Cours et exercices corrigés de L2 : Intégrales multiples, théorème de Fubini et changements de variables

1. Démonstration : théorème de Fubini sur un rectangle

Théorème. Si $f$ est continue sur $R = [a ; b] \times [c ; d]$, alors
$$\int_a^b \left(\int_c^d f(x, y)\, dy\right) dx = \int_c^d \left(\int_a^b f(x, y)\, dx\right) dy,$$
valeur commune notée $\iint_R f(x, y)\, dx\, dy$.
Démonstration. Pour $u \in [a ; b]$, posons $G(u) = \int_a^u \left(\int_c^d f(x, y)\, dy\right) dx$ et $H(u) = \int_c^d \left(\int_a^u f(x, y)\, dx\right) dy$.
1. $\phi(x) = \int_c^d f(x, y)\, dy$ est continue sur $[a ; b]$ (continuité sous le signe intégrale sur un segment, $f$ étant bornée sur le compact $R$). Par le théorème fondamental, $G$ est $\mathcal{C}^1$ et $G'(u) = \phi(u)$.
2. $g(u, y) = \int_a^u f(x, y)\, dx$ est continue sur $R$ et $\frac{\partial g}{\partial u}(u, y) = f(u, y)$ est continue sur $R$. Par dérivation sous le signe intégrale sur le segment $[c ; d]$, $H$ est $\mathcal{C}^1$ et $H'(u) = \int_c^d f(u, y)\, dy = \phi(u)$.
3. $G' = H'$ sur $[a ; b]$ et $G(a) = H(a) = 0$, donc $G = H$ ; en $u = b$, on obtient l'égalité annoncée.
Cas d'un produit : $\iint_R g(x) h(y)\, dx\, dy = \int_a^b g \times \int_c^d h$.

2. Domaines élémentaires

• Si $D = \{(x, y) \mid a \le x \le b,\ \varphi_1(x) \le y \le \varphi_2(x)\}$ avec $\varphi_1 \le \varphi_2$ continues, et $f$ continue sur $D$ :

$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y)\, dy\right) dx.$$

• Si $D$ se décrit aussi sous la forme $\{c \le y \le d,\ \psi_1(y) \le x \le \psi_2(y)\}$, on peut intégrer dans l'autre ordre : c'est l'interversion des intégrales.
• Aire : $\text{Aire}(D) = \iint_D 1\, dx\, dy$. Linéarité, positivité, additivité par rapport au domaine sont vérifiées.
• En dimension 3, on intègre de même « par piles » ou « par tranches ».

3. Domaines non bornés et Fubini-Tonelli

• Fonctions positives (Tonelli) : pour $f$ continue et positive sur un produit d'intervalles $I \times J$, les deux intégrales itérées sont égales dans $[0 ; +\infty]$ (finies ou infinies simultanément).
• Fonctions de signe quelconque (Fubini) : l'égalité des intégrales itérées est garantie si $\iint |f| < +\infty$ (intégrabilité absolue), ce que l'on vérifie avec Tonelli appliqué à $|f|$.
• Contre-exemple sans intégrabilité : pour $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}$ sur $]0 ; 1]^2$, on a $\int_0^1 f(x, y)\, dy = \frac{1}{1 + x^2}$ (une primitive en $y$ est $\frac{y}{x^2 + y^2}$), donc $\int_0^1 \int_0^1 f\, dy\, dx = \frac{\pi}{4}$, alors que l'autre ordre donne $-\frac{\pi}{4}$ par antisymétrie.

4. Changement de variables et jacobien

Soit $\Phi : \Delta \to D$ un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme entre ouverts de $\mathbb{R}^2$, $(u, v) \mapsto (x, y)$.

• Matrice jacobienne : $J_\Phi(u, v) = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$ ; le jacobien est $\det J_\Phi(u, v)$.
• Formule (admise) : pour $f$ continue et intégrable sur $D$,

$$\iint_D f(x, y)\, dx\, dy = \iint_\Delta f(\Phi(u, v))\, \left|\det J_\Phi(u, v)\right|\, du\, dv.$$

• On peut négliger des parties d'aire nulle (segments, courbes régulières) : la formule s'applique à des fermés dont l'intérieur est en bijection difféomorphe.
• Changement linéaire : pour $\Phi(u, v) = M\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}$, $\text{Aire}(\Phi(\Delta)) = |\det M|\, \text{Aire}(\Delta)$.

5. Coordonnées usuelles et calcul du jacobien polaire

• Polaires : $\Phi(r, \theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$, $J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}$, donc $\det J_\Phi = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r$. $\Phi$ est un $\mathcal{C}^1$-difféomorphisme de $]0 ; +\infty[ \times ]-\pi ; \pi[$ sur le plan privé de la demi-droite $]-\infty ; 0] \times \{0\}$, d'aire nulle. D'où $dx\, dy = r\, dr\, d\theta$.
• Cylindriques : $(r\cos\theta, r\sin\theta, z)$, jacobien $r$, $dx\, dy\, dz = r\, dr\, d\theta\, dz$.
• Sphériques ($\varphi \in [0 ; \pi]$ angle avec l'axe $Oz$) : $x = r\sin\varphi\cos\theta$, $y = r\sin\varphi\sin\theta$, $z = r\cos\varphi$, et $|\det J| = r^2\sin\varphi$ : $dx\, dy\, dz = r^2 \sin\varphi\, dr\, d\theta\, d\varphi$.
• Exemple : volume de la boule de rayon $R$ : $\int_0^R r^2\, dr \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\varphi\, d\varphi = \frac{R^3}{3} \cdot 2\pi \cdot 2 = \frac{4}{3}\pi R^3$.

6. Application : l'intégrale de Gauss

Résultat : $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}$.
1. Notons $I_R = \int_{-R}^{R} e^{-x^2}\, dx$. Par Fubini sur le carré $C_R = [-R ; R]^2$ : $\iint_{C_R} e^{-(x^2 + y^2)}\, dx\, dy = I_R^2$.
2. Pour le disque $D_\rho$ de rayon $\rho$, en polaires : $\iint_{D_\rho} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\, dy = 2\pi \int_0^\rho r e^{-r^2}\, dr = \pi\left(1 - e^{-\rho^2}\right)$.
3. Comme $D_R \subset C_R \subset D_{R\sqrt{2}}$ et que la fonction est positive : $\pi(1 - e^{-R^2}) \le I_R^2 \le \pi(1 - e^{-2R^2})$.
4. En faisant $R \to +\infty$ : $I_R^2 \to \pi$, donc $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}$ (l'intégrale converge, la fonction étant positive et $I_R$ bornée).