Cours et exercices corrigés de L3 : Géométrie affine, projective et groupe d'inversion

1. Espaces projectifs et coordonnées homogènes

• Espace projectif : pour $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n+1$, $\mathbb{P}(E)$ est l'ensemble des droites vectorielles de $E$ :

$$\mathbb{P}(E) = (E \setminus \{0\}) / \sim, \qquad x \sim y \iff \exists \lambda \in \mathbb{K}^{\ast}, \; y = \lambda x$$
Sa dimension (projective) est $n$. On note $\mathbb{P}^n(\mathbb{K}) = \mathbb{P}(\mathbb{K}^{n+1})$.

• Coordonnées homogènes : le point $\mathbb{K}x$ se note $[x_0 : x_1 : \dots : x_n]$, avec $(x_0, \dots, x_n) \neq (0, \dots, 0)$, défini à un scalaire non nul près.
• Cartes affines : l'ensemble $\{x_0 \neq 0\}$ s'identifie à $\mathbb{K}^n$ via $[x_0 : \dots : x_n] \mapsto \left(\frac{x_1}{x_0}, \dots, \frac{x_n}{x_0}\right)$ ; son complémentaire $H_\infty = \{x_0 = 0\} \simeq \mathbb{P}^{n-1}$ est l'hyperplan à l'infini. Ainsi $\mathbb{P}^n = \mathbb{K}^n \sqcup H_\infty$.
• Droite projective : $\mathbb{P}^1(\mathbb{K}) = \mathbb{K} \cup \{\infty\}$ via $[x_0 : x_1] \mapsto \frac{x_1}{x_0}$ (et $[0 : 1] \mapsto \infty$).

2. Sous-espaces projectifs et incidence

• Sous-espace projectif : $\mathbb{P}(F)$ pour $F$ sous-espace vectoriel de $E$ ; $\dim \mathbb{P}(F) = \dim F - 1$. Droites projectives : $\dim F = 2$ ; hyperplans : $\dim F = n$.
• Formule d'incidence : si $\dim \mathbb{P}(F) + \dim \mathbb{P}(G) \ge n$, alors $\mathbb{P}(F) \cap \mathbb{P}(G) \neq \emptyset$ (car $\dim (F \cap G) \ge \dim F + \dim G - (n+1) \ge 1$).
• Plan projectif : deux droites distinctes se coupent en exactement un point, et par deux points distincts passe une unique droite. En coordonnées, la droite d'équation $u_0x_0 + u_1x_1 + u_2x_2 = 0$ a pour « coordonnées » $[u_0 : u_1 : u_2]$ (dualité) ; l'intersection de deux droites et la droite joignant deux points se calculent par produit vectoriel.
• Parallélisme : deux droites affines parallèles du plan, complétées, se coupent en un point de $H_\infty$ (leur direction commune) : le parallélisme devient une incidence sur la droite à l'infini.
• Repère projectif de $\mathbb{P}^n$ : $n+2$ points dont $n+1$ quelconques sont projectivement indépendants (images de vecteurs formant une base). Exemple : $[1:0:0], [0:1:0], [0:0:1], [1:1:1]$ dans $\mathbb{P}^2$.

3. Homographies et théorème fondamental

• Homographie : pour $u \in \text{GL}(E)$, l'application $\mathbb{P}(u) : \mathbb{K}x \mapsto \mathbb{K}u(x)$ est une bijection de $\mathbb{P}(E)$ ; on a $\mathbb{P}(u) = \mathbb{P}(v) \iff v = \lambda u$ avec $\lambda \in \mathbb{K}^{\ast}$. Le groupe des homographies est

$$\text{PGL}(E) = \text{GL}(E) / \mathbb{K}^{\ast}\text{Id}, \qquad \text{PGL}_{n+1}(\mathbb{K}) \text{ pour } \mathbb{P}^n(\mathbb{K})$$

• Théorème fondamental : si $(P_0, \dots, P_{n+1})$ et $(Q_0, \dots, Q_{n+1})$ sont deux repères projectifs de $\mathbb{P}^n(\mathbb{K})$, il existe une unique homographie $h \in \text{PGL}_{n+1}(\mathbb{K})$ telle que $h(P_i) = Q_i$ pour tout $i$.
• Cas de la droite : les homographies de $\mathbb{P}^1(\mathbb{K}) = \mathbb{K} \cup \{\infty\}$ sont les $z \mapsto \frac{az + b}{cz + d}$ avec $ad - bc \neq 0$ (conventions : $-\frac{d}{c} \mapsto \infty$ et $\infty \mapsto \frac{a}{c}$ si $c \neq 0$ ; $\infty \mapsto \infty$ si $c = 0$). Elles sont déterminées par l'image de trois points distincts.
• Lien affine : les homographies de $\mathbb{P}^n$ qui préservent $H_\infty$ sont exactement les prolongements des bijections affines de $\mathbb{K}^n$.

4. Birapport et division harmonique

• Définition : pour $A, B, C$ trois points distincts de $\mathbb{P}^1(\mathbb{K})$ et $D$ quelconque, le birapport $[A, B, C, D]$ est l'image de $D$ par l'unique homographie $h$ envoyant $A, B, C$ sur $\infty, 0, 1$.
• Formule : pour des paramètres $a, b, c, d \in \mathbb{K}$, l'homographie $h(z) = \frac{(z - b)(c - a)}{(z - a)(c - b)}$ vérifie $h(a) = \infty$, $h(b) = 0$, $h(c) = 1$, d'où

$$[A, B, C, D] = \frac{(d - b)(c - a)}{(d - a)(c - b)}$$
Si un point est $\infty$, on supprime les facteurs où il figure : par exemple $[A, B, C, \infty] = \frac{c - a}{c - b}$.

• Division harmonique : $(A, B ; C, D)$ est harmonique si $[A, B, C, D] = -1$ ; $D$ est le conjugué harmonique de $C$ par rapport à $A$ et $B$. Exemple : $[A, B, C, \infty] = -1 \iff c - a = b - c \iff C$ est le milieu de $[AB]$.
• Permutations : le birapport dépend de l'ordre des points ; les 24 permutations ne donnent que 6 valeurs en général : $\lambda, \frac{1}{\lambda}, 1 - \lambda, \frac{1}{1 - \lambda}, \frac{\lambda - 1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda - 1}$.

5. Démonstration : invariance du birapport par homographie

Théorème. Soit $g$ une homographie de $\mathbb{P}^1(\mathbb{K})$, $A, B, C$ distincts et $D$ quelconque. Alors $[g(A), g(B), g(C), g(D)] = [A, B, C, D]$.

Démonstration (par la définition).
1. Soit $h$ l'unique homographie telle que $h(A) = \infty$, $h(B) = 0$, $h(C) = 1$ ; par définition $[A, B, C, D] = h(D)$.
2. $g$ étant bijective, $g(A), g(B), g(C)$ sont distincts, et $k = h \circ g^{-1}$ est une homographie (composée d'homographies) vérifiant $k(g(A)) = \infty$, $k(g(B)) = 0$, $k(g(C)) = 1$.
3. Par unicité dans le théorème fondamental (trois points distincts de $\mathbb{P}^1$ forment un repère), $k$ est l'homographie qui définit le birapport de $(g(A), g(B), g(C), \cdot)$.
4. Donc $[g(A), g(B), g(C), g(D)] = k(g(D)) = h(g^{-1}(g(D))) = h(D) = [A, B, C, D]$. $\square$

Vérification par le calcul. $\text{PGL}_2(\mathbb{K})$ est engendré par les translations $z \mapsto z + \beta$, les homothéties $z \mapsto \alpha z$ ($\alpha \neq 0$) et $z \mapsto \frac{1}{z}$, puisque pour $c \neq 0$ : $\frac{az + b}{cz + d} = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cz + d)}$. Les deux premières laissent la formule invariante (différences inchangées ou multipliées par $\alpha$, qui se simplifie). Pour l'inversion, avec des paramètres non nuls : $\frac{1}{d} - \frac{1}{b} = \frac{b - d}{bd}$, etc., donc
$$\frac{\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{a}\right)}{\left(\frac{1}{d} - \frac{1}{a}\right)\left(\frac{1}{c} - \frac{1}{b}\right)} = \frac{\frac{(b - d)(a - c)}{abcd}}{\frac{(a - d)(b - c)}{abcd}} = \frac{(d - b)(c - a)}{(d - a)(c - b)}$$
Conséquence : le birapport est aussi invariant par projection centrale d'une droite sur une autre dans le plan projectif, car une telle projection est une homographie entre les deux droites.

6. Coniques et théorèmes d'incidence

• Conique projective : $\mathcal{C} = \{[x] \in \mathbb{P}^2 \mid q(x) = 0\}$ où $q$ est une forme quadratique non nulle sur $\mathbb{K}^3$ ; elle est propre (non dégénérée) si $q$ l'est.
• Classification : sur $\mathbb{C}$, toutes les coniques propres sont projectivement équivalentes à $x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0$. Sur $\mathbb{R}$, une conique propre est soit vide ($x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 = 0$), soit équivalente à $x_1^2 + x_2^2 - x_0^2 = 0$ (signature).
• Nature affine dans la carte $x_0 = 1$ (conique propre non vide de $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$) : ellipse si elle ne rencontre pas la droite à l'infini $x_0 = 0$, parabole si elle lui est tangente (un point double), hyperbole si elle la coupe en deux points réels distincts (directions asymptotiques). Ellipse, parabole et hyperbole sont donc projectivement équivalentes.
• Théorème de Desargues : deux triangles $ABC$ et $A'B'C'$ (sans sommet commun) sont en perspective depuis un point ($AA'$, $BB'$, $CC'$ concourantes) si et seulement s'ils sont en perspective par rapport à une droite (les points $AB \cap A'B'$, $BC \cap B'C'$, $CA \cap C'A'$ sont alignés).
• Théorème de Pappus : si $A, B, C$ sont sur une droite et $A', B', C'$ sur une autre, alors les points $AB' \cap A'B$, $BC' \cap B'C$, $CA' \cap C'A$ sont alignés.
• Méthode : envoyer à l'infini une droite bien choisie par homographie transforme souvent un énoncé projectif en un énoncé affine simple (concours $\to$ parallélisme).