Cours et exercices corrigés de L1 : Calcul matriciel, systèmes linéaires et pivot de Gauss

1. Opérations sur les matrices

• Produit : pour $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})$, $AB \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})$ et $(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik} b_{kj}$. Le produit est associatif, distributif sur l'addition, mais non commutatif pour $n \ge 2$.
• $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ est un espace vectoriel de dimension $np$, de base les matrices élémentaires $E_{ij}$.
• Transposée : $({}^t\!A)_{ij} = a_{ji}$ ; $\,{}^t(AB) = {}^t\!B\,{}^t\!A$. $A$ est symétrique si $\,{}^t\!A = A$, antisymétrique si $\,{}^t\!A = -A$.
• Trace : $\operatorname{Tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$ ; elle est linéaire et $\operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$.
• Binôme de Newton : si $AB = BA$, alors $(A + B)^m = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} A^k B^{m-k}$. Exemple : $N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ vérifie $N^2 = 0$, donc $(I_2 + N)^m = I_2 + mN$.

2. Systèmes linéaires et opérations élémentaires

Les opérations élémentaires sur les lignes sont : $L_i \leftrightarrow L_j$ ; $L_i \leftarrow \lambda L_i$ avec $\lambda \neq 0$ ; $L_i \leftarrow L_i + \mu L_j$ avec $j \neq i$. Chacune revient à multiplier à gauche par une matrice inversible (matrice élémentaire).

• Forme échelonnée : chaque ligne non nulle commence par strictement plus de zéros que la précédente, les lignes nulles sont en bas ; les premiers coefficients non nuls sont les pivots.
• Structure des solutions : si $AX = B$ admet une solution $X_0$, l'ensemble des solutions est $\{X_0 + Y \mid AY = 0\}$.

Proposition : une opération élémentaire ne change pas l'ensemble des solutions.
Démonstration. Chaque opération est inversible par une opération du même type : $L_i \leftrightarrow L_j$ par elle-même, $L_i \leftarrow \lambda L_i$ par $L_i \leftarrow \lambda^{-1} L_i$, $L_i \leftarrow L_i + \mu L_j$ par $L_i \leftarrow L_i - \mu L_j$ (la ligne $L_j$ est inchangée). Toute solution du système initial vérifie les nouvelles équations, qui sont des combinaisons des anciennes ; par l'opération inverse, la réciproque est vraie. Les deux ensembles de solutions sont donc égaux.

3. Rang d'une matrice et compatibilité

• Le rang $\operatorname{rg}(A)$ est la dimension de l'espace engendré par les colonnes de $A$ ; c'est aussi le nombre de pivots de toute forme échelonnée de $A$ (les opérations élémentaires conservent le rang).
• $\operatorname{rg}(A) \le \min(n, p)$ et $\operatorname{rg}({}^t\!A) = \operatorname{rg}(A)$.
• Le système $AX = B$ ($p$ inconnues) est compatible si et seulement si $\operatorname{rg}(A \mid B) = \operatorname{rg}(A)$ ; l'ensemble des solutions dépend alors de $p - \operatorname{rg}(A)$ paramètres.
• Exemple : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ est de rang $1$ ($L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ annule la deuxième ligne).

4. Matrices inversibles : caractérisations

$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est inversible s'il existe $B$ telle que $AB = BA = I_n$ ; l'ensemble $GL_n(\mathbb{K})$ des matrices inversibles est un groupe, avec $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ et $({}^t\!A)^{-1} = {}^t(A^{-1})$.
Théorème : pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, sont équivalents : (i) $A$ inversible ; (ii) $AX = 0 \implies X = 0$ ; (iii) pour tout $B$, $AX = B$ a une unique solution ; (iv) $\operatorname{rg}(A) = n$ ; (v) il existe $B$ telle que $BA = I_n$ ; (vi) $\det(A) \neq 0$.

Démonstration de (v) $\implies$ (i) (un inverse à gauche suffit).
1. Si $BA = I_n$ et $AX = 0$, alors $X = BAX = 0$ : l'application linéaire $u : X \mapsto AX$ de $\mathbb{K}^n$ dans $\mathbb{K}^n$ est injective.
2. Par le théorème du rang (chapitre L1-APP), $\operatorname{rg}(u) = n$, donc $u$ est bijective : il existe $C$ telle que $AC = I_n$ (colonnes de $C$ : antécédents des vecteurs de la base canonique).
3. Alors $B = B(AC) = (BA)C = C$, donc $AB = BA = I_n$ : $A$ est inversible et $A^{-1} = B$.

5. Calcul de l'inverse : méthode de Gauss-Jordan

• On forme $(A \mid I_n)$ et on applique des opérations élémentaires sur les lignes jusqu'à obtenir $I_n$ à gauche ; on lit alors $A^{-1}$ à droite :

$$(A \mid I_n) \longrightarrow (I_n \mid A^{-1})$$

• Justification : si $E_r \cdots E_1 A = I_n$ (produit de matrices élémentaires), alors $E_r \cdots E_1 = A^{-1}$, et les mêmes opérations appliquées à $I_n$ fournissent $E_r \cdots E_1 I_n = A^{-1}$. Si une ligne nulle apparaît à gauche, $\operatorname{rg}(A) \le n - 1$ et $A$ n'est pas inversible.
• Cas $2 \times 2$ : si $ad - bc \neq 0$,

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Exemple : $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$ (déterminant $1$).

6. Déterminants 2 × 2 et 3 × 3

• $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ ; en dimension $3$, développement selon la première ligne :

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$$

• Propriétés : $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det({}^t\!A) = \det(A)$, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ ; une matrice triangulaire a pour déterminant le produit de ses coefficients diagonaux.
• Effet des opérations : échanger deux lignes change le signe ; $L_i \leftarrow \lambda L_i$ multiplie le déterminant par $\lambda$ ; $L_i \leftarrow L_i + \mu L_j$ ne le change pas.
• Exemple : $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix} = 1 \times (-24) - 2 \times (-20) + 3 \times (-5) = 1$.