Cours et exercices corrigés de PASS / L.AS : Équations différentielles et modèles pharmacocinétiques

1. Équations $y' = ay$ et $y' = ay + b$

Les solutions de $y' = ay$ sont $y(t) = Ke^{at}$, $K \in \mathbb{R}$.
Pour $y' = ay + b$ ($a \neq 0$) : la solution constante est $y^* = -\dfrac{b}{a}$, et $$y(t) = Ke^{at} - \dfrac{b}{a}.$$
La constante $K$ se détermine par la condition initiale : $y(0) = K - \dfrac{b}{a}$. Si $a < 0$, $y(t)$ tend vers $-\dfrac{b}{a}$ (équilibre).

2. Élimination d'ordre 1 et demi-vie

Modèle à un compartiment après injection intraveineuse (bolus) d'une dose $D$ dans un volume de distribution $V$ : $$C'(t) = -kC(t), \qquad C(t) = C_0e^{-kt}, \qquad C_0 = \dfrac{D}{V}.$$
$k$ est la constante d'élimination (en h$^{-1}$). Demi-vie : durée au bout de laquelle la concentration est divisée par $2$ : $$t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{k}.$$
Après $n$ demi-vies, $C = \dfrac{C_0}{2^n}$. La clairance est $Cl = kV$ (en L/h). Si $C$ passe de $C_1$ à $C_2$ en une durée $\Delta t$ : $k = \dfrac{\ln(C_1/C_2)}{\Delta t}$.

3. Perfusion à débit constant

Avec un débit de perfusion $R_0$ (en mg/h) : $V\,C'(t) = R_0 - kV\,C(t)$, soit $C' = -kC + \dfrac{R_0}{V}$. Avec $C(0) = 0$ : $$C(t) = C_{ss}\left(1 - e^{-kt}\right), \qquad C_{ss} = \dfrac{R_0}{kV} = \dfrac{R_0}{Cl}.$$
Le plateau (concentration à l'équilibre) vaut « débit sur clairance ». Il est proportionnel au débit, mais le temps pour l'atteindre ne dépend que de $k$ : $50\,\%$ du plateau en $1$ demi-vie, environ $97\,\%$ en $5$ demi-vies.
Dose de charge pour atteindre immédiatement une concentration $C$ : $D = C \times V$.

4. Décroissance radioactive

Le nombre de noyaux vérifie $N'(t) = -\lambda N(t)$, donc $N(t) = N_0e^{-\lambda t}$ avec $T_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$.
L'activité $A(t) = \lambda N(t)$ (en becquerels : désintégrations par seconde) décroît selon la même loi : $A(t) = A_0e^{-\lambda t} = \dfrac{A_0}{2^{t/T_{1/2}}}$.
La durée de vie d'un noyau suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ (PA-05).

5. Aux partiels : pièges fréquents

• Écrire $t_{1/2} = k \ln 2$ ou $\dfrac{k}{\ln 2}$ : c'est $\dfrac{\ln 2}{k}$.
• Croire qu'augmenter le débit de perfusion fait atteindre le plateau plus vite : seul le niveau du plateau change.
• Oublier les unités : $k$ en h$^{-1}$ et $t$ en h, $V$ en L, $C$ en mg/L.
• Confondre volume de distribution et volume sanguin : $V$ est un volume « apparent ».