Statistique descriptive en PASS / L.AS : cours et exercices

Objectifs du chapitre

Reconnaître le type d'une variable (qualitative nominale ou ordinale, quantitative discrète ou continue).
Calculer moyenne, médiane, mode, variance, écart type et coefficient de variation d'une série.
Utiliser la formule de König-Huygens pour calculer une variance.
Prévoir l'effet d'une transformation affine $Y = aX + b$ sur la moyenne, la variance et l'écart type.

Le cours

1. Types de variables

Qualitative nominale : modalités sans ordre (groupe sanguin, sexe).
Qualitative ordinale : modalités ordonnées (stade d'une tumeur, douleur « faible / modérée / forte »).
Quantitative discrète : valeurs isolées, souvent des comptages (nombre de consultations).
Quantitative continue : mesure pouvant prendre toute valeur d'un intervalle (glycémie, taille).

Le type de variable détermine les paramètres et les tests utilisables : une moyenne de groupes sanguins n'a aucun sens.

2. Paramètres de position

Pour une série $x_1, \dots, x_n$ : moyenne $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i$ ; avec des effectifs $n_k$ : $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_k n_k x_k$ .
La médiane partage la série ordonnée en deux moitiés ; le mode est la valeur la plus fréquente ; les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ laissent un quart des valeurs en dessous (resp. au-dessus).
La médiane est robuste : une valeur aberrante la modifie peu, alors qu'elle peut déplacer fortement la moyenne. Si la moyenne est nettement supérieure à la médiane, la distribution est étalée vers les grandes valeurs.

3. Variance, écart type et formule de König-Huygens

Variance (de la série) : $V = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$ , écart type $\sigma = \sqrt{V}$ (même unité que les données).
König-Huygens : $V = \overline{x^2} - \bar{x}^2,$ « moyenne des carrés moins carré de la moyenne ».
Estimateur sans biais de la variance d'une population à partir d'un échantillon : $s^2 = \dfrac{1}{n - 1}\sum (x_i - \bar{x})^2$ .
Coefficient de variation : $CV = \dfrac{\sigma}{\bar{x}}$ , sans unité, souvent en pourcentage ; il permet de comparer la dispersion de grandeurs d'unités ou d'ordres de grandeur différents.

4. Transformation affine

Si $y_i = a x_i + b$ , alors $\bar{y} = a\bar{x} + b, \qquad V(y) = a^2 V(x), \qquad \sigma_y = |a|\,\sigma_x.$
Le décalage $b$ ne change pas la dispersion. Exemple : passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit ( $F = 1{,}8\,C + 32$ ) multiplie l'écart type par $1{,}8$ .
Regroupement de deux groupes : variance totale $=$ moyenne pondérée des variances $+$ variance des moyennes (pondérée par les effectifs).

5. Aux partiels : pièges fréquents

Diviser par $n$ ou par $n - 1$ : lisez l'énoncé (variance de la série ou estimation de la variance de la population).
Oublier que l'écart type se multiplie par $|a|$ et la variance par $a^2$ .
Calculer la moyenne de deux groupes en faisant la moyenne des moyennes sans pondérer par les effectifs.
Confondre écart type (dispersion des individus) et erreur standard (précision d'une moyenne, voir PA-06).

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Variance par König-Huygens à partir d'un tableau d'effectifs

Exemple

Nombre de séances de kinésithérapie : $1$ (effectif $4$ ), $2$ (effectif $10$ ), $3$ (effectif $6$ ). Calculer la variance.

Étape 1 (Moyenne) : $n = 20$ , $\bar{x} = \dfrac{4 + 20 + 18}{20} = 2{,}1$ .
Étape 2 (Moyenne des carrés) : $\overline{x^2} = \dfrac{4 \times 1 + 10 \times 4 + 6 \times 9}{20} = \dfrac{98}{20} = 4{,}9$ .
Étape 3 (Conclure) : $V = 4{,}9 - 2{,}1^2 = 4{,}9 - 4{,}41 = 0{,}49$ , d'où $\sigma = 0{,}7$ .

Méthode : Changement d'unité

Exemple

Une concentration a pour moyenne $2{,}4$ mg/L et pour écart type $0{,}3$ mg/L. Exprimer ces paramètres en $\mu$ g/L.

Étape 1 (Repérer la transformation) : $y = 1\,000\,x$ ( $a = 1\,000$ , $b = 0$ ).
Étape 2 (Appliquer) : moyenne $2\,400$ $\mu$ g/L, écart type $300$ $\mu$ g/L.
Étape 3 (Variance) : elle est multipliée par $1\,000^2 = 10^6$ ; le coefficient de variation ( $12{,}5\,\%$ ) ne change pas.

Pièges fréquents

La variance s'exprime dans le carré de l'unité des données ; seul l'écart type a la même unité.
La moyenne d'une variable qualitative codée par des nombres (groupe sanguin codé $1$ , $2$ , $3$ , $4$ ) n'a pas de sens.
Ajouter une constante à toutes les valeurs modifie la moyenne mais pas l'écart type.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Formule de König-Huygens ?

$V = \overline{x^2} - \bar{x}^2$ .

Effet de

Y = aX + b

sur l'écart type ?

$\sigma_Y = |a|\,\sigma_X$ .

Définition du coefficient de variation ?

$CV = \sigma / \bar{x}$ , sans unité.

Quel paramètre de position résiste aux valeurs aberrantes ?

La médiane.

Exercices corrigés

Exercice 1 Glycémie moyenne

Palier 1 · découverte

Cinq patients ont les glycémies à jeun suivantes (en g/L) : $0{,}92$ ; $1{,}05$ ; $0{,}88$ ; $1{,}10$ ; $0{,}95$ .
Calculez la glycémie moyenne, en g/L, arrondie au centième (écrivez un point décimal).

Un indice

Additionnez les cinq valeurs avant de diviser par l'effectif.

Voir la correction

Réponse attendue : 0.98

$\bar{x} = \dfrac{0{,}92 + 1{,}05 + 0{,}88 + 1{,}10 + 0{,}95}{5} = \dfrac{4{,}90}{5}$ .
La glycémie moyenne est $0{,}98$ g/L.

Exercice 2 Variance par König-Huygens

Palier 2 · application

Pour $40$ patients hospitalisés, la durée moyenne de séjour est $5$ jours et la moyenne des carrés des durées vaut $29$ jours $^2$ .
Calculez la variance des durées de séjour (en jours $^2$ ).

Un indice

Utilisez la formule « moyenne des carrés moins carré de la moyenne ».

Voir la correction

Réponse attendue : 4

Par la formule de König-Huygens : $V = \overline{x^2} - \bar{x}^2 = 29 - 25$ .
La variance vaut $4$ jours $^2$ (écart type : $2$ jours).

Exercice 3 Température en degrés Fahrenheit

Palier 3 · approfondissement

Dans un service, la température corporelle des patients a pour moyenne $37{,}2$ °C et pour écart type $0{,}5$ °C. On convertit en degrés Fahrenheit par $F = 1{,}8\,C + 32$ .
Quel est l'écart type des températures en degrés Fahrenheit ? (réponse décimale avec un point)

Un indice

Une transformation affine $y = ax + b$ multiplie l'écart type par $|a|$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 0.9

Avec $a = 1{,}8$ et $b = 32$ : $\sigma_F = 1{,}8 \times \sigma_C = 1{,}8 \times 0{,}5$ .
L'écart type vaut $0{,}9$ °F (la moyenne, elle, vaut $1{,}8 \times 37{,}2 + 32 = 98{,}96$ °F).

Exercice 4 Variance de deux groupes réunis

Palier 4 · défi

Dans un essai, le groupe A ( $20$ patients) a une baisse de tension moyenne de $10$ mmHg (variance $4$ ) et le groupe B ( $30$ patients) une baisse moyenne de $15$ mmHg (variance $9$ ). Les variances sont celles des séries (division par l'effectif).
Calculez la variance de la baisse de tension sur les $50$ patients réunis (en mmHg $^2$ ).

Un indice

Commencez par la moyenne globale, pondérée par les effectifs des deux groupes.

Voir la correction

Réponse attendue : 13

Moyenne globale : $\dfrac{20 \times 10 + 30 \times 15}{50} = \dfrac{650}{50} = 13$ .
Moyenne des variances : $\dfrac{20 \times 4 + 30 \times 9}{50} = \dfrac{350}{50} = 7$ .
Variance des moyennes : $\dfrac{20 \times (10 - 13)^2 + 30 \times (15 - 13)^2}{50} = \dfrac{180 + 120}{50} = 6$ .
Variance totale : $7 + 6 =$ $13$ mmHg $^2$ .