Cours et exercices corrigés de seconde : Fluctuation d'échantillonnage, loi des grands nombres et simulation

1. Échantillon, fréquence et loi des grands nombres

• Un échantillon de taille $n$ est obtenu en répétant $n$ fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire à deux issues (succès de probabilité $p$, ou échec).
• Si $k$ est le nombre de succès, la fréquence observée est $f = \frac{k}{n}$.
• Loi des grands nombres (version vulgarisée) : « lorsque $n$ est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité ».
• Le choix d'une loi de probabilité (par exemple l'équiprobabilité pour un dé équilibré) est une hypothèse de modèle : elle ne se démontre pas. Pour un phénomène réel (lancer d'une punaise), on peut construire le modèle à partir des fréquences observées sur un grand nombre d'essais.

2. Algorithmique en Python : simulation d'échantillons

En Python, on utilise la bibliothèque random :

import random

def frequence_pile(n):
    nb_pile = 0
    for i in range(n):
        if random.random() < 0.5:
            nb_pile += 1
    return nb_pile / n

3. Fonction renvoyant un nombre aléatoire et loi des grands nombres

• randint(a, b) (module random) renvoie un entier aléatoire entre $a$ et $b$ inclus ; random() renvoie un nombre aléatoire de $[0 ; 1[$.
• En appelant plusieurs fois une telle fonction, on obtient une série statistique dont on peut calculer la fréquence d'une issue :

from random import randint

def lancer_de():
    return randint(1, 6)

def frequence_six(n):
    nb = 0
    for i in range(n):
        if lancer_de() == 6:
            nb = nb + 1
    return nb / n

for n in [10, 100, 10000]:
    print(n, frequence_six(n))

• Les résultats changent à chaque exécution. Avec $n = 10$ la fréquence peut être très éloignée de $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ (par exemple $0{,}3$) ; avec $n = 10\,000$ elle est presque toujours très proche de $0{,}167$ : on observe la loi des grands nombres.

4. Pour aller plus loin : fluctuation et critère $\frac{1}{\sqrt{n}}$

Ce critère n'est pas un attendu du programme de seconde : le programme demande d'observer la fluctuation d'échantillonnage et la loi des grands nombres par simulation (voir les paragraphes 1 et 3).
Soit $p$ la proportion d'un caractère dans une population générale. Lorsqu'on prélève au hasard un échantillon de taille $n$ (avec $n$ assez grand ; à titre indicatif $n \ge 25$ et $0{,}2 \le p \le 0{,}8$) :

• La fréquence observée $f$ varie d'un échantillon à un autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
• L'intervalle de fluctuation à 95% est :

$$I = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$
Pour $n$ assez grand, dans environ 95 % (au moins) des échantillons de taille $n$, la fréquence observée $f$ appartient à cet intervalle.

5. Pour aller plus loin : écart entre fréquence et probabilité

Dire que $f \in \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ équivaut à dire que la distance entre $f$ et $p$ vérifie :
$$|f - p| \le \frac{1}{\sqrt{n}}$$
Résultat admis : pour $n$ assez grand, cette inégalité est vérifiée pour environ $95\,\%$ (ou plus) des échantillons de taille $n$.

• Plus $n$ est grand, plus l'intervalle est étroit : la fréquence fluctue moins.

6. Pour aller plus loin : simuler de nombreux échantillons en Python

from random import random
from math import sqrt

def frequence(n, p):
    k = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            k = k + 1
    return k / n

def proportion_proches(N, n, p):
    c = 0
    for j in range(N):
        if abs(frequence(n, p) - p) <= 1 / sqrt(n):
            c = c + 1
    return c / N

random() renvoie un nombre aléatoire de $[0 ; 1[$ : la condition random() < p est réalisée avec la probabilité $p$. L'appel proportion_proches(1000, 100, 0.3) renvoie en général une valeur proche de $0{,}95$ ou au-dessus.