Cours et exercices corrigés de L3 : Espaces métriques et Espaces vectoriels normés : Ouverts, fermés et adhérence

1. Espaces métriques et boules

• Distance : une application $d : E \times E \to \mathbb{R}^+$ est une distance sur $E$ si :

1. Séparation : $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
2. Symétrie : $d(x, y) = d(y, x)$.
3. Inégalité triangulaire : $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$.

• Conséquence utile : $|d(x, z) - d(y, z)| \le d(x, y)$, donc $d(\cdot, z)$ est 1-lipschitzienne.
• Boules : $B(x, r) = \{y \mid d(x, y) < r\}$ (ouverte), $\bar{B}(x, r) = \{y \mid d(x, y) \le r\}$ (fermée), $S(x, r) = \{y \mid d(x, y) = r\}$.
• Exemples : sur $\mathbb{R}^n$, $d_1, d_2, d_\infty$ issues des normes $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_2, \|\cdot\|_\infty$ ; la distance discrète ($d(x, y) = 1$ si $x \neq y$) sur un ensemble quelconque ; la distance uniforme $d(f, g) = \sup |f - g|$ sur les fonctions bornées.

2. Ouverts, fermés, adhérence, intérieur

• Ouvert : $U \subset E$ est ouvert si $\forall x \in U, \exists r > 0, \; B(x, r) \subset U$. Toute boule ouverte est un ouvert (si $y \in B(x, r)$, alors $B(y, r - d(x,y)) \subset B(x, r)$). Toute réunion d'ouverts et toute intersection finie d'ouverts est un ouvert.
• Fermé : $F$ est fermé si $E \setminus F$ est ouvert. Caractérisation séquentielle : $F$ est fermé si et seulement si toute suite d'éléments de $F$ qui converge dans $E$ a sa limite dans $F$.
• Intérieur $\mathring{A}$ : plus grand ouvert contenu dans $A$. Adhérence $\bar{A}$ : plus petit fermé contenant $A$ ;

$$\bar{A} = \{x \in E \mid \forall r > 0, \; B(x, r) \cap A \neq \emptyset\} = \{x \in E \mid \exists (a_n) \in A^{\mathbb{N}}, \; a_n \to x\}$$

• Frontière : $\partial A = \bar{A} \setminus \mathring{A}$. Densité : $A$ est dense si $\bar{A} = E$ (ex. $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$).
• Exemple : $[0 ; 1[$ n'est ni ouvert ni fermé dans $\mathbb{R}$ ; $\mathbb{R}$ et $\emptyset$ sont à la fois ouverts et fermés.

3. Suites, suites de Cauchy et complétude

• Convergence : $x_n \to \ell$ si $d(x_n, \ell) \to 0$ ; la limite est unique (séparation). Une valeur d'adhérence de $(x_n)$ est une limite d'une suite extraite $(x_{\varphi(n)})$.
• Suite de Cauchy : $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \forall p, q \ge N, \; d(x_p, x_q) < \varepsilon$. Toute suite convergente est de Cauchy ; toute suite de Cauchy est bornée.
• Espace complet : espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge. $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^n$ sont complets ; $\mathbb{Q}$ ne l'est pas (les approximations décimales de $\sqrt{2}$ forment une suite de Cauchy de $\mathbb{Q}$ sans limite dans $\mathbb{Q}$).
• Résultats de base :

1. Une suite de Cauchy qui possède une valeur d'adhérence converge (vers cette valeur).
2. Une partie fermée d'un espace complet est complète.
3. Une partie complète d'un espace métrique quelconque est fermée.

4. Démonstrations : Cauchy et valeur d'adhérence, fermé d'un complet

Proposition 1. Si $(x_n)$ est de Cauchy et admet une valeur d'adhérence $\ell$, alors $x_n \to \ell$.

Démonstration.
1. Soit $\varphi$ strictement croissante telle que $x_{\varphi(n)} \to \ell$, et soit $\varepsilon > 0$.
2. Cauchy : il existe $N$ tel que $p, q \ge N \implies d(x_p, x_q) < \varepsilon/2$. Convergence de l'extraite : il existe $N'$ tel que $n \ge N' \implies d(x_{\varphi(n)}, \ell) < \varepsilon/2$.
3. Soit $p \ge N$. Choisissons $n \ge \max(N, N')$ ; comme $\varphi(n) \ge n \ge N$ :
$$d(x_p, \ell) \le d(x_p, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
4. Ainsi $\forall p \ge N, \; d(x_p, \ell) < \varepsilon$ : $x_p \to \ell$. $\square$

Proposition 2. Soit $(E, d)$ complet et $F \subset E$ fermé. Alors $(F, d)$ est complet.

Démonstration.
1. Soit $(x_n)$ une suite de Cauchy de $F$. C'est une suite de Cauchy de $E$ (même distance), donc elle converge vers un $\ell \in E$ car $E$ est complet.
2. $F$ étant fermé, la caractérisation séquentielle donne $\ell \in F$. Toute suite de Cauchy de $F$ converge donc dans $F$. $\square$

Proposition 3 (réciproque partielle). Si $A \subset E$ est complète, $A$ est fermée dans $E$ : si $a_n \in A$ et $a_n \to x \in E$, $(a_n)$ est de Cauchy, donc converge vers un $a \in A$, et l'unicité de la limite donne $x = a \in A$.

5. Espaces vectoriels normés et équivalence des normes

• Norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ ($\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) : application $\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}^+$ telle que

1. $\|x\| = 0 \iff x = 0_E$ ;
2. $\|\lambda x\| = |\lambda| \, \|x\|$ ;
3. $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$.

• Toute norme définit une distance invariante par translation : $d(x, y) = \|x - y\|$.
• Normes équivalentes : $N_1 \sim N_2$ s'il existe $\alpha, \beta > 0$ tels que $\forall x \in E, \; \alpha N_1(x) \le N_2(x) \le \beta N_1(x)$. Des normes équivalentes définissent les mêmes ouverts, les mêmes suites convergentes et les mêmes suites de Cauchy.
• Exemple : sur $\mathbb{R}^n$, $\|x\|_\infty \le \|x\|_2 \le \|x\|_1 \le n \|x\|_\infty$.
• Théorème : sur un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes (démonstration par compacité de la sphère unité, voir le chapitre L3-CMP). Conséquence : tout espace normé de dimension finie est complet, et tout sous-espace de dimension finie d'un espace normé est fermé.

6. Continuité et applications linéaires continues

• Continuité en $x_0$ : $\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \; d_E(x, x_0) < \eta \implies d_F(f(x), f(x_0)) < \varepsilon$ ; de façon équivalente, $x_n \to x_0 \implies f(x_n) \to f(x_0)$.
• Caractérisation globale : $f$ est continue sur $E$ si et seulement si l'image réciproque de tout ouvert (resp. fermé) de $F$ est un ouvert (resp. fermé) de $E$.
• Hiérarchie : $k$-lipschitzienne $\implies$ uniformément continue $\implies$ continue.
• Applications linéaires : pour $u \in \mathcal{L}(E, F)$ entre espaces normés, sont équivalents :

1. $u$ est continue ; 2. $u$ est continue en $0_E$ ; 3. $\exists M \ge 0, \forall x \in E, \; \|u(x)\|_F \le M \|x\|_E$ ; 4. $u$ est lipschitzienne.

• Norme subordonnée : $\|u\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|u(x)\|_F}{\|x\|_E} = \sup_{\|x\| \le 1} \|u(x)\|_F$ ; c'est une norme sur l'espace $\mathcal{L}_c(E, F)$ des applications linéaires continues, et $\|v \circ u\| \le \|v\| \, \|u\|$.
• Si $\dim E < +\infty$, toute application linéaire de $E$ dans $F$ est continue.