Cours et exercices corrigés de terminale : Épreuves répétées, schéma de Bernoulli et loi binomiale

1. Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves indépendantes de probabilité de succès $p$ :

• $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.
• Pour tout entier $k \in \{0, 1, \dots, n\}$ :

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

• Espérance mathématique : $E(X) = np$.
• Variance : $V(X) = np(1-p)$ et écart-type : $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

2. Coefficients binomiaux

• $\binom{n}{k}$ (« $k$ parmi $n$ ») est le nombre de chemins de l'arbre d'un schéma de Bernoulli à $n$ épreuves qui réalisent exactement $k$ succès ; c'est aussi le nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments.
• Formule : $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$ où $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$ et $0! = 1$.
• $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$, $\binom{n}{1} = n$, et symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$.
• Relation de Pascal : $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$, qui permet de construire le triangle de Pascal.

3. Loi binomiale et variables de Bernoulli

• Une variable de Bernoulli de paramètre $p$ prend la valeur $1$ (succès) avec probabilité $p$ et $0$ sinon : $E = p$ et $V = p(1 - p)$.
• Si $X_1, \dots, X_n$ sont des variables de Bernoulli de paramètre $p$ indépendantes, alors $X = X_1 + \dots + X_n$ compte les succès : $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.
• On en déduit (voir TS2) : $E(X) = np$ (linéarité) et $V(X) = np(1 - p)$ (indépendance).
• Exemple : pour $X \sim \mathcal{B}(50 ; 0{,}2)$, $E(X) = 10$ et $V(X) = 50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8$.

4. Probabilités cumulées et calculs pratiques

• $P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} P(X = i)$ s'obtient à la calculatrice (fonction « binomiale cumulée » / « binomFRép »).
• $P(X \ge k) = 1 - P(X \le k - 1)$ et $P(a \le X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a - 1)$.
• En Python :

from math import comb
def binom(n, p, k):
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
def cumul(n, p, k):
    return sum(binom(n, p, i) for i in range(k + 1))

5. Succession d'épreuves indépendantes

• Une succession de $n$ épreuves indépendantes se représente par un arbre ou par un produit cartésien : une issue est une liste $(x_1 ; x_2 ; \dots ; x_n)$.
• Modèle : la probabilité d'une issue $(x_1 ; \dots ; x_n)$ est le produit des probabilités des issues $x_1$, …, $x_n$ de chaque épreuve.
• Exemple : on lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré : $P\big((\text{Pile} ; 6)\big) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
• Pour un schéma de Bernoulli, l'univers est l'ensemble $\{0 ; 1\}^n$ des listes de $n$ chiffres ($1$ pour un succès, $0$ pour un échec).

6. Démonstration : expression de la probabilité de $k$ succès

Soit un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, $X$ le nombre de succès et $k \in \{0, \dots, n\}$.

• Une issue réalisant $\{X = k\}$ est une liste de $n$ résultats comportant exactement $k$ succès et $n - k$ échecs. Par indépendance, sa probabilité est le produit $p^k(1 - p)^{n-k}$, la même pour toutes ces issues.
• Une telle issue est entièrement déterminée par l'ensemble des $k$ rangs (parmi $n$) où ont lieu les succès : il y en a donc $\binom{n}{k}$ (nombre de parties à $k$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments, chapitre TS3).
• Ces issues étant deux à deux incompatibles, on additionne leurs probabilités :

$$P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1 - p)^{n-k}$$

7. Algorithmes : planche de Galton et surréservation

• Planche de Galton : une bille rencontre $n$ rangées de clous et part à droite avec la probabilité $\frac{1}{2}$ à chaque clou ; le numéro de sa case d'arrivée (nombre de déplacements à droite) suit $\mathcal{B}\left(n ; \frac{1}{2}\right)$.

from random import random

def galton(n, nb_billes):
    cases = [0] * (n + 1)
    for b in range(nb_billes):
        droite = 0
        for i in range(n):
            if random() < 0.5:
                droite = droite + 1
        cases[droite] = cases[droite] + 1
    return cases

• Surréservation : pour $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $\alpha > 0$, on cherche le plus petit entier $k$ tel que $P(X > k) \le \alpha$.

from math import comb

def seuil(n, p, alpha):
    k = 0
    cumul = (1 - p)**n          # P(X <= 0)
    while 1 - cumul > alpha:    # P(X > k) = 1 - P(X <= k)
        k = k + 1
        cumul = cumul + comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)
    return k

Exemple : une compagnie vend $318$ billets pour un avion de $300$ places ; chaque passager se présente indépendamment avec la probabilité $0{,}92$. seuil(318, 0.92, 0.05) renvoie $300$ : la probabilité que plus de $300$ passagers se présentent est inférieure ou égale à $5\,\%$. Avec $320$ billets, le seuil passe à $302$.