Cours et exercices corrigés de L3 : Théorie des Anneaux et des Corps : Anneaux principaux, euclidiens et corps finis

1. Anneaux, idéaux et anneaux quotients

Dans tout le chapitre, les anneaux sont commutatifs et unitaires.

• Anneau : $(A, +, \times)$ avec $(A, +)$ groupe abélien, $\times$ associative, distributive sur $+$, d'élément neutre $1_A$. $A$ est intègre si $A \neq \{0\}$ et $ab = 0 \implies a = 0$ ou $b = 0$. $A^{\times}$ désigne le groupe des inversibles.
• Idéal : $I \subset A$ est un idéal si $(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$ et si $\forall a \in A, \forall x \in I, \; ax \in I$. Un idéal contenant $1$ (ou un inversible) est égal à $A$.
• Quotient : la relation $x \equiv y \iff x - y \in I$ est compatible avec $+$ et $\times$ ; $A/I$ est un anneau et $\pi : A \to A/I$ un morphisme surjectif de noyau $I$.
• Théorème d'isomorphisme : pour tout morphisme d'anneaux $\varphi : A \to B$, $\text{Ker}(\varphi)$ est un idéal et $A/\text{Ker}(\varphi) \simeq \text{Im}(\varphi)$.
• Exemples : $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ; $\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1) \simeq \mathbb{C}$ via l'évaluation $P \mapsto P(i)$, surjective de noyau $(X^2 + 1)$ ; $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times} = \{\bar{k} \mid k \wedge n = 1\}$.

2. Idéaux premiers et idéaux maximaux

Soit $A$ un anneau commutatif unitaire.

• Idéal premier : idéal $P \neq A$ tel que $ab \in P \implies a \in P$ ou $b \in P$. Caractérisation : $P$ premier $\iff A/P$ intègre.
• Idéal maximal : idéal $M \neq A$ tel que les seuls idéaux contenant $M$ sont $M$ et $A$. Caractérisation : $M$ maximal $\iff A/M$ est un corps.
• Conséquence : tout idéal maximal est premier (un corps est intègre). La réciproque est fausse : dans $\mathbb{Z}[X]$, $(X)$ est premier ($\mathbb{Z}[X]/(X) \simeq \mathbb{Z}$ intègre) mais pas maximal ($\mathbb{Z}$ n'est pas un corps ; $(X) \subsetneq (2, X) \subsetneq \mathbb{Z}[X]$).
• Dans $\mathbb{Z}$ : les idéaux premiers sont $(0)$ et les $(p)$, $p$ premier ; les maximaux sont les $(p)$. Ainsi $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un corps $\iff$ $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est intègre $\iff$ $n$ est premier.
• Dans un anneau principal : tout idéal premier non nul est maximal.

3. Divisibilité, irréductibles et anneaux factoriels

Soit $A$ un anneau intègre.

• $a$ et $b$ sont associés si $a = ub$ avec $u \in A^{\times}$, c'est-à-dire si $(a) = (b)$.
• $p \in A$ non nul et non inversible est irréductible si $p = ab \implies a$ ou $b$ inversible ; il est premier si $p \mid ab \implies p \mid a$ ou $p \mid b$ (c'est-à-dire si $(p)$ est un idéal premier).
• Dans un anneau intègre, premier $\implies$ irréductible. La réciproque est fausse en général.
• Anneau factoriel : anneau intègre où tout élément non nul non inversible est produit d'irréductibles, de façon unique à l'ordre et aux inversibles près. Dans un anneau factoriel, irréductible $\iff$ premier (lemme d'Euclide), et les PGCD existent.
• Contre-exemple : dans $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$, $6 = 2 \times 3 = (1 + i\sqrt{5})(1 - i\sqrt{5})$ ; ces quatre éléments sont irréductibles (argument de norme $N(a + ib\sqrt{5}) = a^2 + 5b^2$, qui ne prend jamais les valeurs 2 et 3) et non associés deux à deux : l'anneau n'est pas factoriel, et $2$ est irréductible sans être premier.

4. Anneaux euclidiens et principaux

• Anneau principal : anneau intègre dont tout idéal est de la forme $(a) = aA$.
• Anneau euclidien : anneau intègre muni d'un stathme $v : A \setminus \{0\} \to \mathbb{N}$ tel que

$$\forall a \in A, \forall b \neq 0, \; \exists q, r \in A, \quad a = bq + r \quad \text{avec } r = 0 \text{ ou } v(r) < v(b)$$
Exemples : $\mathbb{Z}$ ($v = |\cdot|$), $\mathbb{K}[X]$ avec $\mathbb{K}$ un corps ($v = \deg$), $\mathbb{Z}[i]$ ($v(a + ib) = a^2 + b^2$).

• Bézout et PGCD : dans un anneau principal, $(a) + (b) = (d)$ où $d$ est un PGCD de $a$ et $b$ ; il existe donc $u, v$ tels que $au + bv = d$.
• Hiérarchie (inclusions strictes entre classes d'anneaux) :

$$\text{euclidien} \implies \text{principal} \implies \text{factoriel} \implies \text{intègre}$$
$\mathbb{Z}[X]$ et $\mathbb{K}[X, Y]$ sont factoriels non principaux ; $\mathbb{Z}[i\sqrt{5}]$ est intègre non factoriel. (Il existe aussi des anneaux principaux non euclidiens, plus délicats à exhiber.)

• Théorème de Gauss (factorialité) : si $A$ est factoriel, $A[X]$ est factoriel. Il repose sur le lemme de Gauss : le contenu (PGCD des coefficients) est multiplicatif, $c(PQ) = c(P)c(Q)$ à un inversible près.

5. Démonstration : un anneau euclidien est principal ($\mathbb{Z}$, $\mathbb{K}[X]$)

Théorème. Tout anneau euclidien est principal. En particulier $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{K}[X]$ ($\mathbb{K}$ corps) sont principaux.

Démonstration.
1. Soit $A$ euclidien de stathme $v$ et $I$ un idéal de $A$. Si $I = \{0\}$, $I = (0)$ est principal.
2. Sinon, l'ensemble $\{v(x) \mid x \in I, \, x \neq 0\}$ est une partie non vide de $\mathbb{N}$ : il admet un plus petit élément, atteint en un $b \in I \setminus \{0\}$.
3. On a $(b) \subset I$ car $I$ est un idéal contenant $b$.
4. Réciproquement, soit $a \in I$. Division euclidienne : $a = bq + r$ avec $r = 0$ ou $v(r) < v(b)$. Or $r = a - bq \in I$ (car $a \in I$ et $bq \in I$). Si $r \neq 0$, alors $r \in I \setminus \{0\}$ et $v(r) < v(b)$, ce qui contredit la minimalité de $v(b)$. Donc $r = 0$ et $a = bq \in (b)$.
5. Ainsi $I = (b)$. $\square$

Cas de $\mathbb{Z}$. Avec $v = |\cdot|$, un idéal non nul $I$ est égal à $n\mathbb{Z}$ où $n$ est le plus petit élément strictement positif de $I$.

Cas de $\mathbb{K}[X]$. La division euclidienne par $B \neq 0$ existe car le coefficient dominant de $B$ est inversible dans le corps $\mathbb{K}$ ; un idéal non nul est engendré par l'un quelconque de ses éléments non nuls de degré minimal, et par un unique polynôme unitaire.

Remarque. Si $A$ n'est pas un corps, $A[X]$ n'est pas principal : pour $a \in A$ non nul non inversible, l'idéal $(a, X)$ n'est pas principal. Exemple : $(2, X)$ dans $\mathbb{Z}[X]$.

6. Polynômes irréductibles et corps de rupture

• Sur un corps $\mathbb{K}$ : $P$ irréductible dans $\mathbb{K}[X]$ $\iff$ $(P)$ maximal $\iff$ $\mathbb{K}[X]/(P)$ est un corps, de dimension $\deg P$ sur $\mathbb{K}$ (corps de rupture : la classe de $X$ y est une racine de $P$).
• Racines : un polynôme de degré $\ge 2$ ayant une racine dans $\mathbb{K}$ est réductible ; un polynôme de degré 2 ou 3 est irréductible si et seulement s'il n'a pas de racine dans $\mathbb{K}$.
• Irréductibles de $\mathbb{C}[X]$ : degré 1 ; de $\mathbb{R}[X]$ : degré 1 et degré 2 à discriminant strictement négatif.
• Racines rationnelles : si $\frac{p}{q}$ (irréductible) est racine de $\sum a_k X^k \in \mathbb{Z}[X]$, alors $p \mid a_0$ et $q \mid a_n$.
• Critère d'Eisenstein : soit $P = a_n X^n + \dots + a_0 \in \mathbb{Z}[X]$, $n \ge 1$, et $p$ premier tel que $p \nmid a_n$, $p \mid a_i$ pour $0 \le i \le n-1$, et $p^2 \nmid a_0$. Alors $P$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$ (et dans $\mathbb{Z}[X]$ si $P$ est primitif). Exemple : $X^n - 2$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$ pour tout $n \ge 1$.
• Réduction modulo $p$ : si $P \in \mathbb{Z}[X]$, $p \nmid a_n$ et $\bar{P}$ est irréductible dans $\mathbb{F}_p[X]$, alors $P$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.