Professeur des écoles · Organisation et gestion de données, fonctions · PE-07

Cours et exercices corrigés du CRPE : Statistiques et probabilités

Moyenne (simple et pondérée), médiane, étendue, fréquences, lecture de tableaux et de diagrammes, vocabulaire des probabilités, calcul de probabilités en situation d'équiprobabilité, expériences à deux épreuves.

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Objectifs du chapitre

Calculer une moyenne (simple ou pondérée), une médiane, une étendue, des effectifs et des fréquences.
Lire, construire et critiquer tableaux et diagrammes.
Utiliser le vocabulaire des probabilités et calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité.
Traiter une expérience à deux épreuves à l'aide d'un arbre ou d'un tableau.

Le cours

1. Indicateurs statistiques

Moyenne : somme des valeurs divisée par l'effectif total ; pondérée : $\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots}{n_1 + n_2 + \dots}$ .
Médiane : valeur qui partage la série rangée en deux groupes de même effectif (pour $N$ valeurs : la valeur de rang $\frac{N+1}{2}$ si $N$ est impair, la moyenne des deux valeurs centrales si $N$ est pair).
Étendue : plus grande valeur moins plus petite valeur.
Fréquence : $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ , souvent en pourcentage.

2. Diagrammes

Diagramme en bâtons ou en barres (valeurs discrètes), histogramme (classes), diagramme circulaire (angle proportionnel à l'effectif : $360° \times$ fréquence), courbe (évolution dans le temps).

3. Probabilités

Une issue est un résultat possible ; un événement est un ensemble d'issues. En situation d'équiprobabilité :
$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.$
$0 \leq P(A) \leq 1$ et $P(\text{non } A) = 1 - P(A)$ .

4. Expériences à deux épreuves

On recense les issues avec un arbre ou un tableau à double entrée. En lançant deux dés à six faces, il y a $36$ issues équiprobables ; la somme $7$ s'obtient de $6$ façons, donc $P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ .

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

Calculer la médiane sans ranger la série.
Moyenne d'un tableau d'effectifs calculée sans pondération (moyenne des valeurs distinctes).
« Avec deux dés, la somme $2$ et la somme $7$ ont autant de chances » : les sommes ne sont pas équiprobables.
« Après cinq piles, face est plus probable » : la pièce n'a pas de mémoire.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Moyenne et médiane d'une série donnée par un tableau

Exemple

Notes : $8$ (effectif $3$ ), $11$ (effectif $5$ ), $14$ (effectif $4$ ), $17$ (effectif $2$ ).

Effectif total : $3 + 5 + 4 + 2 = 14$ .
Moyenne : $\frac{3 \times 8 + 5 \times 11 + 4 \times 14 + 2 \times 17}{14} = \frac{169}{14} \approx 12{,}1$ .
Médiane : $14$ valeurs, donc moyenne des $7^e$ et $8^e$ valeurs. Les valeurs de rang $4$ à $8$ valent $11$ : médiane $= 11$ .

Méthode : Probabilité avec un tirage sans remise

Exemple

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ vertes. On tire deux boules sans remise. Probabilité d'obtenir deux rouges ?

Étape 1 (Arbre) : $P(R_1) = \frac{3}{5}$ , puis il reste $2$ rouges sur $4$ boules : $P(R_2 \text{ sachant } R_1) = \frac{2}{4}$ .
Étape 2 : on multiplie le long de la branche : $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ .

Pièges fréquents

La médiane n'est pas influencée par les valeurs extrêmes, la moyenne l'est.
Une fréquence observée sur peu d'essais peut être loin de la probabilité : il faut un grand nombre de répétitions.
La moyenne de deux moyennes n'est la moyenne globale que si les effectifs sont égaux.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Médiane de

3 ; 7 ; 8 ; 12 ; 20 ; 21

$\frac{8 + 12}{2} = 10$ .

Angle d'un secteur représentant

25\,\%

d'un diagramme circulaire ?

$90°$ .

Probabilité d'obtenir un nombre premier avec un dé à six faces ?

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ( $2$ , $3$ , $5$ ).

P(A) = 0{,}35

, que vaut

P(\text{non } A)

$0{,}65$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Moyenne simple

Palier 1 · découverte

Calculer la moyenne de la série de notes : $12$ ; $15$ ; $9$ ; $14$ ; $10$ .

Un indice

Additionnez les cinq notes puis divisez par l'effectif.

Voir la correction

Réponse attendue : 12

$\frac{12 + 15 + 9 + 14 + 10}{5} = \frac{60}{5} = 12$ .

Exercice 2 Médiane d'une série paire

Palier 2 · application

Déterminer la médiane de la série : $4$ ; $11$ ; $7$ ; $15$ ; $9$ ; $3$ ; $12$ ; $8$ .

Un indice

Rangez d'abord la série dans l'ordre croissant.

Voir la correction

Réponse attendue : 8.5

Série rangée : $3 ; 4 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 15$ . Médiane $= \frac{8 + 9}{2} = 8{,}5$ .

Exercice 3 Moyenne pondérée

Palier 3 · approfondissement

Un candidat obtient $14$ (coefficient $3$ ), $8$ (coefficient $2$ ) et $11$ (coefficient $1$ ). Quelle est sa moyenne ?

Un indice

Chaque note compte autant de fois que son coefficient.

Voir la correction

Réponse attendue : 11.5

$\frac{3 \times 14 + 2 \times 8 + 1 \times 11}{3 + 2 + 1} = \frac{42 + 16 + 11}{6} = \frac{69}{6} = 11{,}5$ .

Exercice 4 Tirage sans remise

Palier 4 · défi

Une urne contient $4$ boules rouges et $2$ boules vertes. On tire successivement deux boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules vertes ?

Un indice

Après le premier tirage, l'urne ne contient plus que cinq boules.

Voir la correction

Réponse attendue : 1/15

$P(V_1) = \frac{2}{6}$ , puis il reste $1$ verte sur $5$ boules : $P = \frac{2}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ .