Cours et exercices corrigés du CRPE : Notion de fonction, fonctions linéaires et affines

1. Vocabulaire

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ un unique nombre $f(x)$, appelé image de $x$. Si $f(a) = b$, $a$ est un antécédent de $b$ (il peut y en avoir plusieurs, ou aucun).
La courbe de $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x ; f(x))$.

2. Fonctions linéaires

$f(x) = ax$. Elles modélisent les situations de proportionnalité ; leur représentation est une droite passant par l'origine. Le coefficient $a = \frac{f(x)}{x}$ pour $x \neq 0$.

3. Fonctions affines

$f(x) = ax + b$ : droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$.
À partir de deux valeurs : $a = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$, puis $b = f(x_1) - a x_1$.
Les accroissements de $f(x)$ sont proportionnels aux accroissements de $x$.

4. Lecture graphique

• Image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on lit l'ordonnée du point de la courbe.
• Antécédents de $b$ : on trace la droite horizontale d'ordonnée $b$ et on lit les abscisses des points d'intersection.
• Résoudre $f(x) = g(x)$ : abscisses des points d'intersection des deux courbes.

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

• Inverser image et antécédent dans une lecture graphique.
• Croire que toute droite représente une situation de proportionnalité (oubli de la condition « passe par l'origine »).
• Lire « $f(3)$ » comme « $f$ multiplié par $3$ ».