Cours et exercices corrigés de L1 : Nombres complexes et arithmétique des polynômes dans K[X]

1. Formes d'un nombre complexe, formules d'Euler et de Moivre

• $z = a + ib$ ($a = \mathrm{Re}\, z$, $b = \mathrm{Im}\, z$) ; $\bar{z} = a - ib$, $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, $z\bar{z} = |z|^2$, $|zz'| = |z|\,|z'|$, $|z + z'| \le |z| + |z'|$.
• Forme exponentielle : tout $z \neq 0$ s'écrit $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta$ un argument, défini modulo $2\pi$ ; $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.
• Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$. Moivre : $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
• Linéarisation : $\cos^3\theta = \frac{(e^{i\theta} + e^{-i\theta})^3}{8} = \frac{\cos(3\theta) + 3\cos\theta}{4}$.
• Angle moitié : $e^{ia} + e^{ib} = 2\cos\left(\frac{a - b}{2}\right)e^{i\frac{a + b}{2}}$.

2. Racines n-ièmes

Théorème : pour $n \ge 1$, l'équation $z^n = 1$ a exactement $n$ solutions, $\omega_k = e^{2ik\pi/n}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$ ; elles forment le groupe $\mathbb{U}_n$.
Démonstration.
1. $z = 0$ n'est pas solution ; écrivons $z = \rho e^{i\varphi}$ avec $\rho > 0$. Alors $z^n = 1 \iff \rho^n e^{in\varphi} = 1 \iff \rho^n = 1$ et $n\varphi \in 2\pi\mathbb{Z}$.
2. Comme $\rho > 0$, $\rho = 1$ ; et $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ avec $k \in \mathbb{Z}$.
3. $e^{2ik\pi/n} = e^{2ik'\pi/n} \iff k \equiv k' \ [n]$ : on obtient exactement $n$ valeurs distinctes, pour $k = 0, \dots, n-1$.

• Somme : pour $n \ge 2$, $\sum_{k=0}^{n-1}\omega_k = \sum_{k=0}^{n-1}\omega_1^k = \frac{1 - \omega_1^n}{1 - \omega_1} = 0$ car $\omega_1 \neq 1$.
• Cas général : si $a = re^{i\theta} \neq 0$, les solutions de $z^n = a$ sont les $n$ nombres $r^{1/n}e^{i(\theta + 2k\pi)/n}$, $0 \le k \le n - 1$. Géométriquement, ce sont les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés.

3. Polynômes et division euclidienne

• Pour $P, Q \in \mathbb{K}[X]$ : $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ et $\deg(P + Q) \le \max(\deg P, \deg Q)$ (convention $\deg 0 = -\infty$).

Théorème : pour $A, B \in \mathbb{K}[X]$ avec $B \neq 0$, il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $A = BQ + R$ et $\deg R < \deg B$.
Démonstration. Notons $m = \deg B$ et $b$ le coefficient dominant de $B$.
1. Existence (récurrence forte sur $\deg A$). Si $\deg A < m$, on prend $Q = 0$, $R = A$. Sinon, soient $n = \deg A \ge m$ et $a$ son coefficient dominant ; $A_1 = A - \frac{a}{b}X^{n-m}B$ a un degré $< n$ (les termes de degré $n$ se compensent). Par hypothèse de récurrence, $A_1 = BQ_1 + R_1$ avec $\deg R_1 < m$, d'où $A = B\left(Q_1 + \frac{a}{b}X^{n-m}\right) + R_1$.
2. Unicité : si $BQ + R = BQ' + R'$, alors $B(Q - Q') = R' - R$. Si $Q \neq Q'$, le membre de gauche est de degré $\ge m$, celui de droite de degré $< m$ : contradiction. Donc $Q = Q'$, puis $R = R'$.

• Exemple : $X^3 + 2 = 1 \cdot (X^3 - X) + (X + 2)$.

4. Arithmétique dans K[X] : PGCD, Bézout, Gauss

• Le PGCD de $A$ et $B$ (non tous deux nuls) est le diviseur commun unitaire de degré maximal ; il s'obtient par l'algorithme d'Euclide (dernier reste non nul, rendu unitaire).
• Exemple : $X^3 - 1 = X(X^2 - 1) + (X - 1)$ puis $X^2 - 1 = (X + 1)(X - 1) + 0$, donc $\mathrm{PGCD}(X^3 - 1, X^2 - 1) = X - 1$.
• Bézout : $A$ et $B$ sont premiers entre eux si et seulement s'il existe $U, V \in \mathbb{K}[X]$ tels que $AU + BV = 1$. Plus généralement, il existe $U$, $V$ avec $AU + BV = \mathrm{PGCD}(A, B)$.
• Théorème de Gauss : si $A$ divise $BC$ et si $A$ et $B$ sont premiers entre eux, alors $A$ divise $C$.

Démonstration. Par Bézout, $AU + BV = 1$ ; en multipliant par $C$, $C = A(CU) + (BC)V$. Or $A$ divise $A(CU)$ et $A$ divise $BC$, donc $A$ divise $C$.

• Conséquence : si $A$ et $B$ sont premiers entre eux et divisent $C$, alors $AB$ divise $C$.

5. Racines, multiplicité, factorisation

• $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a)$ divise $P$ (reste de la division par $X - a$ : $P(a)$). Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines.
• $a$ est racine de multiplicité $m$ si $(X - a)^m$ divise $P$ mais pas $(X - a)^{m+1}$ ; cela équivaut à $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0$ et $P^{(m)}(a) \neq 0$.
• Théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant de $\mathbb{C}[X]$ admet au moins une racine complexe. Par récurrence, tout $P \in \mathbb{C}[X]$ de degré $n \ge 1$ est scindé : $P = \lambda\prod_j (X - z_j)^{m_j}$ avec $\sum m_j = n$.
• Dans $\mathbb{R}[X]$ : si $P$ est à coefficients réels, $P(\bar{z}) = \overline{P(z)}$, donc les racines non réelles vont par paires conjuguées de même multiplicité. Les irréductibles de $\mathbb{R}[X]$ sont les polynômes de degré $1$ et ceux de degré $2$ à discriminant strictement négatif.
• Exemple : $X^4 + 1 = (X^2 + 1)^2 - 2X^2 = (X^2 - \sqrt{2}X + 1)(X^2 + \sqrt{2}X + 1)$ dans $\mathbb{R}[X]$.
• Relations coefficients-racines (degré $2$) : si $z_1$, $z_2$ sont les racines de $X^2 - sX + p$, alors $z_1 + z_2 = s$ et $z_1 z_2 = p$.

6. Fractions rationnelles et décomposition en éléments simples

Soit $F = \frac{N}{D}$ écrite sous forme irréductible ; les racines de $D$ sont les pôles de $F$.

• Partie entière : le quotient $E$ de la division euclidienne de $N$ par $D$ ; $E = 0$ si $\deg N < \deg D$.
• Dans $\mathbb{C}(X)$ : si $D = \prod_i (X - a_i)^{m_i}$, alors $F = E + \sum_i \sum_{j=1}^{m_i} \frac{\lambda_{i,j}}{(X - a_i)^j}$, de manière unique.
• Dans $\mathbb{R}(X)$ : aux pôles réels s'ajoutent, pour chaque facteur irréductible $(X^2 + pX + q)^k$ du dénominateur, des termes $\frac{\alpha_j X + \beta_j}{(X^2 + pX + q)^j}$, $1 \le j \le k$.
• Pôle simple : si $a$ est racine simple de $D$, le coefficient de $\frac{1}{X - a}$ vaut $\lambda = \frac{N(a)}{D'(a)}$, ou encore la valeur en $a$ de $(X - a)F$.
• Pôle d'ordre $m$ : le coefficient de $\frac{1}{(X - a)^m}$ est la valeur en $a$ de $(X - a)^m F$ ; les autres s'obtiennent par évaluation en des points particuliers, par parité ou par limite de $xF(x)$ en $+\infty$.
• Exemple : $\frac{1}{X^2(X - 1)} = -\frac{1}{X} - \frac{1}{X^2} + \frac{1}{X - 1}$ (coefficient de $\frac{1}{X^2}$ : $-1$ ; de $\frac{1}{X - 1}$ : $1$ ; la limite de $xF(x)$ en $+\infty$, nulle, donne $-1$ pour $\frac{1}{X}$).