Fonctions et incertitudes en PASS / L.AS : cours et exercices

Objectifs du chapitre

Calculer des dérivées usuelles, composées et des dérivées partielles.
Écrire la différentielle totale et la différentielle logarithmique d'une fonction de plusieurs variables.
Propager des incertitudes de mesure.
Utiliser les développements limités usuels et le logarithme décimal (pH).

Le cours

1. Dérivées

Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(e^x)' = e^x$ , $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$ , $(\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ .
Composées : $(e^u)' = u'e^u$ , $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ .
Exemple : $C(t) = C_0 e^{-kt}$ a pour dérivée $C'(t) = -kC_0e^{-kt} = -kC(t)$ .

2. Dérivées partielles et différentielle totale

Pour $f(x, y)$ , la dérivée partielle $\dfrac{\partial f}{\partial x}$ se calcule en dérivant par rapport à $x$ , $y$ étant traité comme une constante.
Différentielle totale : $df = \dfrac{\partial f}{\partial x}dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}dy.$
Incertitude absolue (majorant) : $\Delta f = \left|\dfrac{\partial f}{\partial x}\right|\Delta x + \left|\dfrac{\partial f}{\partial y}\right|\Delta y$ .

3. Différentielle logarithmique

Pour un produit de puissances $f = k\,x^a y^b z^c$ : $\ln f = \ln k + a\ln x + b\ln y + c\ln z$ , donc $\dfrac{df}{f} = a\dfrac{dx}{x} + b\dfrac{dy}{y} + c\dfrac{dz}{z}.$
Incertitude relative : $\dfrac{\Delta f}{f} = |a|\dfrac{\Delta x}{x} + |b|\dfrac{\Delta y}{y} + |c|\dfrac{\Delta z}{z}$ : les incertitudes relatives s'ajoutent, pondérées par la valeur absolue des exposants (même pour un quotient).
Exemple : $IMC = \dfrac{m}{h^2}$ donne $\dfrac{\Delta IMC}{IMC} = \dfrac{\Delta m}{m} + 2\dfrac{\Delta h}{h}$ .

4. Approximations et logarithme décimal

Au voisinage de $0$ : $e^x \approx 1 + x + \dfrac{x^2}{2}$ , $\ln(1 + x) \approx x - \dfrac{x^2}{2}$ , $(1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$ , donc $\sqrt{1 + x} \approx 1 + \dfrac{x}{2}$ .
Approximation affine : $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ .
Logarithme décimal : $\log x = \dfrac{\ln x}{\ln 10}$ , $\log(10^n) = n$ . $pH = -\log[H_3O^+]$ ; $pH = pK_a + \log\dfrac{[A^-]}{[AH]}$ . Comme $d(\log c) = \dfrac{dc}{c \ln 10}$ , une erreur relative $\dfrac{\Delta c}{c}$ donne $\Delta pH = \dfrac{1}{\ln 10}\dfrac{\Delta c}{c}$ .

5. Aux partiels : pièges fréquents

Soustraire les incertitudes relatives pour un quotient : elles s'ajoutent toujours.
Oublier l'exposant : le rayon intervient à la puissance $4$ dans la loi de Poiseuille, donc avec un coefficient $4$ .
Appliquer la différentielle logarithmique à une somme : elle ne s'applique qu'aux produits et quotients ; pour une somme, les incertitudes absolues s'ajoutent.
Confondre $\ln$ et $\log$ dans le calcul d'un pH.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Incertitude relative par la différentielle logarithmique

Exemple

Le volume d'une sphère est $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ , avec $r = 2{,}0 \pm 0{,}1$ cm. Incertitude relative sur $V$ ?

Étape 1 (Logarithme) : $\ln V = \ln\dfrac{4\pi}{3} + 3\ln r$ .
Étape 2 (Différentier) : $\dfrac{dV}{V} = 3\dfrac{dr}{r}$ .
Étape 3 (Conclure) : $\dfrac{\Delta V}{V} = 3 \times \dfrac{0{,}1}{2{,}0} = 0{,}15$ , soit $15\,\%$ .

Méthode : Calculer un pH

Exemple

Une solution a $[H_3O^+] = 2 \times 10^{-4}$ mol/L. Calculer son pH (on donne $\log 2 \approx 0{,}301$ ).

Étape 1 (Propriétés du log) : $\log(2 \times 10^{-4}) = \log 2 - 4$ .
Étape 2 (Calculer) : $pH = -(0{,}301 - 4) = 3{,}699$ .
Étape 3 (Arrondir) : $pH \approx 3{,}70$ .

Pièges fréquents

La différentielle logarithmique donne une incertitude relative ; multipliez par la valeur de $f$ pour obtenir l'incertitude absolue.
Dans une dérivée partielle par rapport à $x$ , les autres variables sont des constantes : $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$ .
Une variation de $1$ unité de pH correspond à un facteur $10$ sur la concentration.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Différentielle logarithmique de

f = x^a y^b

?

$\dfrac{df}{f} = a\dfrac{dx}{x} + b\dfrac{dy}{y}$ .

Développement de

\ln(1 + x)

à l'ordre

2

?

$x - \dfrac{x^2}{2}$ .

Incertitude relative sur

\dfrac{m}{h^2}

?

$\dfrac{\Delta m}{m} + 2\dfrac{\Delta h}{h}$ .

Dérivée de

\ln u

?

$\dfrac{u'}{u}$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Dérivée d'un logarithme

Palier 1 · découverte

Soit $f(x) = \ln(3x + 1)$ pour $x > -\dfrac{1}{3}$ .
Calculez $f'(1)$ (fraction $a/b$ ).

Un indice

Appliquez la dérivée de $\ln u$ avec $u(x) = 3x + 1$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 3/4

$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ avec $u' = 3$ : $f'(x) = \dfrac{3}{3x + 1}$ .
$f'(1) = \dfrac{3}{4}$ , soit $3/4$ .

Exercice 2 Dérivée partielle

Palier 2 · application

Soit $f(x, y) = x^2 y + 3y$ .
Calculez $\dfrac{\partial f}{\partial x}(2, 1)$ .

Un indice

Dérivez par rapport à $x$ en considérant $y$ comme une constante.

Voir la correction

Réponse attendue : 4

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) = 2xy$ , donc $\dfrac{\partial f}{\partial x}(2, 1) = 2 \times 2 \times 1 =$ $4$ .

Exercice 3 Incertitude sur l'IMC

Palier 3 · approfondissement

Un patient pèse $m = 80 \pm 1$ kg et mesure $h = 1{,}80 \pm 0{,}01$ m. L'indice de masse corporelle est $IMC = \dfrac{m}{h^2}$ .
Calculez l'incertitude relative sur l'IMC, en pourcentage arrondi au dixième (point décimal).

Un indice

Écrivez la différentielle logarithmique de $\dfrac{m}{h^2}$ en faisant attention à l'exposant de $h$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 2.4

$\dfrac{\Delta m}{m} = \dfrac{1}{80} = 0{,}012\,5$ et $2\dfrac{\Delta h}{h} = \dfrac{0{,}02}{1{,}80} \approx 0{,}011\,1$ .
$\dfrac{\Delta IMC}{IMC} \approx 0{,}023\,6$ , soit $2{,}4\,\%$ (les incertitudes relatives s'ajoutent, même pour un quotient).

Exercice 4 Incertitude sur un pH

Palier 4 · défi

Une concentration en ions $H_3O^+$ est connue avec une incertitude relative de $5\,\%$ . On rappelle $pH = -\log c = -\dfrac{\ln c}{\ln 10}$ et $\ln 10 \approx 2{,}303$ .
Calculez l'incertitude absolue sur le pH, arrondie au centième (point décimal).

Un indice

Différentiez $-\dfrac{\ln c}{\ln 10}$ par rapport à $c$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 0.02

$d(pH) = -\dfrac{1}{\ln 10}\dfrac{dc}{c}$ , donc $\Delta pH = \dfrac{0{,}05}{2{,}303} \approx 0{,}021\,7$ .
L'incertitude sur le pH est d'environ $0{,}02$ unité.