Courbes paramétrées en L2 : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Définir un arc paramétré régulier, sa longueur et son abscisse curviligne.
Construire le repère de Frenet $(\vec{T}, \vec{N})$ d'une courbe plane et énoncer les formules de Frenet.
Démontrer la formule de la courbure pour un paramétrage quelconque et l'appliquer.
Déterminer le rayon et le centre de courbure, et connaître la courbure et la torsion d'une courbe de l'espace.

Le cours

1. Arcs paramétrés, régularité, longueur

Soit $\gamma : I \to \mathbb{R}^2$ , $t \mapsto M(t) = (x(t), y(t))$ , de classe $\mathcal{C}^k$ ( $k \ge 1$ ).

Le point $M(t_0)$ est régulier si $\gamma'(t_0) \neq \vec{0}$ ; la tangente est alors dirigée par $\gamma'(t_0)$ . L'arc est régulier si tous ses points le sont.
En un point singulier ( $\gamma'(t_0) = \vec{0}$ ), la tangente, si elle existe, est dirigée par le premier vecteur dérivé non nul.
Longueur de l'arc entre $a$ et $b$ : $L = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\, dt$ . Elle ne dépend pas du paramétrage (changement de variable dans l'intégrale), pourvu que l'arc soit parcouru une seule fois.
Exemple : le cercle $(R\cos t, R\sin t)$ , $t \in [0 ; 2\pi]$ , a pour longueur $\int_0^{2\pi} R\, dt = 2\pi R$ .

2. Abscisse curviligne et paramétrage normal

Soit $\gamma$ un arc régulier de classe $\mathcal{C}^2$ et $t_0 \in I$ .

Abscisse curviligne : $s(t) = \int_{t_0}^{t} \|\gamma'(u)\|\, du$ . Comme $s'(t) = \|\gamma'(t)\| > 0$ , $s$ est un $\mathcal{C}^1$ -difféomorphisme strictement croissant de $I$ sur $s(I)$ (et même de classe $\mathcal{C}^2$ ici).
Le paramétrage $s \mapsto M(s)$ est dit normal : $\left\|\frac{dM}{ds}\right\| = 1$ .
Règle pratique : $\frac{d}{dt} = \frac{ds}{dt}\, \frac{d}{ds} = \|\gamma'(t)\|\, \frac{d}{ds}$ .

3. Repère de Frenet et formules de Frenet

Pour un arc plan régulier de classe $\mathcal{C}^2$ , paramétré par l'abscisse curviligne $s$ :

$\vec{T}(s) = \frac{dM}{ds}$ est le vecteur tangent unitaire ; $\vec{N}(s)$ est l'image de $\vec{T}(s)$ par la rotation d'angle $+\frac{\pi}{2}$ , de sorte que $(\vec{T}, \vec{N})$ est une base orthonormée directe.
Comme $\|\vec{T}\|^2 = 1$ , en dérivant : $2\left\langle \frac{d\vec{T}}{ds}, \vec{T} \right\rangle = 0$ ; donc $\frac{d\vec{T}}{ds}$ est colinéaire à $\vec{N}$ .
Formules de Frenet :

$\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa(s)\, \vec{N}(s), \qquad \frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa(s)\, \vec{T}(s),$
où $\kappa(s)$ est la courbure algébrique.

Angle : si $\vec{T} = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ avec $\alpha$ de classe $\mathcal{C}^1$ (relèvement), alors $\kappa = \frac{d\alpha}{ds}$ : la courbure mesure la vitesse de rotation de la tangente.

4. Démonstration de la formule de la courbure

Théorème. Pour un arc régulier de classe $\mathcal{C}^2$ paramétré par $t$ quelconque :
$\kappa(t) = \frac{\det\left(\gamma'(t), \gamma''(t)\right)}{\|\gamma'(t)\|^3} = \frac{x'y'' - y'x''}{\left(x'^2 + y'^2\right)^{3/2}}.$
Démonstration.
1. Notons $v(t) = \|\gamma'(t)\| = \frac{ds}{dt} > 0$ . Par définition, $\gamma'(t) = v(t)\, \vec{T}$ .
2. En dérivant par rapport à $t$ et en utilisant $\frac{d\vec{T}}{dt} = \frac{ds}{dt}\, \frac{d\vec{T}}{ds} = v\, \kappa\, \vec{N}$ : $\gamma''(t) = v'(t)\, \vec{T} + v(t)^2 \kappa\, \vec{N}$ .
3. Par bilinéarité et alternance du déterminant : $\det(\gamma', \gamma'') = \det(v\vec{T}, v'\vec{T} + v^2\kappa\vec{N}) = v \cdot v'\det(\vec{T}, \vec{T}) + v^3 \kappa \det(\vec{T}, \vec{N}) = v^3\kappa$ , car $\det(\vec{T}, \vec{T}) = 0$ et $\det(\vec{T}, \vec{N}) = 1$ (base orthonormée directe).
4. D'où $\kappa = \frac{\det(\gamma', \gamma'')}{v^3}$ .
Cas d'un graphe $y = f(x)$ : avec $x(t) = t$ , $\kappa = \frac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}$ . On lit aussi au point 2 l'accélération : composante tangentielle $v'$ , composante normale $v^2\kappa$ .

5. Rayon, centre de courbure et cercle osculateur

On suppose $\kappa(t) \neq 0$ (point birégulier : $(\gamma', \gamma'')$ libre).

Rayon de courbure : $R = \frac{1}{|\kappa|}$ ; on utilise aussi le rayon algébrique $\frac{1}{\kappa}$ .
Centre de courbure : $C = M + \frac{1}{\kappa}\, \vec{N}$ . Le cercle osculateur de centre $C$ et de rayon $R$ est le cercle qui approche le mieux la courbe au voisinage de $M$ (contact d'ordre 2).
La développée est le lieu des centres de courbure.
Exemples : une droite a une courbure nulle ; le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens direct a pour courbure $\frac{1}{R}$ , et $-\frac{1}{R}$ dans le sens indirect ; son centre de courbure est son centre.

6. Courbes de l'espace : courbure et torsion

Pour un arc birégulier de $\mathbb{R}^3$ de classe $\mathcal{C}^3$ :

Courbure (positive) : $\kappa = \frac{\|\gamma' \wedge \gamma''\|}{\|\gamma'\|^3}$ ; normale principale $\vec{N}$ définie par $\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa\vec{N}$ ; binormale $\vec{B} = \vec{T} \wedge \vec{N}$ .
Torsion : $\tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\|\gamma' \wedge \gamma''\|^2}$ ; elle est nulle si et seulement si la courbe est plane.
Formules de Frenet : $\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa\vec{N}$ , $\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa\vec{T} + \tau\vec{B}$ , $\frac{d\vec{B}}{ds} = -\tau\vec{N}$ .
Exemple : l'hélice $(a\cos t, a\sin t, bt)$ , $a > 0$ , a une courbure $\frac{a}{a^2 + b^2}$ et une torsion $\frac{b}{a^2 + b^2}$ , constantes.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer la courbure et le centre de courbure

Exemple

Calculer la courbure et le centre de courbure de la parabole $y = x^2$ en son sommet $O$ .

Paramétrage : $x(t) = t$ , $y(t) = t^2$ ; en $t = 0$ : $x' = 1$ , $y' = 0$ , $x'' = 0$ , $y'' = 2$ .
Vitesse : $\|\gamma'(0)\| = 1$ .
Courbure : $\kappa(0) = \frac{1 \times 2 - 0 \times 0}{1^3} = 2$ , donc $R = \frac{1}{2}$ .
Centre : $\vec{T}(0) = (1, 0)$ , $\vec{N}(0) = (0, 1)$ , donc $C = O + \frac{1}{2}\vec{N} = \left(0, \frac{1}{2}\right)$ : le cercle osculateur a pour équation $x^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ .

Méthode : Calculer la longueur d'un arc

Exemple

Calculer la longueur d'une arche de cycloïde $x = R(t - \sin t)$ , $y = R(1 - \cos t)$ , $t \in [0 ; 2\pi]$ .

Vitesse : $x' = R(1 - \cos t)$ , $y' = R\sin t$ , d'où $\|\gamma'(t)\|^2 = R^2(2 - 2\cos t) = 4R^2 \sin^2\frac{t}{2}$ .
Norme : sur $[0 ; 2\pi]$ , $\sin\frac{t}{2} \ge 0$ , donc $\|\gamma'(t)\| = 2R\sin\frac{t}{2}$ .
Intégrale : $L = \int_0^{2\pi} 2R\sin\frac{t}{2}\, dt = 2R\left[-2\cos\frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = 2R(2 + 2) = 8R$ .
Remarque : les points $t = 0$ et $t = 2\pi$ sont singuliers ( $\gamma' = \vec{0}$ ) ; cela n'empêche pas le calcul de la longueur.

Pièges fréquents

La formule $\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa\vec{N}$ suppose la dérivation par rapport à l'abscisse curviligne ; pour un paramètre $t$ quelconque : $\frac{d\vec{T}}{dt} = \|\gamma'(t)\|\, \kappa\, \vec{N}$ .
La courbure algébrique d'une courbe plane dépend du sens de parcours : le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens indirect a pour courbure $-\frac{1}{R}$ ; le rayon de courbure est $\frac{1}{|\kappa|}$ .
Les formules de courbure ne s'appliquent pas en un point singulier ( $\gamma'(t_0) = \vec{0}$ ) : pour la cycloïde, en $t = 0$ , le dénominateur $\|\gamma'\|^3$ s'annule (point de rebroussement).
La longueur $\int \|\gamma'\|$ compte les passages multiples : $(\cos 2t, \sin 2t)$ , $t \in [0 ; 2\pi]$ , parcourt deux fois le cercle unité et donne $4\pi$ .
Pour une courbe de l'espace, la courbure est positive et se calcule avec le produit vectoriel ; la formule plane avec $\det(\gamma', \gamma'')$ n'a pas de sens en dimension 3.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Énoncer les formules de Frenet d'une courbe plane paramétrée par l'abscisse curviligne.

$\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa\vec{N}$ et $\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa\vec{T}$ .

Donner la formule de la courbure pour un paramétrage quelconque.

$\kappa = \frac{\det(\gamma', \gamma'')}{\|\gamma'\|^3} = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}$ .

Quelle décomposition de l'accélération sert à démontrer la formule de la courbure ?

$\gamma'' = v'\vec{T} + v^2\kappa\vec{N}$ avec $v = \|\gamma'\|$ , d'où $\det(\gamma', \gamma'') = v^3\kappa$ .

Quelle est la courbure d'un cercle de rayon

R

?

$\frac{1}{R}$ en valeur absolue (signe $+$ dans le sens direct, $-$ dans le sens indirect).

Où se trouve le centre de courbure ?

En $C = M + \frac{1}{\kappa}\vec{N}$ , à la distance $R = \frac{1}{|\kappa|}$ de $M$ sur la normale.

Que vaut la longueur d'une arche de cycloïde de paramètre

R

?

$8R$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Vecteur vitesse et point régulier

Palier 1 · découverte

Soit une courbe paramétrée $\vec{r}(t) = (x(t), y(t))$ de classe $\mathcal{C}^1$ . À quelle condition le point $M(t_0)$ est-il dit régulier ?

$\vec{r}'(t_0) \neq \vec{0}$
$\vec{r}''(t_0) = \vec{0}$
$\vec{r}(t_0) = \vec{0}$
$\|\vec{r}'(t_0)\| = 1$

Un indice

Le vecteur dérivé ne doit pas s'annuler.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\vec{r}'(t_0) \neq \vec{0}$

Un point $M(t_0)$ d'un arc paramétré est régulier si le vecteur vitesse $\vec{r}'(t_0) = (x'(t_0), y'(t_0)) \neq \vec{0}$ . La tangente à la courbe en ce point est alors dirigée par $\vec{r}'(t_0)$ .

Exercice 2 Repère de Frenet et première formule de dérivation

Palier 2 · application

Pour une courbe plane orientée paramétrée par son abscisse curviligne $s$ , munie du repère mobile orthonormé direct $(\vec{T}(s), \vec{N}(s))$ , quelle est l'expression de $\frac{d\vec{T}}{ds}$ en fonction de la courbure $\kappa(s)$ ?

$\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa(s) \vec{N}(s)$
$\frac{d\vec{T}}{ds} = -\kappa(s) \vec{N}(s)$
$\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa(s) \vec{T}(s)$
$\frac{d\vec{T}}{ds} = \vec{0}$

Un indice

Comme $\|\vec{T}\| = 1$ , sa dérivée est orthogonale à $\vec{T}$ , donc colinéaire à $\vec{N}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa(s) \vec{N}(s)$

Les formules de Frenet pour une courbe plane sont $\frac{d\vec{T}}{ds} = \kappa(s) \vec{N}(s)$ et $\frac{d\vec{N}}{ds} = -\kappa(s) \vec{T}(s)$ , où $\kappa(s)$ est la courbure algébrique.

Exercice 3 Calcul de la courbure d'un cercle

Palier 3 · approfondissement

Quelle est la courbure $\kappa(t)$ en tout point d'un cercle de rayon $R > 0$ paramétré par $x(t) = R\cos t$ , $y(t) = R\sin t$ ?

$\kappa = \frac{1}{R}$
$\kappa = R$
$\kappa = \frac{1}{R^2}$
$\kappa = 2\pi R$

Un indice

Calcule $x', y'$ puis $x'', y''$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\kappa = \frac{1}{R}$

On a $x'(t) = -R\sin t, y'(t) = R\cos t \implies (x'^2 + y'^2)^{3/2} = R^3$ . De plus, $x''(t) = -R\cos t, y''(t) = -R\sin t$ , donc $x'y'' - x''y' = R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t = R^2$ . Par conséquent, $\kappa = \frac{R^2}{R^3} = \frac{1}{R}$ . Le rayon de courbure associé est $R_c = \frac{1}{\kappa} = R$ .

Exercice 4 Classification locale d'un point stationnaire

Palier 4 · défi

Soit la courbe paramétrée par $x(t) = t^2$ et $y(t) = t^3$ . En $t=0$ , le point est singulier car $\vec{r}'(0) = (0,0)$ . Quelle est sa nature géométrique ?

Point de rebroussement de première espèce
Point ordinaire
Point d'inflexion
Point de rebroussement de deuxième espèce

Un indice

Calcule les dérivées successives $\vec{r}''(0)$ et $\vec{r}'''(0)$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. Point de rebroussement de première espèce

On a $\vec{r}'(t) = (2t, 3t^2) \implies \vec{r}'(0) = (0,0)$ . Ensuite, $\vec{r}''(t) = (2, 6t) \implies \vec{r}''(0) = (2, 0) \neq \vec{0}$ , donc $p = 2$ (ordre pair). Enfin, $\vec{r}^{(3)}(t) = (0, 6) \implies \vec{r}^{(3)}(0) = (0, 6)$ , qui est linéairement indépendant de $\vec{r}''(0)$ , donc $q = 3$ (ordre impair). Le couple $(p=2 \text{ pair}, q=3 \text{ impair})$ définit un point de rebroussement de première espèce.