Cours et exercices corrigés de L2 : Calcul différentiel à plusieurs variables, gradient et extremums

1. Dérivées partielles, différentielle, gradient

Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $f : U \to \mathbb{R}$ et $a \in U$.

• Dérivée selon un vecteur $v$ : $D_v f(a) = \lim_{t \to 0} \frac{f(a + t v) - f(a)}{t}$ ; les dérivées partielles sont $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = D_{e_i} f(a)$.
• Différentiabilité : $f$ est différentiable en $a$ s'il existe une application linéaire $df_a : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle que $f(a + h) = f(a) + df_a(h) + o(\|h\|)$.
• Si $f$ est différentiable en $a$, elle est continue en $a$, admet des dérivées selon tout vecteur et $df_a(h) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) h_i = \langle \nabla f(a), h \rangle$.
• Théorème : si les dérivées partielles existent et sont continues sur $U$ ($f$ de classe $\mathcal{C}^1$), alors $f$ est différentiable en tout point de $U$.
• Pour $f : U \to \mathbb{R}^p$, la matrice jacobienne est $J_f(a) = \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\right)_{1 \le i \le p,\ 1 \le j \le n}$.

2. Règle de la chaîne et interprétation du gradient

• Composition : si $f$ est différentiable en $a$ et $g$ en $f(a)$, alors $g \circ f$ est différentiable en $a$ et $d(g \circ f)_a = dg_{f(a)} \circ df_a$, soit $J_{g \circ f}(a) = J_g(f(a))\, J_f(a)$.
• Le long d'une courbe : si $\gamma : I \to U$ est dérivable, $\frac{d}{dt} f(\gamma(t)) = \langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma'(t) \rangle$.
• Interprétation : si $\nabla f(a) \neq 0$, c'est la direction de plus forte croissance de $f$ (Cauchy-Schwarz) et il est orthogonal à la ligne de niveau de $f$ passant par $a$.
• Exemple : pour $g(r, \theta) = f(r \cos\theta, r\sin\theta)$, $\frac{\partial g}{\partial r} = \cos\theta\, \frac{\partial f}{\partial x} + \sin\theta\, \frac{\partial f}{\partial y}$.

3. Dérivées secondes et théorème de Schwarz

• Théorème de Schwarz : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $U$, alors pour tous $i, j$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}$ sur $U$.
• L'hypothèse $\mathcal{C}^2$ est utile : pour $f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ et $f(0, 0) = 0$, on a $\frac{\partial f}{\partial x}(0, y) = -y$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = x$, donc les dérivées croisées en $(0, 0)$ valent $-1$ et $1$.
• Hessienne de $f \in \mathcal{C}^2(U, \mathbb{R})$ : $H_f(a) = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right)_{i, j}$, symétrique réelle d'après Schwarz.
• Taylor-Young à l'ordre 2 :

$$f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + \frac{1}{2}\, {}^t h\, H_f(a)\, h + o(\|h\|^2).$$

4. Démonstration : condition nécessaire et condition suffisante d'extremum local

Théorème 1. Si $f : U \to \mathbb{R}$, $U$ ouvert, est différentiable en $a$ et admet un extremum local en $a$, alors $\nabla f(a) = 0$.
Démonstration.
1. Supposons un maximum local (l'autre cas s'en déduit avec $-f$). Comme $U$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $g_i(t) = f(a + t e_i)$ soit défini sur $]-r ; r[$ et vérifie $g_i(t) \le g_i(0)$ pour $|t|$ assez petit.
2. $g_i$ est dérivable en $0$ avec $g_i'(0) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$.
3. Pour $t > 0$ petit, $\frac{g_i(t) - g_i(0)}{t} \le 0$, donc $g_i'(0) \le 0$ ; pour $t < 0$, ce quotient est $\ge 0$, donc $g_i'(0) \ge 0$.
4. Ainsi $\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0$ pour tout $i$, c'est-à-dire $\nabla f(a) = 0$.
Théorème 2. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $U$, $\nabla f(a) = 0$ et $H_f(a)$ a toutes ses valeurs propres strictement positives, alors $f$ admet un minimum local strict en $a$.
Démonstration.
1. Notons $\lambda > 0$ la plus petite valeur propre de $H_f(a)$. Par le théorème spectral, ${}^t h\, H_f(a)\, h \ge \lambda \|h\|^2$ pour tout $h$.
2. Taylor-Young : $f(a + h) - f(a) = \frac{1}{2} {}^t h\, H_f(a)\, h + \|h\|^2 \varepsilon(h)$ avec $\varepsilon(h) \to 0$.
3. Choisissons $r > 0$ tel que $|\varepsilon(h)| \le \frac{\lambda}{4}$ pour $\|h\| < r$. Alors $f(a + h) - f(a) \ge \frac{\lambda}{4}\|h\|^2 > 0$ pour $0 < \|h\| < r$.
De même, si $f$ a un minimum local en $a$, alors $H_f(a)$ est positive (valeurs propres $\ge 0$).

5. Classification des points critiques

Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur l'ouvert $U$ et $a$ un point critique ($\nabla f(a) = 0$).

• Valeurs propres de $H_f(a)$ toutes $> 0$ : minimum local strict. Toutes $< 0$ : maximum local strict. Deux valeurs propres de signes strictement opposés : point col (pas d'extremum). Une valeur propre nulle sans signes opposés : cas douteux.
• En dimension 2, avec les notations de Monge $r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(a)$, $s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(a)$, $t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(a)$ : $rt - s^2 = \det H_f(a)$ est le produit des valeurs propres et $r + t$ leur somme.

1. $rt - s^2 > 0$ et $r > 0$ : minimum local strict ;
2. $rt - s^2 > 0$ et $r < 0$ : maximum local strict ;
3. $rt - s^2 < 0$ : point col ;
4. $rt - s^2 = 0$ : on ne peut pas conclure à l'ordre 2 ($x^4 + y^4$, $-x^4 - y^4$ et $x^4 - y^4$ ont tous une hessienne nulle en $(0, 0)$).

6. Extremums globaux sur un compact

• Une fonction continue sur une partie fermée bornée (compacte) $K$ de $\mathbb{R}^n$ est bornée et atteint ses bornes.
• Stratégie : écrire $K = \mathring{K} \cup \partial K$. Un extremum atteint dans l'intérieur $\mathring{K}$ (ouvert) est un point critique ; sur le bord $\partial K$, on paramètre le bord et on se ramène à une fonction d'une variable.
• On compare ensuite les valeurs obtenues aux points critiques intérieurs et sur le bord.