Cours et exercices corrigés de L2 : Démonstrations fondamentales de L2 : algèbre bilinéaire et analyse

1. Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité

• Énoncé : dans un espace préhilbertien réel $E$, pour tous $x, y \in E$,

$$|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \, \|y\|,$$
avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires.

• Démonstration :

1. Si $x = 0$, les deux membres sont nuls et $x, y$ sont colinéaires. On suppose désormais $x \ne 0$.
2. Pour $t \in \mathbb{R}$, $P(t) = \|t x + y\|^2 = t^2 \|x\|^2 + 2 t \langle x, y \rangle + \|y\|^2 \ge 0$. C'est un trinôme du second degré (car $\|x\|^2 > 0$) qui ne prend que des valeurs positives : son discriminant est négatif ou nul, soit $4 \langle x, y \rangle^2 - 4 \|x\|^2 \|y\|^2 \le 0$.
3. Cas d'égalité : si $|\langle x, y \rangle| = \|x\| \, \|y\|$, le discriminant est nul et $P$ s'annule en un réel $t_0$ ; alors $\|t_0 x + y\| = 0$, donc $y = -t_0 x$ (séparation de la norme). Réciproquement, si $y = \alpha x$, $|\langle x, y \rangle| = |\alpha| \, \|x\|^2 = \|x\| \, \|y\|$.

• Conséquences : inégalité triangulaire $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$ (développer $\|x + y\|^2$ et majorer $\langle x, y \rangle$) ; définition de l'angle non orienté $\arccos \frac{\langle x, y \rangle}{\|x\| \, \|y\|}$ pour $x, y$ non nuls.
• Exemple : pour $f$ continue sur $[0 ; 1]$, avec $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f g$ et $g = 1$ : $\left( \int_0^1 f \right)^2 \le \int_0^1 f^2$.

2. Théorème spectral pour les endomorphismes symétriques réels

• Énoncé : soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \ge 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ symétrique ($\langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle$ pour tous $x, y$). Alors $E$ admet une base orthonormée formée de vecteurs propres de $u$. Version matricielle : pour $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, il existe $P \in O_n(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1} A P = P^{\top} A P$ soit diagonale.

• Démonstration (récurrence sur $n$) :

1. Existence d'une valeur propre réelle : soit $A$ la matrice de $u$ dans une base orthonormée ; elle est réelle et symétrique. Par le théorème de d'Alembert-Gauss, $\chi_A$ a une racine $\lambda \in \mathbb{C}$ ; soit $X \in \mathbb{C}^n \setminus \{0\}$ avec $A X = \lambda X$. D'une part $\bar{X}^{\top} A X = \lambda \, \bar{X}^{\top} X$. D'autre part, $A$ étant réelle et symétrique, $\bar{X}^{\top} A X = (A \bar{X})^{\top} X = (\overline{A X})^{\top} X = \bar{\lambda} \, \bar{X}^{\top} X$. Comme $\bar{X}^{\top} X = \sum |x_i|^2 > 0$, on obtient $\lambda = \bar{\lambda}$, donc $\lambda \in \mathbb{R}$, et la matrice réelle $A - \lambda I_n$ n'est pas inversible : $u$ a un vecteur propre dans $E$.
2. Initialisation : si $n = 1$, tout vecteur unitaire convient.
3. Stabilité de l'orthogonal : soit $e_1$ un vecteur propre unitaire, $u(e_1) = \lambda_1 e_1$, et $H = \{e_1\}^{\perp}$, de dimension $n - 1$. Pour $y \in H$ : $\langle u(y), e_1 \rangle = \langle y, u(e_1) \rangle = \lambda_1 \langle y, e_1 \rangle = 0$, donc $u(H) \subset H$.
4. Hérédité : l'endomorphisme induit $u_H$ est symétrique pour le produit scalaire restreint à $H$ ; par hypothèse de récurrence, $H$ admet une base orthonormée $(e_2, \dots, e_n)$ de vecteurs propres de $u_H$, donc de $u$.
5. La famille $(e_1, \dots, e_n)$ est orthonormée (car $e_1 \perp H$) et formée de vecteurs propres de $u$.

• Complément : des sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux, car $\lambda \langle x, y \rangle = \langle u(x), y \rangle = \langle x, u(y) \rangle = \mu \langle x, y \rangle$.
• Contre-exemple : la matrice complexe symétrique $\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & -1 \end{pmatrix}$ a un carré nul sans être nulle : elle n'est pas diagonalisable. L'hypothèse « réelle » est indispensable (l'analogue complexe porte sur les matrices hermitiennes).

3. Théorème de Cayley-Hamilton (preuve par la comatrice)

• Énoncé : pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $\chi_A(X) = \det(X I_n - A) = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k$ (avec $a_n = 1$), on a

$$\chi_A(A) = \sum_{k=0}^{n} a_k A^k = 0.$$

• Démonstration :

1. La relation $M \, \mathrm{com}(M)^{\top} = \det(M) \, I_n$ est valable pour toute matrice $M$ à coefficients dans un anneau commutatif, en particulier dans $\mathbb{K}[X]$. Avec $M = X I_n - A$ et $B(X) = \mathrm{com}(X I_n - A)^{\top}$ : $(X I_n - A) \, B(X) = \chi_A(X) \, I_n$.
2. Les coefficients de $B(X)$ sont des cofacteurs, déterminants de taille $n - 1$ dont les coefficients sont de degré au plus 1 : ils sont de degré au plus $n - 1$. On écrit $B(X) = \sum_{k=0}^{n-1} X^k B_k$ avec $B_k \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
3. En développant et en identifiant les coefficients (matriciels) de chaque puissance de $X$ :
$$-A B_0 = a_0 I_n, \qquad B_{k-1} - A B_k = a_k I_n \ (1 \le k \le n - 1), \qquad B_{n-1} = I_n.$$
4. On multiplie à gauche la relation d'indice $k$ par $A^k$ et on additionne :
$$\chi_A(A) = -A B_0 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( A^k B_{k-1} - A^{k+1} B_k \right) + A^n B_{n-1}.$$
La somme centrale est télescopique et vaut $A B_0 - A^n B_{n-1}$ : il reste $\chi_A(A) = 0$.

• Sophisme à éviter : « $\chi_A(A) = \det(A I_n - A) = \det(0) = 0$ » est faux : $\chi_A(A)$ est une matrice obtenue en substituant $A$ dans le polynôme développé, alors que le calcul proposé produit un scalaire.
• Application : si $A$ est inversible, $a_0 = \chi_A(0) = (-1)^n \det A \ne 0$ et $A^{-1} = -\frac{1}{a_0} \left( A^{n-1} + a_{n-1} A^{n-2} + \dots + a_1 I_n \right)$.

4. Lemme d'Abel et rayon de convergence

• Énoncé : soit $\sum a_n z^n$ une série entière et $z_0 \in \mathbb{C}^{\ast}$ tel que la suite $(a_n z_0^n)$ soit bornée. Alors, pour tout $z \in \mathbb{C}$ tel que $|z| < |z_0|$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument.

• Démonstration :

1. Soit $M \ge 0$ tel que $|a_n z_0^n| \le M$ pour tout $n$.
2. Pour $|z| < |z_0|$, on pose $q = \frac{|z|}{|z_0|} \in [0 ; 1[$ ; alors $|a_n z^n| = |a_n z_0^n| \, q^n \le M q^n$.
3. La série géométrique $\sum M q^n$ converge ; par comparaison de séries à termes positifs, $\sum |a_n z^n|$ converge.

• Rayon de convergence : on pose $R = \sup \{ r \ge 0 \mid (a_n r^n)_n \text{ est bornée} \} \in [0 ; +\infty]$. Si $|z| < R$, il existe $r > |z|$ tel que $(a_n r^n)$ soit bornée, et le lemme donne la convergence absolue. Si $|z| > R$, la suite $(a_n z^n)$ n'est pas bornée : la série diverge grossièrement.
• Sur le cercle $|z| = R$, tout peut arriver : $\sum z^n$, $\sum \frac{z^n}{n}$ et $\sum \frac{z^n}{n^2}$ ont pour rayon $1$ ; la première diverge en tout point du cercle, la deuxième diverge en $z = 1$ et converge en $z = -1$, la troisième converge absolument sur tout le cercle.