Cours et exercices corrigés de terminale : Produit scalaire dans l'espace et équations cartésiennes de plans

1. Vecteur normal et équation de plan dans l'espace

• Un vecteur non nul $\vec{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ est normal à un plan $\mathcal{P}$ s'il est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $\mathcal{P}$.
• Tout plan de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$ admet une équation cartésienne de la forme :

$$ax + by + cz + d = 0$$

• Deux plans sont parallèles ssi leurs vecteurs normaux sont colinéaires. Ils sont perpendiculaires ssi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux ($\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 0$).

2. Produit scalaire dans l'espace : définitions et propriétés

• Deux vecteurs de l'espace sont toujours coplanaires : on définit $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\widehat{\vec{u}, \vec{v}})$ comme dans le plan qui les contient.
• Formule de polarisation : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \frac{1}{2}\left(\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u}\|^2 - \|\vec{v}\|^2\right)$.
• En repère orthonormé, pour $\vec{u}(x ; y ; z)$ et $\vec{v}(x' ; y' ; z')$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Le produit scalaire est symétrique et bilinéaire : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + k\vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + k\,\vec{u} \cdot \vec{w}$.
• $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Développement : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u} \cdot \vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
• Distance entre deux points en repère orthonormé : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

3. Orthogonalité d'une droite et d'un plan

• Une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $\mathcal{P}$. Elle est alors orthogonale à toutes les droites de $\mathcal{P}$.
• De façon équivalente : un vecteur directeur de $d$ est normal à $\mathcal{P}$.
• Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$ est l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0$.
• Une droite de vecteur directeur $\vec{w}$ est parallèle au plan de vecteur normal $\vec{n}$ si et seulement si $\vec{w} \cdot \vec{n} = 0$.

4. Projeté orthogonal et distance

• Le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point $H$ de $\mathcal{P}$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est colinéaire à un vecteur normal de $\mathcal{P}$ (c'est l'intersection de $\mathcal{P}$ avec la droite passant par $M$ orthogonale à $\mathcal{P}$).
• $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ : pour tout $N \in \mathcal{P}$, $MN \ge MH$ (Pythagore). La distance de $M$ au plan est $MH$.
• De même, le projeté orthogonal de $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à un vecteur directeur de $d$.

5. Démonstration : équation cartésienne d'un plan

On se place dans un repère orthonormé. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(x_A ; y_A ; z_A)$ et de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c) \ne \vec{0}$.

• Sens direct : $M(x ; y ; z) \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$, c'est-à-dire $ax + by + cz + d = 0$ avec $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$.
• Réciproque : soient $(a ; b ; c) \ne (0 ; 0 ; 0)$ et $d$ un réel ; supposons par exemple $a \ne 0$. Le point $A\left(-\frac{d}{a} ; 0 ; 0\right)$ vérifie l'équation et, pour tout point $M(x ; y ; z)$, $ax + by + cz + d = a\left(x + \frac{d}{a}\right) + by + cz = \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n}$. L'ensemble des points vérifiant $ax + by + cz + d = 0$ est donc le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a ; b ; c)$. (Si $a = 0$, on raisonne de même avec $b$ ou $c$.)

6. Démonstration : le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche

Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ et $N$ un point quelconque de $\mathcal{P}$.

• $\overrightarrow{MH}$ est normal à $\mathcal{P}$ et $\overrightarrow{HN}$ est un vecteur du plan ($H$ et $N$ sont dans $\mathcal{P}$) : $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} = 0$.
• Par la relation de Chasles et le développement du carré scalaire :

$$MN^2 = \|\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}\|^2 = MH^2 + 2\,\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} + HN^2 = MH^2 + HN^2$$

• Donc $MN^2 \ge MH^2$, soit $MN \ge MH$, avec égalité si et seulement si $HN = 0$, c'est-à-dire $N = H$.

Conclusion : $H$ est l'unique point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$, et la distance de $M$ au plan est $MH$.

7. Pour aller plus loin : intersection de deux plans

Deux plans dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires sont sécants selon une droite. Pour en obtenir une représentation paramétrique, on résout le système formé par les deux équations en prenant une inconnue comme paramètre.
Exemple : $\mathcal{P}_1 : x + y + z - 3 = 0$ et $\mathcal{P}_2 : x - y + 2z - 1 = 0$. En posant $z = t$ : $x + y = 3 - t$ et $x - y = 1 - 2t$, d'où $x = 2 - \frac{3}{2}t$ et $y = 1 + \frac{1}{2}t$. La droite d'intersection passe par $(2 ; 1 ; 0)$ et est dirigée par $(-3 ; 1 ; 2)$, vecteur orthogonal aux deux vecteurs normaux $(1 ; 1 ; 1)$ et $(1 ; -1 ; 2)$.