PASS / L.AS · Probabilités et lois · PA-02

Cours et exercices corrigés de PASS / L.AS : Probabilités : dénombrement, indépendance et probabilités conditionnelles

Dénombrement (arrangements, combinaisons), probabilité d'une réunion, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales et de Bayes, événements indépendants et incompatibles.

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Objectifs du chapitre

Dénombrer à l'aide des arrangements et des combinaisons.
Calculer la probabilité d'une réunion et d'un événement contraire.
Utiliser la formule des probabilités totales et la formule de Bayes.
Distinguer événements indépendants et événements incompatibles.

Le cours

1. Dénombrement

Nombre de listes ordonnées de $k$ éléments distincts pris parmi $n$ (arrangements) : $A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!}$ .
Nombre de sous-ensembles de $k$ éléments parmi $n$ (combinaisons) : $\dbinom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ .
Nombre de permutations de $n$ éléments : $n!$ ; nombre de $k$ -listes avec répétition : $n^k$ .

Question clé : l'ordre compte-t-il ? (attribuer des postes différents : oui ; tirer un groupe : non).

2. Règles de calcul

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ et $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
Probabilité conditionnelle (si $P(B) > 0$ ) : $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ , d'où $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$ .
« Au moins un » : passer par le contraire, $P(\text{au moins un}) = 1 - P(\text{aucun})$ .

3. Probabilités totales et formule de Bayes

Si $B_1, \dots, B_k$ forment une partition de l'univers : $P(A) = \sum_{i} P(B_i)\,P(A \mid B_i).$
Bayes : $P(B_j \mid A) = \dfrac{P(B_j)\,P(A \mid B_j)}{\sum_i P(B_i)\,P(A \mid B_i)}.$
Bayes permet d'« inverser » un conditionnement : passer de $P(\text{symptôme} \mid \text{maladie})$ à $P(\text{maladie} \mid \text{symptôme})$ , ce qui exige de connaître la fréquence de la maladie.

4. Indépendance et incompatibilité

$A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ , c'est-à-dire $P(A \mid B) = P(A)$ .
$A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \varnothing$ , donc $P(A \cap B) = 0$ .
Deux événements de probabilités non nulles incompatibles ne sont jamais indépendants : savoir que $B$ est réalisé rend $A$ impossible.

5. Aux partiels : pièges fréquents

Confondre $P(A \mid B)$ et $P(B \mid A)$ : « $90\,\%$ des malades ont le symptôme » ne dit pas que $90\,\%$ des porteurs du symptôme sont malades.
Additionner des probabilités d'événements non incompatibles sans retrancher l'intersection.
Utiliser des arrangements alors que l'ordre ne compte pas (ou l'inverse).
Croire qu'« incompatibles » et « indépendants » sont synonymes.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Arbre pondéré et formule de Bayes

Exemple

$60\,\%$ des patients d'un service ont plus de $70$ ans ; $10\,\%$ d'entre eux chutent, contre $2\,\%$ des autres. Un patient a chuté : probabilité qu'il ait plus de $70$ ans ?

Étape 1 (Arbre) : $P(V) = 0{,}6$ , $P(C \mid V) = 0{,}1$ , $P(C \mid \bar{V}) = 0{,}02$ .
Étape 2 (Probabilités totales) : $P(C) = 0{,}6 \times 0{,}1 + 0{,}4 \times 0{,}02 = 0{,}068$ .
Étape 3 (Bayes) : $P(V \mid C) = \dfrac{0{,}06}{0{,}068} \approx 0{,}88$ .

Méthode : Dénombrer un tirage avec contrainte

Exemple

On forme un comité de $3$ personnes parmi $5$ médecins et $4$ infirmiers, avec exactement $1$ médecin.

Étape 1 (Ordre ?) : un comité est un ensemble, l'ordre ne compte pas : combinaisons.
Étape 2 (Principe multiplicatif) : $\dbinom{5}{1} \times \dbinom{4}{2} = 5 \times 6 = 30$ .
Étape 3 (Probabilité, tirage au hasard) : $\dfrac{30}{\binom{9}{3}} = \dfrac{30}{84} = \dfrac{5}{14}$ .

Pièges fréquents

$P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ en général : c'est l'erreur de raisonnement la plus fréquente en médecine.
Incompatibles (intersection vide) n'est pas indépendants (produit des probabilités).
Pour « au moins un », le calcul direct est long et source d'oublis : passez par l'événement contraire.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Formule de

\dbinom{n}{k}

$\dfrac{n!}{k!\,(n - k)!}$ .

Définition de l'indépendance de

A

B

$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

Formule de Bayes pour deux causes

B

\bar{B}

$P(B \mid A) = \dfrac{P(B)P(A \mid B)}{P(B)P(A \mid B) + P(\bar{B})P(A \mid \bar{B})}$ .

Valeur de

A_n^k

$\dfrac{n!}{(n - k)!}$ (listes ordonnées sans répétition).

Exercices corrigés

Exercice 1 Choisir des patients

Palier 1 · découverte

Un investigateur doit choisir $3$ patients parmi $10$ volontaires pour une première administration d'un traitement. L'ordre de choix n'a pas d'importance.
Combien de groupes différents peut-il former ?

Un indice

Un groupe est un ensemble non ordonné : utilisez une combinaison.

Voir la correction

Réponse attendue : 120

$\dbinom{10}{3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = \dfrac{720}{6}$ .
Il peut former $120$ groupes.

Exercice 2 Attribuer des postes

Palier 2 · application

Dans une équipe de garde, on doit désigner parmi $8$ étudiants un responsable des admissions, un responsable des examens et un responsable des transmissions (trois postes distincts, une personne par poste).
Combien de répartitions différentes sont possibles ?

Un indice

Les postes sont différents : l'ordre de désignation compte.

Voir la correction

Réponse attendue : 336

On compte des arrangements : $A_8^3 = 8 \times 7 \times 6$ .
Il y a $336$ répartitions possibles.

Exercice 3 Infection nosocomiale

Palier 3 · approfondissement

Un hôpital comporte trois services : A accueille $50\,\%$ des patients, B $30\,\%$ et C $20\,\%$ . Le taux d'infection nosocomiale est de $4\,\%$ en A, $10\,\%$ en B et $5\,\%$ en C.
Calculez la probabilité qu'un patient choisi au hasard contracte une infection (réponse décimale avec un point).

Un indice

Les trois services forment une partition : appliquez la formule des probabilités totales.

Voir la correction

Réponse attendue : 0.06

$P(I) = P(A)P(I \mid A) + P(B)P(I \mid B) + P(C)P(I \mid C)$
$= 0{,}02 + 0{,}03 + 0{,}01 =$ $0{,}06$ .

Exercice 4 Origine d'un lot de réactifs

Palier 4 · défi

Un laboratoire achète $70\,\%$ de ses réactifs au fournisseur F1 et $30\,\%$ au fournisseur F2. Un réactif de F1 est défectueux avec une probabilité $0{,}02$ , un réactif de F2 avec une probabilité $0{,}05$ .
Un réactif est défectueux. Calculez la probabilité qu'il provienne de F2, arrondie au centième (point décimal).

Un indice

Construisez un arbre : premier niveau le fournisseur, second niveau l'état du réactif.

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Réponse attendue : 0.52

$P(D) = 0{,}014 + 0{,}015 = 0{,}029$ .
$P(F_2 \mid D) = \dfrac{0{,}015}{0{,}029} \approx 0{,}517$ , soit $0{,}52$ .
Bien que F2 ne fournisse que $30\,\%$ des réactifs, il est à l'origine de plus de la moitié des défauts.