suffisante pour que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ soient colinéaires ?

$xy' - x'y = 0$
$xx' + yy' = 0$
$x = x'$ et $y = y'$
$xy - x'y' = 0$

Un indice

Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ , la colinéarité signifie qu'il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ : comparer les « produits en croix ».

Voir la correction

Bonne réponse : A. $xy' - x'y = 0$

Si $\vec{v} = k\vec{u}$ , alors $x' = kx$ et $y' = ky$ , donc $xy' - x'y = kxy - kxy = 0$ (de même si $\vec{u} = k\vec{v}$ ). Réciproquement, si $xy' - x'y = 0$ et $\vec{u} = \vec{0}$ , les vecteurs sont colinéaires ; si par exemple $x \neq 0$ , on pose $k = \frac{x'}{x}$ : alors $x' = kx$ et $y' = \frac{x'y}{x} = ky$ , donc $\vec{v} = k\vec{u}$ (cas $y \neq 0$ analogue). La condition $xx' + yy' = 0$ caractérise l'orthogonalité dans une base orthonormée, et $x = x'$ , $y = y'$ l'égalité des vecteurs.

Exercice 2 Retrouver un angle par la formule d'Al-Kashi

Palier 2 · application

Dans un triangle $ABC$ , on a $AB = 3$ , $AC = 4$ et $BC = \sqrt{13}$ . Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ ?

$60°$
$30°$
$45°$
$120°$

Un indice

Isoler $\cos\widehat{BAC}$ dans $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB \times AC \times \cos\widehat{BAC}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $60°$

La formule d'Al-Kashi donne $13 = 9 + 16 - 24\cos\widehat{BAC}$ , donc $\cos\widehat{BAC} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$ . Comme $\widehat{BAC} \in [0° ; 180°]$ , on obtient $\widehat{BAC} = 60°$ . La réponse $120°$ correspond à un cosinus égal à $-\frac{1}{2}$ , c'est-à-dire à $BC^2 = 37$ .

Exercice 3 Distance d'un point à un plan de l'espace

Palier 3 · approfondissement

Dans un repère orthonormé de l'espace, $\mathcal{P}$ est le plan d'équation $x - 2y + 2z - 5 = 0$ et $A(1 ; 1 ; 1)$ . Quelle est la distance du point $A$ au plan $\mathcal{P}$ ?

$\frac{4}{3}$
$\frac{4}{9}$
$\frac{2}{3}$
$4$

Un indice

Chercher le projeté orthogonal $H$ de $A$ sous la forme $H = A + t\vec{n}$ , avec $\vec{n}(1 ; -2 ; 2)$ normal à $\mathcal{P}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\frac{4}{3}$

Le point $A + t\vec{n} = (1 + t ; 1 - 2t ; 1 + 2t)$ appartient à $\mathcal{P}$ lorsque $(1 + t) - 2(1 - 2t) + 2(1 + 2t) - 5 = 0$ , soit $9t - 4 = 0$ , donc $t = \frac{4}{9}$ . La distance cherchée est $AH = |t|\,\|\vec{n}\| = \frac{4}{9} \times 3 = \frac{4}{3}$ , ce que confirme la formule $\frac{|1 - 2 + 2 - 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{4}{3}$ . La valeur $\frac{4}{9}$ oublie de multiplier par la norme de $\vec{n}$ .

Exercice 4 Composée de deux homothéties

Palier 4 · défi

Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan, $h_1$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $2$ , et $h_2$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $\frac{1}{2}$ . Quelle est la transformation $h_2 \circ h_1$ ?

La translation de vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
L'identité du plan
La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
La symétrie centrale de centre le milieu de $[AB]$

Un indice

Exprimer $\overrightarrow{AM_1}$ puis $\overrightarrow{BM_2}$ , où $M_1 = h_1(M)$ et $M_2 = h_2(M_1)$ , et calculer $\overrightarrow{MM_2}$ par la relation de Chasles.

Voir la correction

Bonne réponse : A. La translation de vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

Pour tout point $M$ , $\overrightarrow{AM_1} = 2\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM_2} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BM_1}$ . Alors $\overrightarrow{MM_2} = \overrightarrow{MB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BM_1} = \overrightarrow{MB} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{AM}) = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{AM} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ . Le vecteur $\overrightarrow{MM_2}$ ne dépend pas de $M$ : $h_2 \circ h_1$ est la translation de vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , non triviale car $A \neq B$ . Plus généralement, la composée de deux homothéties de rapports $k$ et $k'$ est une homothétie de rapport $kk'$ si $kk' \neq 1$ , et une translation si $kk' = 1$ .