Cours et exercices corrigés de première : Probabilités conditionnelles et indépendance d'événements

1. Définitions : probabilité conditionnelle et indépendance

Soient $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A) \neq 0$.

• La probabilité de $B$ sachant $A$ est $$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
• En situation d'équiprobabilité (tirage au hasard d'un individu dans une population), $P_A(B) = \frac{\text{nombre d'éléments de } A \cap B}{\text{nombre d'éléments de } A}$ : on « restreint » l'univers à $A$.
• Les événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

2. Arbres pondérés et formule des probabilités totales

• Règle 1 (Nœud) : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
• Règle 2 (Chemin) : La probabilité de l'issue au bout d'un chemin est le produit des probabilités le long de ce chemin : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
• Formule des probabilités totales : Si $(A, \overline{A})$ forme une partition de l'univers, alors pour tout événement $B$ :

$$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)$$

3. Propriétés de la probabilité conditionnelle

Soit $A$ un événement tel que $P(A) > 0$.

• $P_A$ est une probabilité : $0 \le P_A(B) \le 1$ et $P_A(\overline{B}) = 1 - P_A(B)$.
• Formule du produit : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ ; si de plus $P(B) > 0$, on a aussi $P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A)$.

Exemple : si $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}3$, alors $P(A \cap B) = 0{,}12$ et $P_A(\overline{B}) = 0{,}7$.

4. Probabilités totales avec une partition quelconque

Des événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ de probabilités non nulles forment une partition de l'univers s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est l'univers. Alors, pour tout événement $B$ :
$$P(B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + P(A_2)P_{A_2}(B) + \dots + P(A_n)P_{A_n}(B)$$
Sur un arbre, $P(B)$ est la somme des probabilités de tous les chemins qui mènent à $B$.

5. Indépendance : compléments

• Si $P(A) > 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change pas la probabilité de $B$.
• Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi.
• Succession de deux épreuves indépendantes (par exemple deux lancers de dé) : dans l'arbre, les probabilités du second niveau sont les mêmes quelle que soit l'issue de la première épreuve, et la probabilité d'un couple d'issues est le produit des probabilités.

Démonstration : formule des probabilités totales

Les événements $A \cap B$ et $\overline{A} \cap B$ sont incompatibles (une issue ne peut pas appartenir à la fois à $A$ et à $\overline{A}$) et leur réunion est $B$. Donc $$P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$$
Si $0 < P(A) < 1$, la formule du produit donne $P(A \cap B) = P(A)\,P_A(B)$ et $P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$, d'où $P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$.
Le raisonnement est le même pour une partition $A_1, \dots, A_n$ : les événements $A_i \cap B$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est $B$.

Démonstration : si $A$ et $B$ sont indépendants, $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi

$A$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $A \cap \overline{B}$, donc $P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B)$. Par indépendance :
$$P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\left(1 - P(B)\right) = P(A)\,P(\overline{B})$$

6. Répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes ($n \le 4$)

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès $S$, de probabilité $p$, et échec $\overline{S}$, de probabilité $1 - p$. Lorsqu'on répète $n$ fois ($n \le 4$ en Première) la même épreuve de façon indépendante, on représente la situation par un arbre à $n$ niveaux dont chaque branche porte $p$ ou $1 - p$.

• La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches.
• La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.

Exemple : un joueur tire trois fois au but ; chaque tir est réussi avec la probabilité $0{,}7$, indépendamment des autres. Les chemins comportant exactement deux réussites sont $SS\overline{S}$, $S\overline{S}S$ et $\overline{S}SS$ ; chacun a pour probabilité $0{,}7^2 \times 0{,}3 = 0{,}147$. Donc $P(\text{exactement deux réussites}) = 3 \times 0{,}147 = 0{,}441$.
Et $P(\text{au moins une réussite}) = 1 - P(\text{trois échecs}) = 1 - 0{,}3^3 = 1 - 0{,}027 = 0{,}973$.

7. Algorithme : méthode de Monte-Carlo

On choisit au hasard un point $M(x ; y)$ dans le carré $[0 ; 1] \times [0 ; 1]$. La probabilité qu'il appartienne au quart de disque d'équation $x^2 + y^2 \le 1$ est le rapport des aires, $\frac{\pi}{4}$. En multipliant par $4$ la fréquence observée sur $N$ points, on estime $\pi$.

from random import random

def estimation_pi(N):
    c = 0
    for k in range(N):
        x = random()
        y = random()
        if x * x + y * y <= 1:
            c = c + 1
    return 4 * c / N

Avec $N = 100\,000$, on obtient en général une valeur proche de $3{,}14$, à environ $0{,}01$ près. Même principe pour estimer l'aire sous la parabole $y = x^2$ entre $0$ et $1$ : on compte les points tels que $y \le x^2$ et on trouve une fréquence proche de $\frac{1}{3}$ (valeur exacte établie en Terminale).

Automatismes pour l'épreuve anticipée

L'épreuve anticipée de mathématiques (2 heures, sans calculatrice) commence par un QCM d'automatismes (6 points sur 20), suivi d'exercices (14 points). Questions flash typiques sur ce chapitre, à traiter de tête :

• Compléter un arbre : les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à $1$.
• Lire $P_A(B)$ sur une branche du second niveau, puis $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ : avec $P(A) = 0{,}4$ et $P_A(B) = 0{,}5$, on obtient $P(A \cap B) = 0{,}2$.
• Dans un tableau croisé : $P_F(D) = \frac{\text{effectif de } F \cap D}{\text{effectif de } F}$ (on divise par le total de la ligne ou de la colonne de $F$, pas par l'effectif total).
• Deux lancers indépendants d'une pièce équilibrée : $P(\text{deux Pile}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
• Distinguer $P(A \cap B)$ (probabilité que les deux événements soient réalisés), $P_A(B)$ (parmi les issues de $A$) et $P_B(A)$ (parmi les issues de $B$) : avec $P(A) = 0{,}4$, $P_A(B) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}5$, on a $P(A \cap B) = 0{,}2$ et $P_B(A) = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$.
• « Au moins un » : passer par l'événement contraire.