Cours et exercices corrigés de L3 : Séries de Fourier, polynômes trigonométriques et convergence L²

1. Coefficients et séries de Fourier

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ une fonction $T$-périodique, continue par morceaux (ou intégrable sur une période), et $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

• Coefficients exponentiels : $c_n(f) = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) e^{-in\omega t} \, dt$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Coefficients trigonométriques : $a_0(f) = \frac{1}{T}\int_0^T f$, et pour $n \ge 1$, $a_n(f) = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos(n\omega t) \, dt$, $b_n(f) = \frac{2}{T}\int_0^T f(t) \sin(n\omega t) \, dt$. Relations : $c_0 = a_0$, $c_n = \frac{a_n - ib_n}{2}$, $c_{-n} = \frac{a_n + ib_n}{2}$.
• Sommes partielles : $S_N(f)(t) = \sum_{n=-N}^N c_n(f) e^{in\omega t} = a_0 + \sum_{n=1}^N (a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t))$.
• Propriétés : $|c_n(f)| \le \frac{1}{T}\int_0^T |f|$ ; si $f$ est paire, $b_n = 0$ ; si $f$ est impaire, $a_n = 0$.
• Riemann-Lebesgue : $c_n(f) \to 0$ quand $|n| \to \infty$.
• Dérivation : si $f$ est continue et $\mathcal{C}^1$ par morceaux, $c_n(f') = in\omega \, c_n(f)$.

2. Convergence ponctuelle et uniforme : Dirichlet

• Fonction $\mathcal{C}^1$ par morceaux : il existe une subdivision $0 = t_0 < t_1 < \dots < t_p = T$ telle que, sur chaque $]t_{j} ; t_{j+1}[$, $f$ soit de classe $\mathcal{C}^1$ et que $f$ et $f'$ s'y prolongent par continuité aux bornes. En particulier $f$ admet des limites à gauche et à droite $f(t^-)$, $f(t^+)$ en tout point.
• Noyau de Dirichlet ($T = 2\pi$) : $D_N(t) = \sum_{n=-N}^N e^{int} = \frac{\sin\left((N + \frac{1}{2})t\right)}{\sin(t/2)}$, et $S_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t) D_N(t) \, dt$.
• Théorème de Dirichlet : si $f$ est $T$-périodique et $\mathcal{C}^1$ par morceaux, alors pour tout $t \in \mathbb{R}$,

$$\lim_{N \to \infty} S_N(f)(t) = \frac{f(t^+) + f(t^-)}{2}$$
En un point de continuité, la limite est $f(t)$.

• Convergence normale : si $f$ est continue et $\mathcal{C}^1$ par morceaux, alors $\sum |c_n(f)| < +\infty$ (Cauchy-Schwarz et Bessel appliqués à $f'$, via $|c_n(f)| = \frac{|c_n(f')|}{|n|\omega} \le \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n^2\omega^2} + |c_n(f')|^2\right)$), et la série de Fourier converge normalement vers $f$ sur $\mathbb{R}$.

3. Théorie $L^2$ : Bessel et Parseval

On munit l'espace des fonctions $T$-périodiques de carré intégrable du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \frac{1}{T}\int_0^T f \bar{g}$ et de la norme $\|f\|_2$ associée. Les fonctions $e_n(t) = e^{in\omega t}$, $n \in \mathbb{Z}$, forment une famille orthonormée, et $c_n(f) = \langle f, e_n \rangle$.

• Inégalité de Bessel : $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |c_n(f)|^2 \le \|f\|_2^2 = \frac{1}{T}\int_0^T |f|^2$.
• Égalité de Parseval : pour toute $f$ de carré intégrable sur une période (en particulier continue par morceaux),

$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |c_n(f)|^2 = \frac{1}{T}\int_0^T |f(t)|^2 \, dt, \quad \text{et} \quad \|f - S_N(f)\|_2 \xrightarrow[N \to \infty]{} 0$$

• Forme réelle : $|a_0|^2 + \frac{1}{2}\sum_{n \ge 1} \left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right) = \frac{1}{T}\int_0^T |f|^2$.
• Conséquences : $(e_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ est une base hilbertienne de $L^2$ ; une fonction continue dont tous les coefficients sont nuls est nulle ; deux fonctions continues ayant les mêmes coefficients sont égales.

4. Démonstration : inégalité de Bessel et égalité de Parseval

Notons $\mathcal{P}_N = \text{Vect}(e_n, |n| \le N)$ (polynômes trigonométriques de degré $\le N$).

Étape A : $S_N(f)$ est la projection orthogonale de $f$ sur $\mathcal{P}_N$.
1. Pour $|k| \le N$, par orthonormalité : $\langle S_N(f), e_k \rangle = \sum_{|n| \le N} c_n \langle e_n, e_k \rangle = c_k = \langle f, e_k \rangle$. Donc $f - S_N(f) \perp e_k$ pour tout $|k| \le N$, c'est-à-dire $f - S_N(f) \perp \mathcal{P}_N$.
2. Pythagore : $\|f\|_2^2 = \|f - S_N(f)\|_2^2 + \|S_N(f)\|_2^2 = \|f - S_N(f)\|_2^2 + \sum_{|n| \le N} |c_n|^2$.
3. Meilleure approximation : pour $P \in \mathcal{P}_N$, $S_N(f) - P \in \mathcal{P}_N$, d'où $\|f - P\|_2^2 = \|f - S_N(f)\|_2^2 + \|S_N(f) - P\|_2^2 \ge \|f - S_N(f)\|_2^2$.

Étape B : Bessel. Par A2, $\sum_{|n| \le N} |c_n|^2 \le \|f\|_2^2$ pour tout $N$ ; la série à termes positifs $\sum |c_n|^2$ converge et sa somme est $\le \|f\|_2^2$.

Étape C : Parseval (cas $f$ continue ; le cas général s'en déduit par densité des fonctions continues périodiques dans $L^2$).
1. Soit $\varepsilon > 0$. Par le théorème de Fejér, il existe un polynôme trigonométrique $P \in \mathcal{P}_M$ tel que $\|f - P\|_\infty \le \varepsilon$, donc $\|f - P\|_2 \le \|f - P\|_\infty \le \varepsilon$ (la mesure normalisée est de masse 1).
2. Pour $N \ge M$, $P \in \mathcal{P}_N$, donc par A3 : $\|f - S_N(f)\|_2 \le \|f - P\|_2 \le \varepsilon$.
3. Ainsi $\|f - S_N(f)\|_2 \to 0$, et A2 donne $\sum_{|n| \le N} |c_n|^2 = \|f\|_2^2 - \|f - S_N(f)\|_2^2 \to \|f\|_2^2$. $\square$

5. Théorème de Fejér

• Moyennes de Cesàro : $\sigma_N(f) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} S_k(f)$. Pour $T = 2\pi$, $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x - t) F_N(t) \, dt$ avec le noyau de Fejér

$$F_N(t) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin(Nt/2)}{\sin(t/2)}\right)^2 \ge 0, \qquad \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F_N = 1$$
et, pour tout $\delta \in ]0 ; \pi[$, $\sup_{\delta \le |t| \le \pi} F_N(t) \to 0$.

• Théorème de Fejér : si $f$ est continue et $2\pi$-périodique, $\sigma_N(f)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. (Positivité et concentration du noyau, plus continuité uniforme de $f$.)
• Conséquences : les polynômes trigonométriques sont denses dans $(\mathcal{C}_{2\pi}, \|\cdot\|_\infty)$ ; si la série de Fourier d'une fonction continue converge en un point, sa somme y vaut $f(x)$ (Cesàro).
• Phénomène de Gibbs : au voisinage d'une discontinuité de saut $s$, $S_N(f)$ présente un dépassement d'environ $9\,\%$ de $s$ qui ne disparaît pas quand $N \to \infty$ ; les moyennes de Fejér n'ont pas ce défaut.