Cours et exercices corrigés du CRPE : Proportionnalité, pourcentages et vitesses

1. Les procédures de la proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient de proportionnalité).

• Linéarité : si $3$ kg coûtent $7{,}50$ €, $6$ kg coûtent le double et $9$ kg coûtent $7{,}50 + 15 = 22{,}50$ €.
• Passage à l'unité : $1$ kg coûte $7{,}50 \div 3 = 2{,}50$ €.
• Coefficient : prix $= 2{,}5 \times$ masse.
• Produit en croix (quatrième proportionnelle) : $x = \frac{b \times c}{a}$.

2. Échelles

Une échelle de $\frac{1}{25\,000}$ signifie que $1$ cm sur le plan représente $25\,000$ cm $= 250$ m dans la réalité.
$$\text{échelle} = \frac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}} \quad \text{(dans la même unité)}.$$

3. Pourcentages et évolutions

• Augmenter de $t\,\%$ : multiplier par $1 + \frac{t}{100}$. Diminuer de $t\,\%$ : multiplier par $1 - \frac{t}{100}$.
• Évolutions successives : on multiplie les coefficients. $+20\,\%$ puis $-20\,\%$ : $1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96$, soit une baisse de $4\,\%$.
• Valeur initiale : on divise par le coefficient. Après $+25\,\%$, un prix de $150$ € valait $150 \div 1{,}25 = 120$ €.

4. Vitesse moyenne

$$v = \frac{d}{t} \qquad d = v \times t \qquad t = \frac{d}{v}$$
Durées : $0{,}25$ h $= 15$ min, $0{,}5$ h $= 30$ min, $0{,}75$ h $= 45$ min, $0{,}1$ h $= 6$ min.
Conversion : $1$ m/s $= 3{,}6$ km/h.

5. Au concours : erreurs d'élèves fréquentes

• Modèle additif à la place du modèle multiplicatif : « $4$ pour $6$, donc $10$ pour $12$ » (on a ajouté $6$ aux deux).
• Appliquer la proportionnalité là où elle n'existe pas : l'âge et la taille, le prix d'un taxi avec prise en charge.
• « $1{,}3$ h $= 1$ h $30$ min » : confusion entre écriture décimale et sexagésimale.