Cours et exercices corrigés du CRPE : Grandeurs et mesures : longueurs, aires, volumes, durées et conversions

1. Périmètres et aires

• Rectangle : $P = 2(L + \ell)$, $\mathcal{A} = L \times \ell$. • Triangle : $\mathcal{A} = \frac{b \times h}{2}$.
• Parallélogramme : $\mathcal{A} = b \times h$. • Trapèze : $\mathcal{A} = \frac{(B + b) \times h}{2}$.
• Disque de rayon $r$ : $P = 2\pi r$, $\mathcal{A} = \pi r^2$.

2. Volumes

• Pavé droit : $V = L \times \ell \times h$. • Prisme droit et cylindre : $V = \mathcal{B} \times h$.
• Pyramide et cône : $V = \frac{1}{3}\mathcal{B} \times h$. • Boule : $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.

3. Conversions

• Aires : $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2$ ; $1$ ha $= 10\,000\text{ m}^2$.
• Volumes : $1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ dm}^3$ et $1\text{ dm}^3 = 1$ L ; $1\text{ cm}^3 = 1$ mL.
• Durées : $1$ h $= 60$ min $= 3\,600$ s ; $1$ jour $= 24$ h.

4. Agrandissement et réduction

Si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes par $k^3$.
Exemple : doubler les arêtes d'un cube multiplie son volume par $8$.

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

• « $1\text{ m}^2 = 100\text{ cm}^2$ » : conversion d'aire faite comme une conversion de longueur.
• Croire qu'une figure de plus grand périmètre a forcément une plus grande aire.
• Calcul de durées en base dix : « $1$ h $45$ + $30$ min $= 1$ h $75$ = $2$ h $15$ » est juste, mais « $2$ h $15 - 1$ h $50 = 0$ h $65$ » ne l'est pas.