Nombres complexes — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Niveaux concernés et situation dans les programmes : les nombres complexes sont étudiés en terminale dans l'option mathématiques expertes de la voie générale (forme algébrique, conjugué, équations du second degré à coefficients réels, formule du binôme, module et argument, forme trigonométrique et exponentielle, formules d'Euler et de Moivre, racines $n$ -ièmes de l'unité, utilisation en géométrie) ; ils figurent aussi dans les programmes de terminale STI2D et STL, au service de la physique (signaux sinusoïdaux, électricité). La trigonométrie (cercle trigonométrique, cosinus et sinus d'un réel) et le produit scalaire sont vus en première spécialité.
Plan de leçon possible : I. Forme algébrique et équations ; II. Module, argument et forme exponentielle ; III. Nombres complexes et géométrie. Le développement peut être le théorème clé (conjugaison et équations du second degré), le calcul de $\cos\frac{2\pi}{5}$ par les racines cinquièmes de l'unité, ou l'un des exercices proposés plus bas.
Prérequis des élèves : trinôme du second degré (discriminant, forme canonique, factorisation), trigonométrie du cercle, vecteurs et produit scalaire, raisonnement par récurrence, sommes de termes d'une suite géométrique.
Recul attendu du candidat : une construction de $\mathbb{C}$ (le plan $\mathbb{R}^2$ muni du produit $(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc)$ , ou le quotient $\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)$ ), le fait que $\mathbb{C}$ est un corps qui ne peut pas être ordonné, le théorème de d'Alembert-Gauss, le groupe $\mathbb{U}$ des complexes de module 1 et les similitudes directes $z \mapsto az + b$ .

Proposition de plan en trois parties

I. Forme algébrique, conjugué et équations

Théorème admis au lycée : il existe un ensemble $\mathbb{C}$ contenant $\mathbb{R}$ , muni d'une addition et d'une multiplication prolongeant celles de $\mathbb{R}$ et ayant les mêmes règles de calcul, contenant un élément $i$ tel que $i^2 = -1$ , et dont tout élément s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a, b$ réels (partie réelle et partie imaginaire). Conjugué $\bar{z} = a - ib$ : $\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$ , $\overline{z^n} = \bar{z}^n$ (démonstrations exigibles) ; $z\bar{z} = a^2 + b^2$ , ce qui donne l'inverse $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{a^2 + b^2}$ pour $z \neq 0$ ; $z$ est réel si et seulement si $\bar{z} = z$ , imaginaire pur si et seulement si $\bar{z} = -z$ . La formule du binôme vaut dans $\mathbb{C}$ . Équation $az^2 + bz + c = 0$ à coefficients réels, $a \neq 0$ , de discriminant $\Delta \lt 0$ : deux solutions conjuguées $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ . Factorisation $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \cdots + a^{n-1})$ : si $P(a) = 0$ , alors $P(z)$ se factorise par $z - a$ , et un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines. Exemple : $z^2 - 2z + 5 = 0$ a pour solutions $1 + 2i$ et $1 - 2i$ . Contre-exemple : il n'existe pas d'ordre sur $\mathbb{C}$ compatible avec les opérations, car on aurait $i^2 \ge 0$ , c'est-à-dire $-1 \ge 0$ .

II. Module, argument et forme exponentielle

Module $|z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ : $|zz'| = |z|\,|z'|$ , $\left|\frac{1}{z}\right| = \frac{1}{|z|}$ et inégalité triangulaire $|z + z'| \le |z| + |z'|$ . Pour $z \neq 0$ , un argument de $z$ est un réel $\theta$ tel que $z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)$ ; il est défini modulo $2\pi$ . On note $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ . Les formules d'addition des fonctions cosinus et sinus donnent $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$ , d'où $\arg(zz') \equiv \arg z + \arg z' \pmod{2\pi}$ , la formule de Moivre $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ (récurrence) et les formules d'Euler $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ , $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ , qui servent à linéariser : $\cos^3\theta = \frac{\cos(3\theta) + 3\cos\theta}{4}$ . Exemple : $1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ , donc $(1 + i)^8 = 16e^{2i\pi} = 16$ . Racines $n$ -ièmes de l'unité : les solutions de $z^n = 1$ sont les $e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ , $0 \le k \le n - 1$ , dont les images sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle unité ; leur somme est nulle pour $n \ge 2$ . Contre-exemple : $-2e^{i\frac{\pi}{3}}$ n'est pas une forme exponentielle, car le module est positif ; on écrit $-2e^{i\frac{\pi}{3}} = 2e^{-\frac{2i\pi}{3}}$ .

III. Nombres complexes et géométrie

Dans un repère orthonormé direct, le point $M(x ; y)$ et le vecteur $\vec{w}(x ; y)$ ont pour affixe $x + iy$ . Si $A$ et $B$ ont pour affixes $a$ et $b$ , alors $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $b - a$ , $AB = |b - a|$ , et le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\frac{a + b}{2}$ . Pour des vecteurs non nuls d'affixes $w$ et $w'$ , $(\vec{w}, \vec{w'}) \equiv \arg\frac{w'}{w} \pmod{2\pi}$ ; en particulier $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \arg\frac{c - a}{b - a}$ . Conséquences : pour $A$ , $B$ , $C$ distincts, ils sont alignés si et seulement si $\frac{c - a}{b - a}$ est réel, et $(AB) \perp (AC)$ si et seulement si ce quotient est imaginaire pur. Transformations : la translation de vecteur d'affixe $b$ s'écrit $z \mapsto z + b$ , l'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ s'écrit $z \mapsto \omega + k(z - \omega)$ , et la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ s'écrit $z \mapsto \omega + e^{i\theta}(z - \omega)$ . Exemple : si $a = 0$ , $b = 2$ et $c = 1 + i\sqrt{3}$ , alors $\frac{c - a}{b - a} = e^{i\frac{\pi}{3}}$ : le triangle $ABC$ est équilatéral. Le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points d'affixe $\omega + re^{i\theta}$ , $\theta \in \mathbb{R}$ .

Théorème clé et démonstration

Conjugaison et équations du second degré à coefficients réels

(i) Pour tous complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ , $\overline{zz'} = \bar{z}\,\bar{z'}$ et $\overline{z^n} = \bar{z}^n$ ; si $z \neq 0$ , $\overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = \frac{1}{\bar{z}}$ . (ii) Soit $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $a \neq 0$ et $\Delta = b^2 - 4ac \lt 0$ . L'équation $az^2 + bz + c = 0$ admet dans $\mathbb{C}$ exactement deux solutions, $z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \overline{z_1}$ , et pour tout complexe $z$ , $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$ .

Démonstration

1. Conjugué d'un produit. Avec $z = x + iy$ et $z' = x' + iy'$ , $zz' = (xx' - yy') + i(xy' + x'y)$ , donc $\overline{zz'} = (xx' - yy') - i(xy' + x'y)$ . Par ailleurs $\bar{z}\,\bar{z'} = (x - iy)(x' - iy') = (xx' - yy') - i(xy' + x'y)$ : les deux nombres sont égaux.
2. Puissances et inverse. La propriété $\overline{z^n} = \bar{z}^n$ est vraie pour $n = 0$ et, si elle est vraie au rang $n$ , alors $\overline{z^{n+1}} = \overline{z^n z} = \overline{z^n}\,\bar{z} = \bar{z}^{n+1}$ : elle est vraie pour tout $n$ par récurrence. Si $z \neq 0$ , en conjuguant $z \times \frac{1}{z} = 1$ , on obtient $\bar{z} \times \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} = 1$ , d'où le résultat.
3. Forme canonique. Les règles de calcul de $\mathbb{C}$ étant celles de $\mathbb{R}$ , on a pour tout complexe $z$ : $az^2 + bz + c = a\left[\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{\Delta}{4a^2}\right]$ .
4. Factorisation. Posons $\delta = \frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ . Alors $\delta^2 = \frac{i^2(-\Delta)}{4a^2} = \frac{\Delta}{4a^2}$ , donc $az^2 + bz + c = a\left(z + \frac{b}{2a} - \delta\right)\left(z + \frac{b}{2a} + \delta\right) = a(z - z_1)(z - z_2)$ , avec $z_1 = -\frac{b}{2a} + \delta$ et $z_2 = -\frac{b}{2a} - \delta$ .
5. Solutions. Dans $\mathbb{C}$ , un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : si $uv = 0$ et $u \neq 0$ , on multiplie par $\frac{1}{u}$ pour obtenir $v = 0$ . Comme $a \neq 0$ , les solutions sont exactement $z_1$ et $z_2$ . Elles sont distinctes car $\delta \neq 0$ , et conjuguées car $-\frac{b}{2a}$ est réel et $\delta$ imaginaire pur.
6. Remarque. Plus généralement, si $P$ est un polynôme à coefficients réels, le point 1 donne $P(\bar{z}) = \overline{P(z)}$ : les racines non réelles de $P$ vont par paires conjuguées.

Développements possibles pour l’oral

Exercice de terminale (équation et géométrie) : résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 6z + 13 = 0$ , puis montrer que le triangle formé par l'origine $O$ et les points images $A$ et $B$ des solutions est isocèle. Corrigé : $\Delta = 36 - 52 = -16 = (4i)^2$ , donc les solutions sont $3 + 2i$ et $3 - 2i$ ; $OA = OB = \sqrt{13}$ , et les points $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l'axe des réels.
Exercice de terminale (forme exponentielle) : on pose $z = 1 + i\sqrt{3}$ . Écrire $z$ sous forme exponentielle, calculer $z^6$ et déterminer les entiers $n$ pour lesquels $z^n$ est réel. Corrigé : $|z| = 2$ et $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ , donc $z^6 = 64e^{2i\pi} = 64$ . $z^n = 2^ne^{i\frac{n\pi}{3}}$ est réel si et seulement si $\frac{n\pi}{3} \equiv 0 \pmod{\pi}$ , c'est-à-dire si $n$ est multiple de 3. En revanche $z^n$ n'est jamais imaginaire pur, car $\frac{n}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2n - 3}{6}$ n'est jamais entier ( $2n - 3$ est impair).
Exercice de terminale (linéarisation) : linéariser $\cos^3 x$ et en déduire une primitive. Corrigé : $\cos^3 x = \frac{1}{8}\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^3 = \frac{1}{8}\left(e^{3ix} + 3e^{ix} + 3e^{-ix} + e^{-3ix}\right) = \frac{\cos(3x) + 3\cos x}{4}$ , donc $x \mapsto \frac{\sin(3x)}{12} + \frac{3\sin x}{4}$ est une primitive de $x \mapsto \cos^3 x$ sur $\mathbb{R}$ .
Exercice de terminale (configuration) : $A$ , $B$ , $C$ ont pour affixes $a = 1 + i$ , $b = 4 + 2i$ et $c = 4i$ . Calculer $\frac{c - a}{b - a}$ et en déduire la nature du triangle $ABC$ . Corrigé : $c - a = -1 + 3i = i(3 + i) = i(b - a)$ , donc $\frac{c - a}{b - a} = i$ : $AC = AB$ et $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}$ , le triangle est rectangle isocèle en $A$ ; $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ .
Prolongements : calcul de $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$ par les racines cinquièmes de l'unité et construction du pentagone régulier ; sommes $\sum_{k=0}^{n}\cos(kx)$ par une somme géométrique ; similitudes directes $z \mapsto az + b$ ; théorème de d'Alembert-Gauss ; exponentielle complexe et équations différentielles linéaires d'ordre 2 (leçon 01).

Remarques et questions du jury

Erreur fréquente d'élève : écrire $i = \sqrt{-1}$ puis appliquer $\sqrt{u}\sqrt{v} = \sqrt{uv}$ , ce qui conduit à $-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = \sqrt{1} = 1$ . Le symbole $\sqrt{\ }$ est réservé aux réels positifs.
Erreur fréquente d'élève : comparer des complexes (« $z \gt 0$ ») ou croire que le module et l'argument sont additifs pour la somme. Avec $z = 1$ et $z' = i$ , $|z + z'| = \sqrt{2} \neq |z| + |z'| = 2$ .
Erreur fréquente d'élève : calculer un argument de $a + ib$ par $\arctan\frac{b}{a}$ sans tenir compte du quadrant. Pour $-1 - i$ , on obtient $\frac{\pi}{4}$ au lieu de $-\frac{3\pi}{4}$ ; il faut contrôler les signes de $\cos\theta = \frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta = \frac{b}{|z|}$ .
Erreur fréquente d'élève : appliquer la formule $\frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ à une équation à coefficients non réels, ou oublier que les solutions d'une équation à coefficients réels sont conjuguées, ce qui fournit pourtant une vérification immédiate.
Le jury traque la circularité : si les formules d'addition du cosinus et du sinus ont été démontrées (par exemple à l'aide du produit scalaire), elles prouvent $e^{ia}e^{ib} = e^{i(a + b)}$ ; on ne peut pas ensuite « démontrer » les formules d'addition par cette relation. Il faut annoncer clairement ce qui est admis.
Le jury demande souvent comment justifier l'existence de $\mathbb{C}$ : elle est admise en terminale, mais le candidat doit savoir présenter une construction et expliquer pourquoi la forme algébrique est unique, ce qui fonde l'identification des parties réelles et imaginaires.

Exercices corrigés

Exercice 1 Inverse d'un nombre complexe

Palier 1 · découverte

Quelle est la forme algébrique de l'inverse du nombre complexe $3 + 4i$ ?

$\frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$
$\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$
$\frac{1}{3} + \frac{1}{4}i$
$\frac{3}{25} + \frac{4}{25}i$

Un indice

Multiplier le numérateur et le dénominateur de $\frac{1}{3 + 4i}$ par le conjugué du dénominateur.

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Bonne réponse : A. $\frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$

$\frac{1}{3 + 4i} = \frac{3 - 4i}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{3 - 4i}{9 + 16} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25}i$ . L'erreur $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}i$ revient à croire que l'inverse d'une somme est la somme des inverses ; l'erreur $\frac{3}{5} - \frac{4}{5}i$ divise par le module au lieu de son carré.

Exercice 2 Forme exponentielle d'un nombre complexe

Palier 2 · application

Quelle est la forme exponentielle du nombre complexe $-1 + i\sqrt{3}$ ?

$2e^{\frac{2i\pi}{3}}$
$2e^{-\frac{i\pi}{3}}$
$2e^{\frac{i\pi}{3}}$
$4e^{\frac{2i\pi}{3}}$

Un indice

Calculer le module, puis chercher un réel $\theta$ dont le cosinus et le sinus sont les coordonnées du nombre divisé par son module.

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Bonne réponse : A. $2e^{\frac{2i\pi}{3}}$

$|-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2$ , et $-1 + i\sqrt{3} = 2\left(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ . On cherche $\theta$ tel que $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ et $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ : $\theta = \frac{2\pi}{3}$ convient. Donc $-1 + i\sqrt{3} = 2e^{\frac{2i\pi}{3}}$ . Le module vaut $2$ et non $4$ ; l'argument $-\frac{\pi}{3}$ provient d'un calcul par $\arctan(-\sqrt{3})$ sans tenir compte du quadrant.

Exercice 3 Somme des racines cubiques de l'unité

Palier 3 · approfondissement

On pose $j = e^{\frac{2i\pi}{3}}$ . Quelle est la valeur de $1 + j + j^2$ ?

$0$
$1$
$3$
$-1$

Un indice

$j$ est une racine de $z^3 - 1$ , qui se factorise par $z - 1$ .

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Bonne réponse : A. $0$

$j^3 = e^{2i\pi} = 1$ et $z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$ . Comme $j \neq 1$ , on obtient $1 + j + j^2 = 0$ . Géométriquement, les points d'affixes $1$ , $j$ , $j^2$ forment un triangle équilatéral de centre $O$ , dont l'isobarycentre est l'origine. On peut aussi calculer : $j = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $j^2 = \bar{j} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Exercice 4 Caractérisation d'un triangle équilatéral

Palier 4 · défi

Les points $A$ , $B$ , $C$ distincts ont pour affixes $a$ , $b$ , $c$ . On suppose que $\frac{c - a}{b - a} = e^{\frac{i\pi}{3}}$ . Que peut-on en conclure ?

Le triangle $ABC$ est équilatéral
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
Les points $A$ , $B$ , $C$ sont alignés
Le triangle $ABC$ est isocèle en $B$ sans être équilatéral

Un indice

Interpréter le module et un argument du quotient $\frac{c - a}{b - a}$ en termes de longueurs et d'angle orienté.

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Bonne réponse : A. Le triangle $ABC$ est équilatéral

Le module donne $\frac{AC}{AB} = 1$ , donc $AC = AB$ , et un argument donne $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) \equiv \frac{\pi}{3} \pmod{2\pi}$ . Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ avec un angle principal de $60°$ : ses deux autres angles valent aussi $60°$ , il est équilatéral (et direct). Autrement dit, $C$ est l'image de $B$ par la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ . Le quotient serait réel pour des points alignés et imaginaire pur pour un angle droit en $A$ .