Cours et exercices corrigés de L2 : Intégrale de Riemann approfondie et fonctions réglées

1. Fonctions en escalier et fonctions réglées

Soit $[a ; b]$ un segment ($a < b$).

• $\varphi : [a ; b] \to \mathbb{R}$ est en escalier s'il existe une subdivision $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$ telle que $\varphi$ soit constante sur chaque $]x_{i-1} ; x_i[$.
• $f$ est réglée si elle est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier : pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $\varphi$ en escalier avec $\|f - \varphi\|_\infty \le \varepsilon$.
• Caractérisation : $f$ est réglée si et seulement si elle admet une limite finie à droite en tout point de $[a ; b[$ et une limite finie à gauche en tout point de $]a ; b]$.
• Exemples : les fonctions continues (par uniforme continuité, théorème de Heine), monotones, continues par morceaux sont réglées. L'indicatrice de $\mathbb{Q} \cap [0 ; 1]$ n'est pas réglée (elle n'a de limite à droite en aucun point).

2. Construction de l'intégrale

• Pour $\varphi$ en escalier valant $c_i$ sur $]x_{i-1} ; x_i[$ : $\int_a^b \varphi = \sum_{i=1}^n c_i (x_i - x_{i-1})$. Cette valeur ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie, ni des valeurs de $\varphi$ aux points $x_i$.
• L'application $\varphi \mapsto \int_a^b \varphi$ est linéaire et vérifie $\left|\int_a^b \varphi\right| \le (b - a)\|\varphi\|_\infty$.
• Si $f$ est réglée et $(\varphi_n)$ en escalier converge uniformément vers $f$, la suite $\left(\int_a^b \varphi_n\right)$ est de Cauchy, donc converge ; sa limite ne dépend pas de la suite choisie. On la note $\int_a^b f$.
• On obtient une forme linéaire sur l'espace des fonctions réglées, vérifiant encore $\left|\int_a^b f\right| \le (b - a)\|f\|_\infty$.

3. Démonstration : positivité et relation de Chasles

Théorème. Pour $f, g$ réglées sur $[a ; b]$ :
(i) si $f \ge 0$, alors $\int_a^b f \ge 0$ ; par linéarité, $f \le g \implies \int_a^b f \le \int_a^b g$ ;
(ii) pour $c \in ]a ; b[$, $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$.
Démonstration.
1. Cas en escalier. Si $\varphi \ge 0$, toutes ses valeurs $c_i$ sur les intervalles ouverts sont $\ge 0$, donc $\int \varphi \ge 0$. Pour Chasles, on choisit une subdivision adaptée contenant $c$ ; la somme $\sum c_i(x_i - x_{i-1})$ se coupe en deux sommes, qui sont $\int_a^c \varphi$ et $\int_c^b \varphi$.
2. Positivité, cas réglé. Soit $(\varphi_n)$ en escalier telle que $\varepsilon_n = \|f - \varphi_n\|_\infty \to 0$. La fonction $\psi_n = \varphi_n + \varepsilon_n$ est en escalier, vérifie $\psi_n \ge f \ge 0$ et converge uniformément vers $f$. Donc $\int_a^b \psi_n \ge 0$ et, par passage à la limite, $\int_a^b f \ge 0$.
3. Chasles, cas réglé. Les restrictions de $\varphi_n$ à $[a ; c]$ et $[c ; b]$ sont en escalier et convergent uniformément vers celles de $f$. On passe à la limite dans $\int_a^b \varphi_n = \int_a^c \varphi_n + \int_c^b \varphi_n$.
Compléments : $\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f|$ (appliquer (i) à $|f| - f$ et $|f| + f$). Si $f$ est continue, positive et d'intégrale nulle, alors $f = 0$ : sinon $f \ge \frac{f(x_0)}{2} > 0$ sur un segment non trivial autour d'un point $x_0$, et l'intégrale serait $> 0$.

4. Théorème fondamental de l'analyse

Théorème. Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$, alors $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$.
Démonstration. Pour $x \in I$ et $h \neq 0$ avec $x + h \in I$, la relation de Chasles et $\int_x^{x+h} f(x)\, dt = h f(x)$ donnent
$$\left|\frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x)\right| = \frac{1}{|h|}\left|\int_x^{x+h} \big(f(t) - f(x)\big)\, dt\right| \le \sup_{|t - x| \le |h|} |f(t) - f(x)|,$$
qui tend vers $0$ quand $h \to 0$ par continuité de $f$ en $x$. Donc $F'(x) = f(x)$. Deux primitives diffèrent d'une constante sur l'intervalle $I$, d'où l'unicité.
Conséquences : $\int_a^b f = G(b) - G(a)$ pour toute primitive $G$ ; intégration par parties et changement de variable pour des fonctions de classe $\mathcal{C}^1$.

5. Sommes de Riemann

Si $f$ est réglée (en particulier continue) sur $[a ; b]$ :
$$\frac{b - a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b - a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_a^b f(t)\, dt,$$
et de même avec $\sum_{k=1}^{n}$.

• Si $f$ est $K$-lipschitzienne, l'erreur est au plus $\frac{K(b - a)^2}{2n}$.
• Exemple : $\sum_{k=1}^n \frac{1}{n + k} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + k/n} \to \int_0^1 \frac{dx}{1 + x} = \ln 2$.

6. Interversion limite-intégrale sur un segment

• Théorème : si $(f_n)$ est une suite de fonctions réglées sur $[a ; b]$ convergeant uniformément vers $f$, alors $f$ est réglée et $\int_a^b f_n \to \int_a^b f$.
• Preuve : $\left|\int_a^b f_n - \int_a^b f\right| \le \int_a^b |f_n - f| \le (b - a)\|f_n - f\|_\infty \to 0$.
• Séries de fonctions : si $\sum f_n$ converge uniformément sur $[a ; b]$ (par exemple normalement : $\sum \|f_n\|_\infty < +\infty$), alors $\int_a^b \sum_{n=0}^{+\infty} f_n = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_a^b f_n$.
• Exemple : sur $[0 ; \frac{1}{2}]$, $|x^n| \le 2^{-n}$, donc $\ln 2 = \int_0^{1/2} \frac{dx}{1 - x} = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{1/2} x^n\, dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\, 2^n}$.