Dualité en dimension finie en L2 : cours et exercices corrigés

Objectifs du chapitre

Définir l'espace dual $E^{\ast} = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})$ , les formes linéaires et les hyperplans.
Construire la base duale $(e_1^{\ast}, \dots, e_n^{\ast})$ associée à une base de $E$ et l'utiliser pour calculer des coordonnées.
Démontrer la formule $\dim F + \dim F^{\circ} = \dim E$ et décrire un sous-espace par des équations.
Définir la transposée ${}^t u \in \mathcal{L}(F^{\ast}, E^{\ast})$ et relier son noyau et son image à ceux de $u$ .

Le cours

1. Formes linéaires, dual, hyperplans

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.

Une forme linéaire est une application linéaire $\varphi : E \to \mathbb{K}$ ; l'espace dual est $E^{\ast} = \mathcal{L}(E, \mathbb{K})$ .
Exemples : $(x_1, \dots, x_n) \mapsto \sum a_i x_i$ sur $\mathbb{K}^n$ ; $A \mapsto \text{tr}(A)$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ; $P \mapsto P(a)$ sur $\mathbb{K}[X]$ ; $f \mapsto \int_a^b f$ sur $\mathcal{C}([a ; b], \mathbb{R})$ .
Si $\dim E = n$ , alors $\dim E^{\ast} = n$ .
Hyperplans : $H$ est un hyperplan ( $\dim H = n - 1$ en dimension finie) si et seulement si $H = \text{Ker}\,\varphi$ pour une forme $\varphi$ non nulle. Deux formes non nulles ont le même noyau si et seulement si elles sont colinéaires.

2. Base duale

Soit $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E$ .

Pour chaque $i$ , il existe une unique forme $e_i^{\ast}$ telle que $e_i^{\ast}(e_j) = \delta_{ij}$ (une application linéaire est déterminée par les images d'une base). La famille $\mathcal{B}^{\ast} = (e_1^{\ast}, \dots, e_n^{\ast})$ est une base de $E^{\ast}$ , appelée base duale.
$e_i^{\ast}$ est la $i$ -ième forme coordonnée : $x = \sum_{i=1}^n e_i^{\ast}(x)\, e_i$ pour tout $x \in E$ .
Toute forme se décompose en $\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi(e_i)\, e_i^{\ast}$ .
Réciproquement, toute base de $E^{\ast}$ est la base duale d'une unique base de $E$ (base antéduale).
Exemple : pour $a_0, \dots, a_n$ distincts, les formes $P \mapsto P(a_i)$ forment une base de $\mathbb{K}_n[X]^{\ast}$ , duale de la base des polynômes de Lagrange $(L_0, \dots, L_n)$ , puisque $L_j(a_i) = \delta_{ij}$ .

3. Orthogonalité au sens de la dualité

Pour une partie $F$ de $E$ : $F^{\circ} = \{\varphi \in E^{\ast} \mid \forall x \in F,\ \varphi(x) = 0\}$ , sous-espace de $E^{\ast}$ .
Pour une partie $G$ de $E^{\ast}$ : $G^{\circ} = \{x \in E \mid \forall \varphi \in G,\ \varphi(x) = 0\}$ , sous-espace de $E$ .
En dimension finie : $\dim F + \dim F^{\circ} = \dim E$ , $\dim G + \dim G^{\circ} = \dim E$ (pour des sous-espaces), et $(F^{\circ})^{\circ} = F$ .
Bidual : l'application $E \to E^{\ast\ast}$ , $x \mapsto (\varphi \mapsto \varphi(x))$ est linéaire, injective, et c'est un isomorphisme en dimension finie (égalité des dimensions). Il est canonique : il ne dépend d'aucun choix de base.

4. Démonstration : dimension de l'orthogonal dans le dual

Théorème. Si $\dim E = n$ et $F$ est un sous-espace de dimension $p$ , alors $\dim F^{\circ} = n - p$ .
Démonstration.
1. Soit $(e_1, \dots, e_p)$ une base de $F$ , complétée en une base $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ de $E$ , et $\mathcal{B}^{\ast}$ sa base duale.
2. Inclusion $\text{Vect}(e_{p+1}^{\ast}, \dots, e_n^{\ast}) \subset F^{\circ}$ : pour $j > p$ et $i \le p$ , $e_j^{\ast}(e_i) = 0$ ; par linéarité, $e_j^{\ast}$ s'annule sur $F = \text{Vect}(e_1, \dots, e_p)$ , et $F^{\circ}$ est un sous-espace.
3. Inclusion réciproque : si $\varphi \in F^{\circ}$ , alors $\varphi = \sum_{i=1}^n \varphi(e_i)\, e_i^{\ast}$ avec $\varphi(e_i) = 0$ pour $i \le p$ , donc $\varphi \in \text{Vect}(e_{p+1}^{\ast}, \dots, e_n^{\ast})$ .
4. Ainsi $F^{\circ} = \text{Vect}(e_{p+1}^{\ast}, \dots, e_n^{\ast})$ ; cette famille est extraite d'une base, donc libre, et $\dim F^{\circ} = n - p$ .
Conséquence : un sous-espace de dimension $p$ est l'intersection de $n - p$ hyperplans (il est décrit par $n - p$ équations indépendantes, qui forment une base de $F^{\circ}$ ), et pas moins.

5. Transposée d'une application linéaire

Pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , la transposée est ${}^t u : F^{\ast} \to E^{\ast}$ , $\psi \mapsto \psi \circ u$ .

Si $M = \text{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(u)$ , alors $\text{Mat}_{\mathcal{C}^{\ast}, \mathcal{B}^{\ast}}({}^t u) = {}^t M$ .
${}^t(v \circ u) = {}^t u \circ {}^t v$ (ordre inversé).
$\text{Ker}({}^t u) = (\text{Im}\,u)^{\circ}$ : en effet $\psi \circ u = 0 \iff \psi$ s'annule sur $\text{Im}\,u$ . En dimension finie, $\text{Im}({}^t u) = (\text{Ker}\,u)^{\circ}$ .
Rang : $\text{rg}({}^t u) = \dim F - \dim (\text{Im}\,u)^{\circ} = \dim F - (\dim F - \text{rg}\,u) = \text{rg}\,u$ . Matriciellement : $\text{rg}({}^t M) = \text{rg}(M)$ , le rang des lignes égale le rang des colonnes.

6. Équations d'un sous-espace

Si $F = \text{Vect}(v_1, \dots, v_p)$ , un système d'équations de $F$ s'obtient en cherchant une base de $F^{\circ}$ : les formes $\varphi$ telles que $\varphi(v_1) = \dots = \varphi(v_p) = 0$ .
Inversement, si $F$ est défini par des équations $\varphi_1(x) = \dots = \varphi_q(x) = 0$ , alors $F = \{\varphi_1, \dots, \varphi_q\}^{\circ}$ et $\dim F = n - \text{rg}(\varphi_1, \dots, \varphi_q)$ .
Dans un espace euclidien, l'isomorphisme $a \mapsto \langle a, \cdot \rangle$ de $E$ sur $E^{\ast}$ identifie $F^{\circ}$ à l'orthogonal euclidien $F^\perp$ .

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Déterminer une base duale

Exemple

Trouver la base duale de $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ avec $e_1 = (1, 1)$ et $e_2 = (1, -1)$ dans $\mathbb{R}^2$ .

Forme cherchée : $e_1^{\ast}(x, y) = ax + by$ et $e_2^{\ast}(x, y) = cx + dy$ .
Conditions pour $e_1^{\ast}$ : $a + b = 1$ et $a - b = 0$ , donc $a = b = \frac{1}{2}$ et $e_1^{\ast}(x, y) = \frac{x + y}{2}$ .
Conditions pour $e_2^{\ast}$ : $c + d = 0$ et $c - d = 1$ , donc $e_2^{\ast}(x, y) = \frac{x - y}{2}$ .
Méthode matricielle : si $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ a pour colonnes les $e_j$ , les lignes de $P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ donnent les coefficients des $e_i^{\ast}$ (car $P^{-1} P = I_2$ traduit $e_i^{\ast}(e_j) = \delta_{ij}$ ).

Méthode : Trouver des équations d'un sous-espace

Exemple

Donner des équations de $F = \text{Vect}(v_1, v_2)$ dans $\mathbb{R}^4$ , avec $v_1 = (1, 1, 0, 0)$ et $v_2 = (0, 1, 1, 1)$ .

Dimension : $v_1, v_2$ sont non colinéaires, donc $\dim F = 2$ et $\dim F^{\circ} = 4 - 2 = 2$ : il faut deux équations.
Système : $\varphi(x, y, z, t) = ax + by + cz + dt$ est dans $F^{\circ}$ si et seulement si $a + b = 0$ et $b + c + d = 0$ .
Base de $F^{\circ}$ : $(a, b, c, d) = (-1, 1, -1, 0)$ et $(0, 0, 1, -1)$ .
Conclusion : $F = \{(x, y, z, t) \mid -x + y - z = 0 \text{ et } z - t = 0\}$ . Contrôle : $v_1$ et $v_2$ vérifient les deux équations.

Pièges fréquents

$E$ et $E^{\ast}$ ont la même dimension finie, mais il n'existe pas d'isomorphisme canonique $E \to E^{\ast}$ : il faut choisir une base ou un produit scalaire. L'isomorphisme $E \to E^{\ast\ast}$ , lui, est canonique.
La forme $e_i^{\ast}$ dépend de toute la base, pas seulement de $e_i$ : avec $e_1 = (1, 0)$ , on obtient $e_1^{\ast}(x, y) = x$ si $e_2 = (0, 1)$ , mais $e_1^{\ast}(x, y) = x - y$ si $e_2 = (1, 1)$ .
La transposée de $u : E \to F$ va de $F^{\ast}$ dans $E^{\ast}$ (sens inverse) et ${}^t(v \circ u) = {}^t u \circ {}^t v$ .
$F^{\circ}$ est un sous-espace de $E^{\ast}$ , pas de $E$ : ne pas le confondre avec l'orthogonal euclidien $F^\perp \subset E$ , même s'ils se correspondent dans un espace euclidien.
En dimension infinie, $\dim E^{\ast} = \dim E$ est faux en général et $E \to E^{\ast\ast}$ n'est pas surjective ; par exemple $\mathbb{K}[X]^{\ast}$ s'identifie à l'espace de toutes les suites, qui n'a pas de base dénombrable.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Comment est définie la base duale de

(e_1, \dots, e_n)

?

Par $e_i^{\ast}(e_j) = \delta_{ij}$ ; $e_i^{\ast}$ est la $i$ -ième forme coordonnée.

Quelle relation de dimension lie

F

et

F^{\circ}

en dimension finie ?

$\dim F + \dim F^{\circ} = \dim E$ .

Comment démontrer

\dim F^{\circ} = n - p

?

Compléter une base de $F$ en base de $E$ ; $F^{\circ}$ est alors engendré par les $n - p$ dernières formes de la base duale.

Quelle matrice représente la transposée

{}^t u

dans les bases duales ?

La transposée ${}^t M$ de la matrice $M$ de $u$ .

Que valent

\text{Ker}({}^t u)

et

\text{rg}({}^t u)

?

$\text{Ker}({}^t u) = (\text{Im}\,u)^{\circ}$ et $\text{rg}({}^t u) = \text{rg}(u)$ .

Combien d'équations faut-il au minimum pour décrire un sous-espace de dimension

p

de

E

,

\dim E = n

?

$n - p$ équations linéaires indépendantes.

Exercices corrigés

Exercice 1 Dimension du dual d'un espace vectoriel

Palier 1 · découverte

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ . Quelle est la dimension de son espace dual $E^* = \mathcal{L}(E, K)$ ?

$n$
$n^2$
$2^n$
$n - 1$

Un indice

$E^* = \mathcal{L}(E, K)$ , avec $\dim(K) = 1$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $n$

En dimension finie, l'espace dual $E^*$ a la même dimension que $E$ : $\dim(E^*) = \dim(E) = n$ .

Exercice 2 Orthogonal dual d'un sous-espace

Palier 2 · application

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension 2 dans un espace $E$ de dimension 5. Quelle est la dimension de $F^\circ = \{\varphi \in E^* \mid \varphi|_F = 0\}$ ?

$3$
$2$
$5$
$0$

Un indice

Formule fondamentale : $\dim F + \dim F^\circ = \dim E$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $3$

En dimension finie, on a $\dim(F) + \dim(F^\circ) = \dim(E)$ . Donc $\dim(F^\circ) = 5 - 2 = 3$ .

Exercice 3 Base duale d'une base de R^2

Palier 3 · approfondissement

Soit la base $\mathcal{B} = (e_1, e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ avec $e_1 = (1, 1)$ et $e_2 = (1, -1)$ . Pour $x = (u, v)$ , que vaut la forme linéaire $e_1^*(x)$ ?

$\frac{u + v}{2}$
$\frac{u - v}{2}$
$u + v$
$u$

Un indice

Écris $(u, v) = c_1 e_1 + c_2 e_2$ . Alors $e_1^*(x) = c_1$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $\frac{u + v}{2}$

On a $(u, v) = c_1(1, 1) + c_2(1, -1) \iff c_1 + c_2 = u$ et $c_1 - c_2 = v$ . En sommant : $2c_1 = u + v \iff c_1 = \frac{u+v}{2}$ . Donc $e_1^*(x) = \frac{u+v}{2}$ .

Exercice 4 Équation d'un hyperplan vectoriel

Palier 4 · défi

Tout hyperplan $H$ d'un espace vectoriel $E$ est le noyau :

D'une forme linéaire non nulle $\varphi \in E^*$ , unique à scalaire non nul près
D'un projecteur bijectif
De l'application nulle uniquement
D'une forme bilinéaire symétrique dégénérée

Un indice

Par définition, $\text{codim}(H) = 1$ , donc par le théorème du rang, son équation provient d'une forme linéaire dans le corps $K$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. D'une forme linéaire non nulle $\varphi \in E^*$ , unique à scalaire non nul près

Un sous-espace $H$ est un hyperplan si et seulement s'il existe une forme linéaire non nulle $\varphi$ telle que $H = \text{Ker}(\varphi)$ , deux formes ayant même noyau étant proportionnelles.