Cours et exercices corrigés de seconde : Probabilités : modèle probabiliste, probabilités conditionnelles et arbres pondérés

1. Vocabulaire des probabilités et propriétés (rappels)

• Univers $\Omega$ : ensemble des issues possibles. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
• Événements incompatibles (ou disjoints) : $A \cap B = \emptyset \implies P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Cas général de la réunion :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

• Événement contraire $\overline{A}$ : $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.

2. Loi de probabilité et équiprobabilité

• Définir une loi de probabilité sur $\Omega = \{e_1, \dots, e_n\}$, c'est associer à chaque issue $e_i$ un nombre $p_i \ge 0$ tel que $p_1 + p_2 + \dots + p_n = 1$.
• Le choix d'une loi de probabilité est une hypothèse du modèle : il ne se démontre pas. On distingue le modèle (un dé « équilibré ») de la situation réelle (un dé physique), dont on peut tester l'adéquation au modèle en observant les fréquences (voir 2S3).
• La probabilité d'un événement $A$ est la somme des probabilités des issues qui le réalisent.
• Lorsque toutes les issues ont la même probabilité $\frac{1}{n}$, on parle d'équiprobabilité et $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$.

Exemple : pour un dé truqué où $P(6) = 0{,}5$ et les cinq autres faces ont la même probabilité, chacune vaut $\frac{1 - 0{,}5}{5} = 0{,}1$.

3. Vocabulaire des événements

• $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») : issues réalisant à la fois $A$ et $B$.
• $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») : issues réalisant au moins l'un des deux ; le « ou » est inclusif.
• $\overline{A}$ (« non $A$ ») : issues ne réalisant pas $A$.
• Deux événements contraires sont incompatibles, mais la réciproque est fausse : avec un dé, $A = \{1\}$ et $B = \{2\}$ sont incompatibles sans être contraires.

4. Dénombrer avec un tableau ou un arbre

• Tableau à double entrée : pour le lancer de deux dés équilibrés, on obtient $6 \times 6 = 36$ couples équiprobables.

Exemple : la somme vaut $7$ pour $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$, donc $P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

• Arbre : pour des expériences successives, chaque chemin complet représente une issue ; on compte les chemins qui réalisent l'événement.

5. Probabilité conditionnelle

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$ sachant $A$ est
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
C'est la probabilité que $B$ soit réalisé lorsqu'on sait que $A$ est réalisé. On en déduit $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.

• Lien avec les fréquences conditionnelles : si on choisit un individu au hasard (équiprobabilité) dans une population,

$$P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)} \qquad P_B(A) = \frac{\text{Card}(A \cap B)}{\text{Card}(B)}$$
Exemple (tableau croisé des $200$ élèves du chapitre de statistiques : $70$ internes dont $30$ filles, $110$ filles) : on choisit un élève au hasard. Avec $I$ = « interne » et $F$ = « fille » : $P_I(F) = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$ alors que $P_F(I) = \frac{30}{110} = \frac{3}{11}$.

• En général $P_A(B) \neq P_B(A)$ : c'est le problème de l'inversion des conditionnements.

6. Arbres pondérés

Un arbre pondéré représente une expérience en plusieurs étapes.

• Sur les branches du premier niveau, on écrit $P(A)$ et $P(\overline{A})$ ; sur les branches suivantes, des probabilités conditionnelles ($P_A(B)$, $P_A(\overline{B})$, …).
• Règle des nœuds : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut $1$ : $P_A(B) + P_A(\overline{B}) = 1$.
• Règle du chemin : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches :

$$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$$
C'est exactement la définition de la probabilité conditionnelle, écrite sous forme de produit.

• Pour aller plus loin : la probabilité d'un événement réalisé par plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins (ce calcul n'est pas un attendu du programme de seconde).

7. Automatismes : probabilités

• Une probabilité est toujours un nombre compris entre $0$ et $1$.
• $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ : si $P(A) = 0{,}35$, alors $P(\overline{A}) = 0{,}65$.
• Avec un dé équilibré, l'événement $N$ « obtenir un nombre premier » est $\{2 ; 3 ; 5\}$, donc $P(N) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ (somme des probabilités des issues).
• En situation d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{Card}(A)}{\text{Card}(\Omega)}$ : tirer un as dans un jeu de $32$ cartes a pour probabilité $\frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.