Cours et exercices corrigés de première : Variables aléatoires réelles, espérance, variance et écart-type

1. Espérance, variance et écart-type

Pour une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_1, x_2, \dots, x_k$ avec les probabilités $p_i = P(X = x_i)$ :

• Espérance mathématique (moyenne pondérée sur le long terme) :

$$E(X) = \sum_{i=1}^k x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_k p_k$$

• Variance (mesure de la dispersion par rapport à la moyenne) :

$$V(X) = \sum_{i=1}^k (x_i - E(X))^2 p_i = E(X^2) - (E(X))^2 \quad \text{(formule de König-Huygens)}$$

• Écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ (même unité que $X$).

2. Transformation affine $aX + b$

Pour tous réels $a$ et $b$, par linéarité de l'espérance :
$$E(aX + b) = a E(X) + b$$
Pour aller plus loin (non exigible en première) : $V(aX + b) = a^2 V(X)$ et $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.

3. Variable aléatoire et loi de probabilité

Une variable aléatoire $X$ sur un univers fini $\Omega$ est une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue.

• L'événement $\{X = x_i\}$ regroupe les issues pour lesquelles $X$ prend la valeur $x_i$.
• La loi de probabilité de $X$ est la donnée des valeurs $x_i$ et des probabilités $p_i = P(X = x_i)$, souvent présentée dans un tableau. On a toujours $p_1 + p_2 + \dots + p_k = 1$.

Exemple : on lance deux pièces équilibrées et $X$ est le nombre de « Pile ». $P(X = 0) = \frac{1}{4}$, $P(X = 1) = \frac{1}{2}$, $P(X = 2) = \frac{1}{4}$.

• Notations : $\{X \le a\}$ est l'événement « $X$ prend une valeur inférieure ou égale à $a$ ». Avec les deux pièces : $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = \frac{3}{4}$.

4. Interpréter l'espérance par la simulation

Si l'on répète un grand nombre de fois l'expérience, la moyenne des valeurs obtenues pour $X$ est en général proche de $E(X)$. On peut l'observer en Python (dé : gain de $10$ si on obtient $6$, perte de $2$ sinon) :

from random import randint

def moyenne(N):
    s = 0
    for k in range(N):
        s = s + (10 if randint(1, 6) == 6 else -2)
    return s / N

Ici $E(X) = 10 \times \frac{1}{6} - 2 \times \frac{5}{6} = 0$, et moyenne(100000) renvoie une valeur proche de $0$.

Démonstration : formule de König-Huygens

Notons $\mu = E(X)$. En développant $(x_i - \mu)^2 = x_i^2 - 2\mu x_i + \mu^2$ :
$$V(X) = \sum_{i=1}^k x_i^2 p_i - 2\mu \sum_{i=1}^k x_i p_i + \mu^2 \sum_{i=1}^k p_i = E(X^2) - 2\mu \times \mu + \mu^2 \times 1 = E(X^2) - \mu^2$$
car $\sum x_i p_i = \mu$ et $\sum p_i = 1$. Cette formule simplifie souvent les calculs.

5. Linéarité de l'espérance

Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers et $a$, $b$ deux réels (propriétés admises) :
$$E(X + Y) = E(X) + E(Y) \quad \text{et} \quad E(aX + b) = aE(X) + b$$
Exemple : on lance deux dés équilibrés ; $X$ et $Y$ sont les deux résultats. $E(X) = E(Y) = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3{,}5$, donc la somme $S = X + Y$ a pour espérance $E(S) = 7$, sans qu'il soit nécessaire de déterminer la loi de $S$.
⚠️ Il n'y a pas de formule analogue pour la variance d'une somme en Première.

6. Algorithmes : espérance, variance, écart-type et échantillons

• Calcul à partir de la loi (listes des valeurs et des probabilités) :

from math import sqrt

def esperance(valeurs, probas):
    return sum(valeurs[i] * probas[i] for i in range(len(valeurs)))

def variance(valeurs, probas):
    m = esperance(valeurs, probas)
    return sum((valeurs[i] - m) ** 2 * probas[i] for i in range(len(valeurs)))

def ecart_type(valeurs, probas):
    return sqrt(variance(valeurs, probas))

Avec valeurs = [5, 2, -2] et probas = [0.2, 0.3, 0.5] (jeu de l'urne), on obtient, aux arrondis près, $0{,}6$, $7{,}84$ et $2{,}8$.

• Moyenne d'échantillons : pour une variable $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, on simule $N$ échantillons de taille $n$ et on calcule la proportion de ceux dont la moyenne $m$ vérifie $|m - \mu| \le \frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$.

from random import randint
from math import sqrt

def moyenne_echantillon(n):     # gain du jeu : 10 si 6, -2 sinon
    s = 0
    for k in range(n):
        s = s + (10 if randint(1, 6) == 6 else -2)
    return s / n

def proportion(N, n, mu, sigma):
    c = 0
    for j in range(N):
        if abs(moyenne_echantillon(n) - mu) <= 2 * sigma / sqrt(n):
            c = c + 1
    return c / N

Pour ce jeu, $\mu = 0$ et $V(X) = 100 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{5}{6} = 20$, donc $\sigma = \sqrt{20}$. proportion(1000, 100, 0, sqrt(20)) renvoie en général une valeur proche de $0{,}95$ : la moyenne d'un échantillon est le plus souvent à moins de $\frac{2\sigma}{\sqrt{n}}$ de l'espérance, et cet écart diminue quand $n$ augmente.

7. Pour aller plus loin : minimum de $x \mapsto E((X - x)^2)$

Notons $\mu = E(X)$. Pour tout réel $x$, en développant et par linéarité de l'espérance :
$$E\left((X - x)^2\right) = E(X^2) - 2x\,\mu + x^2 = (x - \mu)^2 + E(X^2) - \mu^2 = (x - \mu)^2 + V(X)$$
C'est une fonction polynôme du second degré de $x$, minimale pour $x = \mu$, de minimum $V(X)$ : l'espérance est le nombre « le plus proche » des valeurs de $X$ au sens des carrés des écarts, et la variance mesure cet écart minimal.

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Compléter une loi : la somme des probabilités vaut $1$. Si $P(X = 1) = 0{,}3$, $P(X = 2) = \frac{1}{4}$, $P(X = 3) = 0{,}25$, alors $P(X = 4) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.
• Espérance de tête : valeurs $-1$, $0$, $4$ de probabilités $0{,}5$ ; $0{,}3$ ; $0{,}2$ : $E(X) = -0{,}5 + 0 + 0{,}8 = 0{,}3$.
• Une moyenne pondérée (statistiques) se calcule comme une espérance : notes $10$ et $16$ de coefficients $1$ et $2$ donnent $\frac{10 + 32}{3} = 14$.
• $E(2X + 1) = 2E(X) + 1$ (linéarité de l'espérance).
• Statistiques : lire un histogramme ou un diagramme (origine, unités, échelles), passer du graphique aux données ; la série $2 ; 4 ; 4 ; 6$ a pour moyenne $4$ et pour écart type $\sqrt{\frac{4 + 0 + 0 + 4}{4}} = \sqrt{2}$.
• Jeu équitable $\iff E(\text{gain}) = 0$.