Espaces Préhilbertiens en L2 : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Définir un produit scalaire réel, un espace préhilbertien et un espace euclidien.
Énoncer et démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d'égalité, puis l'inégalité de Minkowski.
Caractériser la projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie et calculer une distance.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt pour construire des bases orthonormées.

Le cours

1. Produit scalaire, norme associée, exemples

Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel. Un produit scalaire est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{R}$ bilinéaire, symétrique, positive ( $\langle x, x \rangle \ge 0$ ) et définie ( $\langle x, x \rangle = 0 \implies x = 0_E$ ).

$(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est un espace préhilbertien ; s'il est de dimension finie, c'est un espace euclidien.
Norme associée : $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ . Identité de polarisation : $\langle x, y \rangle = \frac{1}{2}\left(\|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right)$ .
Exemples : sur $\mathbb{R}^n$ , $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ ; sur $\mathcal{C}([a ; b], \mathbb{R})$ , $\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t) g(t)\, dt$ (le caractère défini utilise la continuité) ; sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ , $\langle A, B \rangle = \text{tr}({}^t A B)$ .

2. Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

Cauchy-Schwarz : pour tous $x, y \in E$ , $|\langle x, y \rangle| \le \|x\|\,\|y\|$ , avec égalité si et seulement si $(x, y)$ est liée.
Minkowski (inégalité triangulaire) : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$ , avec égalité si et seulement si $y = 0_E$ ou $x = \lambda y$ avec $\lambda \ge 0$ . Elle découle de Cauchy-Schwarz : $\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 2\langle x, y \rangle + \|y\|^2 \le (\|x\| + \|y\|)^2$ .
Pythagore : $x \perp y \iff \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$ .
Application : pour $f$ continue sur $[0 ; 1]$ , $\left(\int_0^1 f\right)^2 \le \int_0^1 f^2$ (prendre $g = 1$ ).

3. Démonstration de l'inégalité de Cauchy-Schwarz et de son cas d'égalité

Démonstration.
1. Si $y = 0_E$ , les deux membres sont nuls et $(x, y)$ est liée : le résultat est vrai.
2. Supposons $y \neq 0_E$ . Pour $t \in \mathbb{R}$ , posons $P(t) = \|x + t y\|^2 = \|y\|^2 t^2 + 2 \langle x, y \rangle t + \|x\|^2$ , par bilinéarité et symétrie.
3. $P$ est un trinôme de degré 2 (car $\|y\|^2 > 0$ ) positif sur $\mathbb{R}$ ; son discriminant est donc négatif ou nul : $4\langle x, y \rangle^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2 \le 0$ , d'où l'inégalité.
4. Égalité. Si $|\langle x, y \rangle| = \|x\|\,\|y\|$ , le discriminant est nul et $P$ admet une racine réelle $t_0$ : $\|x + t_0 y\| = 0$ , donc $x = -t_0 y$ (caractère défini) et $(x, y)$ est liée.
5. Réciproquement, si $(x, y)$ est liée avec $y \neq 0_E$ , alors $x = \lambda y$ et $|\langle x, y \rangle| = |\lambda|\,\|y\|^2 = \|x\|\,\|y\|$ .

4. Familles orthonormées et coordonnées

Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre : si $\sum a_i e_i = 0$ , on fait le produit scalaire avec $e_j$ et on obtient $a_j \|e_j\|^2 = 0$ .
Si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$ : $x = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i$ , $\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$ et $\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle^2$ , où $x_i, y_i$ sont les coordonnées.
Une matrice de passage entre deux bases orthonormées $P$ vérifie ${}^t P P = I_n$ .

5. Orthogonal d'un sous-espace et projection orthogonale

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $F^\perp = \{x \in E \mid \forall y \in F, \langle x, y \rangle = 0\}$ ; on a toujours $F \cap F^\perp = \{0_E\}$ .

Théorème : si $F$ est de dimension finie, $E = F \oplus F^\perp$ (même si $E$ est de dimension infinie). Si $(e_1, \dots, e_p)$ est une base orthonormée de $F$ , la projection orthogonale sur $F$ est

$p_F(x) = \sum_{i=1}^p \langle x, e_i \rangle e_i.$

Caractérisation : $p_F(x)$ est l'unique $y \in F$ tel que $x - y \in F^\perp$ .
Distance : pour tout $y \in F$ , Pythagore donne $\|x - y\|^2 = \|x - p_F(x)\|^2 + \|p_F(x) - y\|^2$ ; donc $d(x, F) = \|x - p_F(x)\|$ , et ce minimum n'est atteint qu'en $y = p_F(x)$ .
Inégalité de Bessel : $\|p_F(x)\|^2 = \sum_{i=1}^p \langle x, e_i \rangle^2 \le \|x\|^2$ .
Si $E$ est euclidien : $\dim F^\perp = \dim E - \dim F$ et $(F^\perp)^\perp = F$ .

6. Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt

Soit $(v_1, \dots, v_n)$ une famille libre de $E$ . On définit par récurrence :
$u_1 = v_1, \qquad u_k = v_k - \sum_{i=1}^{k-1} \langle v_k, e_i \rangle e_i, \qquad e_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}.$

$u_k = v_k - p_{F_{k-1}}(v_k)$ où $F_{k-1} = \text{Vect}(v_1, \dots, v_{k-1}) = \text{Vect}(e_1, \dots, e_{k-1})$ ; $u_k \neq 0_E$ car $v_k \notin F_{k-1}$ (liberté).
$(e_1, \dots, e_n)$ est orthonormée et $\text{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \text{Vect}(v_1, \dots, v_k)$ pour tout $k$ . C'est l'unique famille ayant ces propriétés avec $\langle e_k, v_k \rangle > 0$ .
Conséquences : tout espace euclidien admet une base orthonormée ; toute famille orthonormée se complète en base orthonormée.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Projeter sur un plan et calculer une distance

Exemple

Dans $\mathbb{R}^3$ euclidien canonique, soit $F$ le plan d'équation $x + 2y - z = 0$ et $a = (1, 1, 1)$ . Calculer $p_F(a)$ et $d(a, F)$ .

Vecteur normal : $n = (1, 2, -1)$ engendre $F^\perp$ et $\|n\| = \sqrt{6}$ .
Projection sur $F^\perp$ : $p_{F^\perp}(a) = \frac{\langle a, n \rangle}{\|n\|^2} n = \frac{1 + 2 - 1}{6} n = \frac{1}{3}(1, 2, -1)$ .
Projection sur $F$ : $p_F(a) = a - p_{F^\perp}(a) = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right)$ . Contrôle : $\frac{2}{3} + \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = 0$ , le point est bien dans $F$ .
Distance : $d(a, F) = \|p_{F^\perp}(a)\| = \frac{|\langle a, n \rangle|}{\|n\|} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Méthode : Orthonormaliser une base de polynômes

Exemple

Sur $\mathbb{R}_2[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} P(t) Q(t)\, dt$ , orthonormaliser $(1, X, X^2)$ .

Premier vecteur : $\|1\|^2 = \int_{-1}^1 dt = 2$ , donc $e_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}$ .
Deuxième vecteur : $\langle X, 1 \rangle = \int_{-1}^1 t\, dt = 0$ , donc $u_1 = X$ ; $\|X\|^2 = \frac{2}{3}$ et $e_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}\, X$ .
Troisième vecteur : $\langle X^2, X \rangle = 0$ et $\langle X^2, e_0 \rangle e_0 = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 t^2\, dt = \frac{1}{3}$ , donc $u_2 = X^2 - \frac{1}{3}$ .
Normalisation : $\|u_2\|^2 = \int_{-1}^1 \left(t^4 - \frac{2}{3}t^2 + \frac{1}{9}\right) dt = \frac{2}{5} - \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{8}{45}$ , d'où $e_2 = \sqrt{\frac{45}{8}}\left(X^2 - \frac{1}{3}\right)$ .

Pièges fréquents

La formule $p_F(x) = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$ exige une base orthonormée de $F$ ; pour une base seulement orthogonale, il faut écrire $\sum \frac{\langle x, e_i \rangle}{\|e_i\|^2} e_i$ .
En dimension infinie, $E = F \oplus F^\perp$ peut être faux si $F$ n'est pas de dimension finie : dans $\mathcal{C}([0 ; 1], \mathbb{R})$ muni de $\int_0^1 fg$ , l'hyperplan $F = \{f \mid f(0) = 0\}$ vérifie $F^\perp = \{0\}$ (si $g \in F^\perp$ , tester $f(t) = t\,g(t)$ donne $\int_0^1 t\,g(t)^2\,dt = 0$ , donc $g = 0$ ), alors que $F \neq E$ .
Sans valeur absolue, $\langle x, y \rangle = \|x\|\,\|y\|$ équivaut à la colinéarité positive ; $|\langle x, y \rangle| = \|x\|\,\|y\|$ équivaut à $(x, y)$ liée.
La réciproque de Pythagore est fausse pour trois vecteurs : $x = (2, 0)$ , $y = (1, 1)$ , $z = (-1, 1)$ vérifient $\|x + y + z\|^2 = 8 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + \|z\|^2$ sans être deux à deux orthogonaux.
Dans Gram-Schmidt, on projette $v_k$ sur les $e_i$ déjà normés (ou on divise par $\|u_i\|^2$ ) ; utiliser les $v_i$ à la place des $e_i$ donne une famille non orthogonale.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité.

$|\langle x, y \rangle| \le \|x\|\,\|y\|$ , avec égalité si et seulement si $(x, y)$ est liée.

Quelle est l'idée de la démonstration de Cauchy-Schwarz ?

Le trinôme $t \mapsto \|x + t y\|^2$ est positif sur $\mathbb{R}$ , donc son discriminant $4\langle x, y \rangle^2 - 4\|x\|^2\|y\|^2$ est négatif ou nul.

Expression de

p_F(x)

dans une base orthonormée

(e_1, \dots, e_p)

de

F

?

$p_F(x) = \sum_{i=1}^p \langle x, e_i \rangle e_i$ .

Comment caractériser la projection orthogonale

p_F(x)

?

C'est l'unique $y \in F$ tel que $x - y \in F^\perp$ ; c'est aussi l'unique point de $F$ réalisant $d(x, F)$ .

Que vaut

\dim F^\perp

dans un espace euclidien de dimension

n

?

$\dim F^\perp = n - \dim F$ , et $(F^\perp)^\perp = F$ .

Pourquoi une famille orthogonale de vecteurs non nuls est-elle libre ?

Si $\sum a_i e_i = 0$ , le produit scalaire avec $e_j$ donne $a_j \|e_j\|^2 = 0$ , donc $a_j = 0$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Inégalité de Cauchy-Schwarz

Palier 1 · découverte

Pour tous vecteurs $x, y$ d'un espace préhilbertien réel muni du produit scalaire $\langle \cdot, \cdot \rangle$ , que vaut l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?

$|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$
$\langle x, y \rangle \ge \|x\| + \|y\|$
$\|x + y\| = \|x\| + \|y\|$
$|\langle x, y \rangle| = \|x\|^2 \|y\|^2$

Un indice

Considère le polynôme $t \mapsto \|x + ty\|^2$ , positif pour tout réel $t$ : que dit le signe de son discriminant ?

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Bonne réponse : A. $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$

L'inégalité fondamentale de Cauchy-Schwarz s'écrit $|\langle x, y \rangle| \le \|x\| \|y\|$ , avec égalité si et seulement si la famille $(x, y)$ est liée.

Exercice 2 Procédé de Gram-Schmidt

Palier 2 · application

Dans $\mathbb{R}^2$ muni du produit scalaire usuel, en partant de $v_1 = (1, 0)$ et $v_2 = (1, 1)$ , que vaut le deuxième vecteur orthogonal $u_2$ obtenu par Gram-Schmidt ?

$(0, 1)$
$(1, -1)$
$(-1, 0)$
$(1, 0)$

Un indice

$u_2 = v_2 - \frac{\langle v_2, u_1 \rangle}{\|u_1\|^2} u_1$ .

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Bonne réponse : A. $(0, 1)$

Par Gram-Schmidt : $u_1 = (1, 0)$ et $u_2 = v_2 - \langle v_2, u_1 \rangle u_1 = (1, 1) - 1(1, 0) = (0, 1)$ . Les vecteurs sont orthogonaux.

Exercice 3 Distance à un sous-espace et projection

Palier 3 · approfondissement

Si $p_F(x)$ désigne le projeté orthogonal de $x$ sur un sous-espace de dimension finie $F$ , quelle relation caractérise la distance $d(x, F)$ ?

$d(x, F) = \|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|$
$d(x, F) = \|p_F(x)\|$
$d(x, F) = \|x\| + \|p_F(x)\|$
$d(x, F) = 0$ pour tout $x$

Un indice

Pour $y \in F$ , écris $x - y = (x - p_F(x)) + (p_F(x) - y)$ : ces deux vecteurs sont orthogonaux, applique le théorème de Pythagore.

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Bonne réponse : A. $d(x, F) = \|x - p_F(x)\| = \min_{y \in F} \|x - y\|$

D'après le théorème de projection orthogonale, $p_F(x)$ est l'unique élément de $F$ qui minimise la distance à $x$ , donc $d(x, F) = \|x - p_F(x)\|$ .

Exercice 4 Identité du parallélogramme

Palier 4 · défi

Une norme $\|\cdot\|$ découle d'un produit scalaire réel si et seulement si elle satisfait l'identité du parallélogramme :

$\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$
$\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$
$\|x - y\|^2 = \|x\|^2 - \|y\|^2$
$\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$

Un indice

Théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan.

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Bonne réponse : A. $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$

Le théorème de Jordan-von Neumann stipule qu'une norme est issue d'un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$ .