6e · Organisation et Gestion de Données · 6D2

Cours et exercices corrigés de 6e : Probabilités : hasard et premières probabilités

Vocabulaire du hasard (certain, impossible, probable), une probabilité est un nombre entre 0 et 1, calcul en situation d'équiprobabilité, comparaison avec des fréquences observées.

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Objectifs du chapitre

Utiliser le vocabulaire du hasard : expérience aléatoire, issue, événement impossible, certain, probable.
Savoir qu'une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.
Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité simple.
Comparer les fréquences obtenues lors d'expériences répétées avec une probabilité calculée.

Le cours

1. Le vocabulaire du hasard

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les résultats possibles, appelés issues, sans pouvoir prévoir lequel se produira (lancer un dé, tirer une bille dans un sac…).
Un événement peut être impossible (obtenir $7$ avec un dé à six faces), certain (obtenir un nombre inférieur à $10$ ), peu probable, très probable, ou avoir une chance sur deux de se produire.

2. Une probabilité est un nombre entre 0 et 1

On mesure la « chance » qu'un événement se produise par un nombre appelé probabilité, toujours compris entre $0$ et $1$ :

probabilité $0$ : événement impossible ;
probabilité $1$ : événement certain ;
probabilité $\frac{1}{2} = 0{,}5$ : une chance sur deux.

Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage : $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%$ .

3. Situation d'équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, billes indiscernables au toucher…), on parle d'équiprobabilité. Alors :
$\text{probabilité} = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}$
Exemple : un sac contient $3$ billes rouges et $5$ bleues. La probabilité de tirer une bille rouge est $\frac{3}{8}$ .

4. Fréquence et probabilité

Si l'on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'une issue ( $\frac{\text{nombre de fois obtenue}}{\text{nombre d'essais}}$ ) se rapproche de sa probabilité.
Exemple : sur $200$ lancers d'une pièce, on obtient $94$ fois « pile » : fréquence $\frac{94}{200} = 0{,}47$ , proche de la probabilité $0{,}5$ . Sur peu d'essais, la fréquence peut être assez éloignée de la probabilité.

À retenir

Une probabilité est un nombre entre $0$ (impossible) et $1$ (certain).
Équiprobabilité : $\frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$ .
Sur un grand nombre d'essais, la fréquence se rapproche de la probabilité.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une probabilité simple

Exemple

On tire au hasard une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$ . Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?

Étape 1 : Les cartes sont tirées au hasard : situation d'équiprobabilité, $10$ issues possibles.
Étape 2 : Issues favorables (multiples de $3$ ) : $3$ , $6$ , $9$ , soit $3$ issues.
Étape 3 : Probabilité : $\frac{3}{10} = 0{,}3$ .

Méthode : Calculer une fréquence

Exemple

Sur $50$ lancers d'un dé, le $6$ est sorti $11$ fois. Quelle est la fréquence de sortie du $6$ ?

Étape 1 : Fréquence $= \frac{11}{50}$ .
Étape 2 : $\frac{11}{50} = \frac{22}{100} = 0{,}22$ .
Comparaison : la probabilité est $\frac{1}{6} \approx 0{,}17$ ; avec plus de lancers, la fréquence s'en rapprocherait.

Pièges fréquents

Une probabilité n'est jamais supérieure à $1$ ni négative : $\frac{8}{5}$ ne peut pas être une probabilité.
La fréquence observée n'est pas toujours égale à la probabilité : le hasard crée des écarts, surtout sur peu d'essais.
Compte toutes les issues possibles au dénominateur : avec $3$ rouges et $5$ bleues, il y a $8$ billes, donc $P(\text{rouge}) = \frac{3}{8}$ et non $\frac{3}{5}$ .

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Qu'est-ce qu'un événement impossible ? Quelle est sa probabilité ?

Un événement qui ne peut jamais se produire ; sa probabilité vaut $0$ .

Quelle est la probabilité d'un événement certain ?

$1$ .

Probabilité d'obtenir

5

avec un dé équilibré à six faces ?

$\frac{1}{6}$ .

Un sac contient

2

billes vertes et

6

jaunes. Probabilité de tirer une verte ?

$\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ .

Que se passe-t-il pour la fréquence quand on répète une expérience un très grand nombre de fois ?

Elle se rapproche de la probabilité de l'événement.

Exercices corrigés

Exercice 1 Vocabulaire du hasard

Palier 1 · découverte

On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de $1$ à $6$ .
Comment qualifier l'événement « obtenir $7$ » ?

Impossible
Certain
Une chance sur deux
Peu probable mais possible

Un indice

Le nombre $7$ figure-t-il sur une face du dé ?

Voir la correction

Bonne réponse : A. Impossible

Aucune face ne porte le nombre $7$ : l'événement ne peut pas se produire, il est impossible (sa probabilité vaut $0$ ).

Exercice 2 Tirage dans un sac

Palier 2 · application

Un sac contient $3$ billes rouges, $5$ billes bleues et $2$ billes vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.
Quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ? (fraction simplifiée)

Un indice

Nombre total de billes : $3 + 5 + 2$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 1/2

Il y a $3 + 5 + 2 = 10$ billes, dont $5$ bleues :
$P(\text{bleue}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

Exercice 3 Roue de loterie

Palier 3 · approfondissement

Une roue équilibrée est partagée en $8$ secteurs identiques numérotés de $1$ à $8$ . On la fait tourner.
Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair strictement supérieur à $3$ ? (fraction simplifiée)

Un indice

Liste les nombres pairs entre $1$ et $8$ , puis garde ceux supérieurs à $3$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 3/8

Nombres pairs : $2$ , $4$ , $6$ , $8$ . Ceux strictement supérieurs à $3$ : $4$ , $6$ , $8$ , soit $3$ issues favorables sur $8$ .
$P = \frac{3}{8}$

Exercice 4 Défi 5ème : Fréquence observée

Palier 4 · défi

Inès lance une pièce de monnaie $200$ fois et obtient « pile » $94$ fois.
Quelle est la fréquence d'apparition de « pile » ? (écriture décimale)

Un indice

Fréquence $= \frac{\text{nombre de piles}}{\text{nombre de lancers}}$ .

Voir la correction

Réponse attendue : 0,47

$\frac{94}{200} = \frac{47}{100} = 0{,}47$
Cette fréquence est proche de la probabilité $0{,}5$ d'obtenir « pile » avec une pièce équilibrée.