Cours et exercices corrigés de L2 : Séries numériques réelles et complexes : convergence et critères

1. Définition, divergence grossière, séries télescopiques

Soit $(u_n)$ une suite de $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) et $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.

• La série $\sum u_n$ converge si $(S_n)$ admet une limite finie $S$ ; on note $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ et $R_n = S - S_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$ le reste, qui tend vers $0$.
• Condition nécessaire : si $\sum u_n$ converge, alors $u_n = S_n - S_{n-1} \to 0$. Si $u_n \not\to 0$, la série diverge grossièrement.
• Séries télescopiques : $\sum (a_{n+1} - a_n)$ converge si et seulement si la suite $(a_n)$ converge. Exemple : $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ donne $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)} = 1$.
• L'ensemble des séries convergentes est un espace vectoriel et la somme est linéaire.

2. Séries à termes positifs et comparaison

Si $u_n \ge 0$, la suite $(S_n)$ est croissante : $\sum u_n$ converge si et seulement si $(S_n)$ est majorée.
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ positives :

• Inégalité : si $u_n \le v_n$ à partir d'un certain rang, la convergence de $\sum v_n$ entraîne celle de $\sum u_n$ (et la divergence de $\sum u_n$ celle de $\sum v_n$).
• Domination : si $u_n = O(v_n)$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
• Équivalence : si $u_n \sim v_n$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature (car $\frac{1}{2} v_n \le u_n \le 2 v_n$ à partir d'un certain rang).
• Ces énoncés restent valables si les termes sont de signe constant à partir d'un certain rang.

3. Démonstration : comparaison série-intégrale et séries de Riemann

Théorème. Soit $f : [n_0 ; +\infty[ \to \mathbb{R}_+$ continue par morceaux et décroissante. Alors la série $\sum f(n)$ et l'intégrale $\int_{n_0}^{+\infty} f(t)\, dt$ sont de même nature.
Démonstration.
1. Pour $k \ge n_0 + 1$ et $t \in [k - 1 ; k]$, la décroissance donne $f(k) \le f(t) \le f(k - 1)$ ; en intégrant sur un intervalle de longueur 1 : $f(k) \le \int_{k-1}^{k} f(t)\, dt \le f(k-1)$.
2. En sommant pour $k$ de $n_0 + 1$ à $N$ (relation de Chasles) : $\sum_{k=n_0+1}^{N} f(k) \le \int_{n_0}^{N} f(t)\, dt \le \sum_{k=n_0}^{N-1} f(k)$.
3. Comme $f \ge 0$, $X \mapsto \int_{n_0}^X f$ est croissante : l'intégrale converge si et seulement si la suite $\left(\int_{n_0}^N f\right)_N$ est majorée ; de même, la série converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées.
4. L'encadrement montre que l'une des deux suites est majorée si et seulement si l'autre l'est.
Application (Riemann). Pour $\alpha > 0$, $f(t) = t^{-\alpha}$ est décroissante et $\int_1^N t^{-\alpha} dt$ vaut $\frac{N^{1-\alpha} - 1}{1 - \alpha}$ si $\alpha \neq 1$ et $\ln N$ si $\alpha = 1$ : elle est bornée si et seulement si $\alpha > 1$. Pour $\alpha \le 0$, $n^{-\alpha} \not\to 0$. Donc $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$. L'encadrement donne aussi $\ln(n + 1) \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \le 1 + \ln n$, donc $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim \ln n$.

4. Séries de référence et règles de d'Alembert et de Cauchy

• Géométrique : $\sum q^n$ converge si et seulement si $|q| < 1$, et $\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = \frac{1}{1 - q}$.
• Riemann : $\sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.
• Règle de d'Alembert : si $u_n > 0$ et $\frac{u_{n+1}}{u_n} \to \ell \in [0 ; +\infty]$ : convergence si $\ell < 1$, divergence grossière si $\ell > 1$, aucune conclusion si $\ell = 1$.
• Règle de Cauchy : si $u_n \ge 0$ et $\sqrt[n]{u_n} \to \ell$ : mêmes conclusions.
• Les deux règles reposent sur la comparaison à une série géométrique ; elles échouent pour les séries de Riemann ($\ell = 1$ pour tout $\alpha$).

5. Convergence absolue et critère spécial des séries alternées

• $\sum u_n$ est absolument convergente si $\sum |u_n|$ converge. Toute série absolument convergente converge (complétude de $\mathbb{R}$ et de $\mathbb{C}$) et $\left|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\right| \le \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|$.
• Critère spécial des séries alternées : si $(a_n)$ est décroissante et tend vers $0$, alors $\sum (-1)^n a_n$ converge, son reste $R_n$ est du signe de son premier terme $(-1)^{n+1} a_{n+1}$ et $|R_n| \le a_{n+1}$.
• Idée de preuve : $(S_{2n})$ décroît, $(S_{2n+1})$ croît et $S_{2n} - S_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$ : ces suites sont adjacentes.
• Exemple : $\sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ converge (sa somme vaut $\ln 2$) sans converger absolument : elle est semi-convergente.

6. Développements asymptotiques pour les séries de signe quelconque

Lorsque le terme général n'est pas de signe constant, on écrit $u_n = v_n + w_n$ avec :

• $\sum v_n$ convergente par le critère des séries alternées ;
• $w_n$ de signe constant, étudié par équivalents, ou $w_n = O\left(\frac{1}{n^\beta}\right)$ avec $\beta > 1$ (convergence absolue).

La série $\sum u_n$ a alors la nature de $\sum w_n$. Exemple : $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}$ est équivalent à $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, terme d'une série convergente, mais $\sum u_n$ diverge (somme d'une série convergente et d'une série divergente).