Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Trigonométrie, nombres complexes et polynômes

1. Formules de trigonométrie

Pour tous réels $a$ et $b$ : $\cos^{2} a + \sin^{2} a = 1$ et
$$\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \qquad \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$
Duplication : $\cos(2a) = 2\cos^{2} a - 1 = 1 - 2\sin^{2} a$ et $\sin(2a) = 2 \sin a \cos a$.
Équations : $\cos x = \cos a \iff x \equiv a \ [2\pi]$ ou $x \equiv -a \ [2\pi]$ ; $\sin x = \sin a \iff x \equiv a \ [2\pi]$ ou $x \equiv \pi - a \ [2\pi]$ ; $\tan x = \tan a \iff x \equiv a \ [\pi]$.

2. Forme algébrique, conjugué et module

Tout complexe s'écrit de façon unique $z = a + ib$ avec $a = \text{Re}(z)$ et $b = \text{Im}(z)$ réels. Son conjugué est $\overline{z} = a - ib$ et son module $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$.
Propriétés : $z\overline{z} = |z|^{2}$, $\overline{zz'} = \overline{z}\,\overline{z'}$, $|zz'| = |z|\,|z'|$ et l'inégalité triangulaire $|z + z'| \leq |z| + |z'|$.
Pour $z \neq 0$ : $\dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}$ (on multiplie par le conjugué du dénominateur).

3. Forme exponentielle

Pour $\theta \in \mathbb{R}$, on pose $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ ; on a $|e^{i\theta}| = 1$ et $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$.
Tout $z \neq 0$ s'écrit $z = re^{i\theta}$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta$ un argument de $z$, défini à $2\pi$ près.

• Moivre : $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
• Euler : $\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ (utile pour linéariser $\cos^{n}$ ou $\sin^{n}$).

4. Équation du second degré à coefficients réels

Soit $az^{2} + bz + c = 0$ avec $a, b, c$ réels, $a \neq 0$, et $\Delta = b^{2} - 4ac$.

• $\Delta > 0$ : deux racines réelles $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ ;
• $\Delta = 0$ : une racine double $-\dfrac{b}{2a}$ ;
• $\Delta < 0$ : deux racines complexes conjuguées $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$.

Dans tous les cas, la somme des racines vaut $-\dfrac{b}{a}$ et leur produit $\dfrac{c}{a}$.

5. Polynômes : degré, racines, multiplicité

Pour des polynômes réels non nuls : $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ et $\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q)$.

• Racine et factorisation : $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a)$ divise $P$.
• Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines ; un polynôme de degré au plus $n$ qui a plus de $n$ racines est le polynôme nul.
• Multiplicité : $a$ est racine d'ordre $m \geq 1$ si $(X - a)^{m}$ divise $P$ mais pas $(X-a)^{m+1}$, ce qui équivaut à $P(a) = P'(a) = \cdots = P^{(m-1)}(a) = 0$ et $P^{(m)}(a) \neq 0$.

6. Factorisation des polynômes réels

Si $P$ est à coefficients réels et $z$ est une racine complexe non réelle, alors $\overline{z}$ est aussi racine, avec la même multiplicité, et $(X - z)(X - \overline{z}) = X^{2} - 2\text{Re}(z)X + |z|^{2}$ est un trinôme réel de discriminant négatif.
Tout polynôme réel non constant s'écrit comme produit de son coefficient dominant, de facteurs $(X - a)$ et de trinômes $X^{2} + pX + q$ avec $p^{2} - 4q < 0$ (théorème admis).