Cours et exercices corrigés du CRPE : Triangles : Pythagore, Thalès, trigonométrie et angles

1. Angles

La somme des angles d'un triangle vaut $180°$. Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont égaux ; dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure $60°$.
Deux droites parallèles coupées par une sécante forment des angles alternes-internes et correspondants égaux (et réciproquement).

2. Théorème de Pythagore

Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ($BC$ est l'hypoténuse).
Réciproque : si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ est rectangle en $A$.
Contraposée : si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ (avec $BC$ le plus grand côté), le triangle n'est pas rectangle.

3. Théorème de Thalès

Si les points $A, M, B$ et $A, N, C$ sont alignés et si $(MN) \parallel (BC)$, alors
$$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}.$$
Réciproque : si les points sont alignés dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$, alors $(MN) \parallel (BC)$.
Deux triangles sont semblables si leurs angles sont égaux deux à deux ; leurs côtés sont alors proportionnels.

4. Trigonométrie dans le triangle rectangle

Pour un angle aigu $\widehat{B}$ d'un triangle rectangle :
$$\cos \widehat{B} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \sin \widehat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \widehat{B} = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$$
La calculatrice doit être réglée en degrés.

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

• Appliquer Pythagore à un triangle dont on ne sait pas qu'il est rectangle.
• Écrire $BC^2 = AB^2 + AC^2$ en prenant pour $BC$ un côté de l'angle droit.
• Mal associer les côtés dans les rapports de Thalès (rapport « petit triangle sur grand triangle » non respecté).
• Conclure qu'un triangle est rectangle à partir d'une mesure sur la figure.