Cours et exercices corrigés de prépa BCPST : Suites réelles et séries

1. Suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques

• Arithmétique de raison $r$ : $u_n = u_0 + nr$.
• Géométrique de raison $q$ : $u_n = u_0 q^{n}$.
• Arithmético-géométrique : $u_{n+1} = au_n + b$ avec $a \neq 1$. Le réel $\ell = \dfrac{b}{1 - a}$ vérifie $\ell = a\ell + b$ ; la suite $v_n = u_n - \ell$ est géométrique de raison $a$, donc

$$u_n = a^{n}(u_0 - \ell) + \ell$$
Limite de $(q^{n})$ : $0$ si $|q| < 1$, $1$ si $q = 1$, $+\infty$ si $q > 1$, pas de limite si $q \leq -1$.

2. Suites récurrentes linéaires d'ordre 2

Soit $u_{n+2} = au_{n+1} + bu_n$ avec $a, b$ réels et $b \neq 0$, d'équation caractéristique $r^{2} = ar + b$.

• Deux racines réelles distinctes $r_1$, $r_2$ : $u_n = \lambda r_1^{n} + \mu r_2^{n}$.
• Une racine double $r$ : $u_n = (\lambda + \mu n)r^{n}$.
• Deux racines complexes conjuguées $\rho e^{\pm i\theta}$ : $u_n = \rho^{n}(\lambda\cos(n\theta) + \mu\sin(n\theta))$.

Les réels $\lambda$ et $\mu$ sont déterminés de façon unique par $u_0$ et $u_1$.

3. Théorèmes de convergence

• Encadrement : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un certain rang et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
• Limite monotone : une suite croissante et majorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ (énoncés symétriques pour les suites décroissantes).
• Passage à la limite : si $u_n \leq v_n$ et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n \leq \lim v_n$ (les inégalités strictes deviennent larges).
• Suites récurrentes $u_{n+1} = f(u_n)$ : si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$.

4. Suites adjacentes

Deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes si $(u_n)$ est croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim (v_n - u_n) = 0$.
Théorème : deux suites adjacentes convergent vers la même limite $\ell$, et pour tout $n$, $u_n \leq \ell \leq v_n$.
Cet encadrement fournit une valeur approchée de $\ell$ avec une erreur au plus $v_n - u_n$.

5. Séries numériques et séries de référence

La série $\sum u_n$ converge si la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ converge ; sa somme est alors $\sum_{k=0}^{+\infty} u_k = \lim S_n$.

• Condition nécessaire : si $\sum u_n$ converge, alors $u_n \to 0$. Si $u_n \not\to 0$, la série diverge grossièrement.
• Géométriques : pour $|q| < 1$, $\sum_{n=0}^{+\infty} q^{n} = \dfrac{1}{1 - q}$, $\sum_{n=1}^{+\infty} nq^{n-1} = \dfrac{1}{(1 - q)^{2}}$, $\sum_{n=2}^{+\infty} n(n-1)q^{n-2} = \dfrac{2}{(1-q)^{3}}$ ; pour $|q| \geq 1$, elles divergent.
• Exponentielle : pour tout réel $x$, $\sum_{n=0}^{+\infty} \dfrac{x^{n}}{n!} = e^{x}$.
• Riemann : $\sum_{n \geq 1} \dfrac{1}{n^{\alpha}}$ converge si et seulement si $\alpha > 1$.

6. Séries à termes positifs et convergence absolue

Si $u_n \geq 0$, la suite $(S_n)$ est croissante : la série converge si et seulement si $(S_n)$ est majorée.
Pour $u_n \geq 0$ et $v_n \geq 0$ :

• Comparaison : si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge (et si $\sum u_n$ diverge, $\sum v_n$ diverge) ;
• Équivalence : si $u_n \sim v_n$, les deux séries sont de même nature.
• Convergence absolue : si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge et $\left|\sum u_n\right| \leq \sum |u_n|$.