Cours et exercices corrigés de L1 : Démonstrations fondamentales de L1 : analyse, algèbre et topologie

1. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) par dichotomie

• Énoncé : soient $a < b$ deux réels et $f : [a ; b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $f(a) f(b) < 0$. Alors il existe $c \in ]a ; b[$ tel que $f(c) = 0$.

• Démonstration (dichotomie) :

1. Réduction : quitte à remplacer $f$ par $-f$ (continue, de mêmes zéros), on suppose $f(a) < 0 < f(b)$.
2. Construction : on pose $a_0 = a$, $b_0 = b$. Si $a_n \le b_n$ sont construits avec $f(a_n) \le 0 \le f(b_n)$, on note $m_n = \frac{a_n + b_n}{2}$ ; si $f(m_n) \le 0$, on pose $a_{n+1} = m_n$ et $b_{n+1} = b_n$, sinon $a_{n+1} = a_n$ et $b_{n+1} = m_n$. Par récurrence, pour tout $n$ : $f(a_n) \le 0 \le f(b_n)$, $a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n$ et $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$.
3. Suites adjacentes : $(a_n)$ est croissante, $(b_n)$ décroissante et $b_n - a_n \to 0$ ; elles convergent vers une même limite $c \in [a ; b]$.
4. Passage à la limite : $f$ est continue en $c$, donc $f(a_n) \to f(c)$ et $f(b_n) \to f(c)$. Les inégalités larges passent à la limite : $f(c) \le 0$ et $f(c) \ge 0$, d'où $f(c) = 0$.
5. Localisation : $f(a) < 0$ et $f(b) > 0$, donc $c \ne a$ et $c \ne b$, c'est-à-dire $c \in ]a ; b[$.

• Corollaire : l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
• Contre-exemple sans continuité : $f = -1$ sur $[0 ; 1[$ et $f(1) = 1$ ; on a $f(0) f(1) < 0$ mais $f$ ne s'annule pas.

2. Théorème de Bolzano-Weierstrass dans ℝ

• Énoncé : de toute suite réelle bornée $(u_n)$, on peut extraire une sous-suite $(u_{\varphi(k)})$ convergente ($\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ strictement croissante).

• Démonstration (dichotomie) :

1. Soit $[a_0 ; b_0]$ un segment contenant tous les $u_n$. Pour un segment $S$, on note $A(S) = \{n \in \mathbb{N} \mid u_n \in S\}$ ; ici $A([a_0 ; b_0]) = \mathbb{N}$ est infini.
2. Construction : si $[a_k ; b_k]$ est construit avec $A([a_k ; b_k])$ infini, on note $m_k = \frac{a_k + b_k}{2}$. On a $A([a_k ; b_k]) = A([a_k ; m_k]) \cup A([m_k ; b_k])$, donc l'un de ces deux ensembles est infini : on appelle $[a_{k+1} ; b_{k+1}]$ le demi-segment correspondant (le gauche s'il convient).
3. Extraction : on pose $\varphi(0) = 0$ puis, $\varphi(k)$ étant choisi, on prend pour $\varphi(k+1)$ un élément de $A([a_{k+1} ; b_{k+1}])$ strictement supérieur à $\varphi(k)$ ; il en existe, car cet ensemble est infini. Ainsi $\varphi$ est strictement croissante et $a_k \le u_{\varphi(k)} \le b_k$ pour tout $k$.
4. Convergence : $(a_k)$ croît, $(b_k)$ décroît et $b_k - a_k = \frac{b_0 - a_0}{2^k} \to 0$ ; ces suites adjacentes ont une limite commune $\ell$, et par encadrement $u_{\varphi(k)} \to \ell$.

• Rôle de la complétude : le théorème des suites adjacentes repose sur la propriété de la borne supérieure. Dans $\mathbb{Q}$, la suite des approximations décimales par défaut de $\sqrt{2}$ est bornée mais n'a aucune sous-suite convergeant dans $\mathbb{Q}$.

3. Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis

• Théorème de Rolle : soient $a < b$ et $f : [a ; b] \to \mathbb{R}$ continue sur $[a ; b]$, dérivable sur $]a ; b[$, avec $f(a) = f(b)$. Alors il existe $c \in ]a ; b[$ tel que $f'(c) = 0$.

• Démonstration :

1. $f$ est continue sur le segment $[a ; b]$ : elle est bornée et atteint ses bornes, en des points $x_m$ (minimum) et $x_M$ (maximum).
2. Si $x_m$ et $x_M$ sont tous deux des extrémités de $[a ; b]$, alors $\min f = \max f = f(a)$ : $f$ est constante et tout $c \in ]a ; b[$ convient.
3. Sinon, l'un d'eux, noté $c$, appartient à $]a ; b[$ ; supposons que $f$ y atteigne son maximum (l'autre cas est symétrique). Pour $h > 0$ assez petit, $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \le 0$ ; pour $h < 0$ assez petit, $\frac{f(c+h) - f(c)}{h} \ge 0$.
4. $f$ est dérivable en $c$, point intérieur : les limites à droite et à gauche de ces taux valent $f'(c)$, donc $f'(c) \le 0$ et $f'(c) \ge 0$, soit $f'(c) = 0$.

• Théorème des accroissements finis : sous les mêmes hypothèses, sans supposer $f(a) = f(b)$, il existe $c \in ]a ; b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$.
• Démonstration : la fonction $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ est continue sur $[a ; b]$, dérivable sur $]a ; b[$ et vérifie $g(a) = g(b) = f(a)$ ; le théorème de Rolle fournit $c$ avec $g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$.
• Conséquence : si $f' \ge 0$ sur un intervalle, $f$ y est croissante ; si $|f'| \le k$, $f$ est $k$-lipschitzienne.
• Contre-exemple : $x \mapsto |x|$ sur $[-1 ; 1]$ vérifie $f(-1) = f(1)$, mais n'est pas dérivable en $0$ et sa dérivée ne s'annule jamais.

4. Théorème du rang pour les applications linéaires

• Énoncé : soient $E, F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels, $E$ de dimension finie $n$, et $u \in \mathcal{L}(E, F)$. Alors $\mathrm{Im}(u)$ est de dimension finie et

$$\dim E = \dim \ker u + \mathrm{rg}(u).$$

• Démonstration (base incomplète) :

1. $\ker u$ est un sous-espace de $E$, de dimension $k \le n$ ; soit $(e_1, \dots, e_k)$ une base de $\ker u$ (famille vide si $k = 0$).
2. Par le théorème de la base incomplète, on la complète en une base $(e_1, \dots, e_n)$ de $E$.
3. Famille génératrice : pour $x = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i e_i$, on a $u(x) = \sum_{i=k+1}^{n} \lambda_i u(e_i)$ puisque $u(e_i) = 0$ pour $i \le k$ ; donc $(u(e_{k+1}), \dots, u(e_n))$ engendre $\mathrm{Im}(u)$.
4. Famille libre : si $\sum_{i=k+1}^{n} \mu_i u(e_i) = 0$, alors $v = \sum_{i=k+1}^{n} \mu_i e_i$ vérifie $u(v) = 0$, donc $v \in \ker u$ et il existe $\nu_1, \dots, \nu_k$ tels que $v = \sum_{j=1}^{k} \nu_j e_j$. Ainsi $\sum_{j=1}^{k} \nu_j e_j - \sum_{i=k+1}^{n} \mu_i e_i = 0$ ; la famille $(e_1, \dots, e_n)$ étant libre, tous les coefficients sont nuls, en particulier $\mu_{k+1} = \dots = \mu_n = 0$.
5. $(u(e_{k+1}), \dots, u(e_n))$ est donc une base de $\mathrm{Im}(u)$ et $\mathrm{rg}(u) = n - k$.

• Forme géométrique : $u$ induit un isomorphisme de tout supplémentaire de $\ker u$ dans $E$ sur $\mathrm{Im}(u)$.
• Conséquence : si $\dim E = \dim F < +\infty$, alors $u$ injective $\iff$ $u$ surjective $\iff$ $u$ bijective. C'est faux en dimension infinie : la dérivation $P \mapsto P'$ de $\mathbb{R}[X]$ est surjective mais pas injective.