Cours et exercices corrigés de L1 : Géométrie euclidienne plane, repères orthonormés et coniques

1. Produit scalaire, norme, Cauchy-Schwarz

Pour $u = (x, y)$ et $v = (x', y')$ : $\langle u, v \rangle = xx' + yy'$ et $\|u\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

• Le produit scalaire est bilinéaire, symétrique et défini positif ($\langle u, u \rangle = 0 \iff u = 0$). Polarisation : $\langle u, v \rangle = \frac{1}{2}\big(\|u + v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2\big)$.
• Si $u, v \neq 0$ : $\langle u, v \rangle = \|u\|\,\|v\|\cos\theta$, $\theta$ étant l'angle entre $u$ et $v$ ; $u \perp v \iff \langle u, v \rangle = 0$. Pythagore : $u \perp v \iff \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2$.

Théorème (Cauchy-Schwarz) : $|\langle u, v \rangle| \le \|u\|\,\|v\|$, avec égalité si et seulement si $u$ et $v$ sont colinéaires.
Démonstration.
1. Si $v = 0$, c'est immédiat. Sinon, pour $t \in \mathbb{R}$, $P(t) = \|u + tv\|^2 = \|v\|^2 t^2 + 2\langle u, v \rangle t + \|u\|^2 \ge 0$.
2. Ce trinôme de degré $2$ est de signe constant, donc son discriminant est négatif ou nul : $4\langle u, v \rangle^2 - 4\|u\|^2\|v\|^2 \le 0$.
3. Égalité $\iff$ le discriminant est nul $\iff$ $P$ a une racine $t_0$ $\iff u + t_0 v = 0$, c'est-à-dire $u$ et $v$ colinéaires.
Conséquence : l'inégalité triangulaire $\|u + v\| \le \|u\| + \|v\|$.

2. Droites et distance d'un point à une droite

• Une droite $\mathcal{D}$ admet une équation $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$ ; $\vec{n} = (a, b)$ est normal et $\vec{u} = (-b, a)$ directeur. Représentation paramétrique : $M = M_0 + t\vec{u}$, $t \in \mathbb{R}$.
• Deux vecteurs $(x, y)$, $(x', y')$ sont colinéaires si et seulement si $\det = xy' - x'y = 0$ ; $|xy' - x'y|$ est l'aire du parallélogramme qu'ils engendrent.

Théorème : pour $A(x_A, y_A)$, $d(A, \mathcal{D}) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
Démonstration.
1. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$. Pour $M \in \mathcal{D}$, Pythagore donne $AM^2 = AH^2 + HM^2 \ge AH^2$ : la distance vaut $AH$.
2. $\overrightarrow{HA}$ est colinéaire à $\vec{n}$, donc $|\langle \overrightarrow{HA}, \vec{n} \rangle| = AH\,\|\vec{n}\|$ (cas d'égalité de Cauchy-Schwarz).
3. Avec $H = (x_H, y_H)$ et $ax_H + by_H = -c$ : $\langle \overrightarrow{HA}, \vec{n} \rangle = a(x_A - x_H) + b(y_A - y_H) = ax_A + by_A + c$. D'où la formule.

3. Cercles

• Le cercle de centre $\Omega(x_0, y_0)$ et de rayon $R > 0$ a pour équation $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, et pour paramétrage $x = x_0 + R\cos t$, $y = y_0 + R\sin t$.
• Reconnaître un cercle : $x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$ s'écrit $\left(x + \frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{\beta}{2}\right)^2 = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{4} - \gamma$ ; c'est un cercle si le second membre est strictement positif, un point s'il est nul, l'ensemble vide s'il est négatif.
• Cercle de diamètre $[AB]$ : $M$ appartient au cercle si et seulement si $\langle \overrightarrow{MA}, \overrightarrow{MB} \rangle = 0$.
• Droite et cercle : avec $d = d(\Omega, \mathcal{D})$, la droite est sécante si $d < R$, tangente si $d = R$, extérieure si $d > R$. La tangente en $M_0$ est la droite passant par $M_0$ et orthogonale à $\overrightarrow{\Omega M_0}$.

4. Coniques : définition par foyer et directrice

Soient $F$ un point, $\mathcal{D}$ une droite ne passant pas par $F$ et $e > 0$. La conique de foyer $F$, directrice $\mathcal{D}$ et excentricité $e$ est l'ensemble des points $M$ tels que $MF = e \cdot d(M, \mathcal{D})$.

• $0 < e < 1$ : ellipse ; $e = 1$ : parabole ; $e > 1$ : hyperbole.
• Parabole : avec $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ et $\mathcal{D} : x = -\frac{p}{2}$ ($p > 0$), $MF^2 = d(M, \mathcal{D})^2$ s'écrit $\left(x - \frac{p}{2}\right)^2 + y^2 = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2$, soit $y^2 = 2px$.

Démonstration de l'équation réduite de l'ellipse. Soient $a > c > 0$, $e = \frac{c}{a}$, $F(c, 0)$ et $\mathcal{D} : x = \frac{a^2}{c}$.
1. $MF^2 = e^2 d(M, \mathcal{D})^2 \iff (x - c)^2 + y^2 = \frac{c^2}{a^2}\left(x - \frac{a^2}{c}\right)^2 = \left(\frac{cx}{a} - a\right)^2$.
2. En développant : $x^2 - 2cx + c^2 + y^2 = \frac{c^2x^2}{a^2} - 2cx + a^2$, soit $x^2\left(1 - \frac{c^2}{a^2}\right) + y^2 = a^2 - c^2$.
3. Avec $b^2 = a^2 - c^2 > 0$, on obtient $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. Le même calcul avec $a, c > 0$, $c > a$ et $b^2 = c^2 - a^2$ donne l'hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$.

5. Équations réduites et éléments caractéristiques

• Ellipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, $a > b > 0$ : $c^2 = a^2 - b^2$, foyers $(\pm c, 0)$, directrices $x = \pm\frac{a^2}{c}$, sommets $(\pm a, 0)$ et $(0, \pm b)$, $e = \frac{c}{a}$. Définition bifocale : $MF + MF' = 2a$. Paramétrage : $(a\cos t, b\sin t)$.
• Hyperbole $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ : $c^2 = a^2 + b^2$, foyers $(\pm c, 0)$, directrices $x = \pm\frac{a^2}{c}$, sommets $(\pm a, 0)$, asymptotes $y = \pm\frac{b}{a}x$, $e = \frac{c}{a} > 1$. Définition bifocale : $|MF - MF'| = 2a$. Paramétrage d'une branche : $(a\cosh t, b\sinh t)$.
• Parabole $y^2 = 2px$ : foyer $\left(\frac{p}{2}, 0\right)$, directrice $x = -\frac{p}{2}$, sommet $O$, $e = 1$.
• Équation polaire (origine au foyer) : $r = \frac{p}{1 + e\cos\theta}$, où $p$ est le paramètre de la conique.

6. Réduction d'une équation du second degré sans terme en xy

Pour $Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ avec $(A, C) \neq (0, 0)$, on complète les carrés pour se ramener à une équation réduite dans un repère translaté.

• $AC > 0$ : ellipse (éventuellement cercle), un point ou l'ensemble vide.
• $AC < 0$ : hyperbole ou réunion de deux droites sécantes.
• $AC = 0$ : parabole, deux droites parallèles, une droite ou l'ensemble vide.
• Exemple : $x^2 + 4y^2 - 2x + 8y + 1 = 0 \iff (x - 1)^2 + 4(y + 1)^2 = 4 \iff \frac{(x - 1)^2}{4} + (y + 1)^2 = 1$ : ellipse de centre $(1, -1)$, $a = 2$, $b = 1$, $c = \sqrt{3}$, foyers $(1 \pm \sqrt{3}, -1)$, $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$.