5e · Organisation et Fonctions · 5D2

Cours et exercices corrigés de 5e : Probabilités : découverte du hasard et événements

Vocabulaire des probabilités (expérience aléatoire, issue, événement), échelle de probabilité, probabilités simples dans des cas d'équiprobabilité.

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Objectifs du chapitre

Reconnaître une expérience aléatoire et lister ses issues.
Utiliser le vocabulaire : issue, événement, événement élémentaire, impossible, certain.
Placer un événement sur une échelle de probabilité de $0$ à $1$ .
Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité.
Faire le lien entre fréquence observée et probabilité.

Le cours

1. Expérience aléatoire et issues

Une expérience est dite aléatoire si elle dépend du hasard et qu'on ne peut pas prévoir son résultat à l'avance, bien qu'on connaisse la liste de tous les résultats possibles (les issues).
Exemples : lancer un dé à six faces (issues : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ) ; lancer une pièce (pile, face) ; tirer une boule dans une urne.

2. Événements

Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non ; il est réalisé par une ou plusieurs issues.

Exemple avec un dé : l'événement « obtenir un nombre pair » est réalisé par les issues $2$ , $4$ et $6$ .

Un événement réalisé par une seule issue est un événement élémentaire : « obtenir $5$ ».
Un événement impossible n'est jamais réalisé (« obtenir $7$ ») ; un événement certain est toujours réalisé (« obtenir un nombre inférieur à $10$ »).

3. Probabilité d'un événement

La probabilité d'un événement mesure ses chances de se réaliser. C'est un nombre compris entre $0$ et $1$ :

Événement impossible : probabilité $0$ ; événement certain : probabilité $1$ .
Une probabilité s'écrit en fraction, en décimal ou en pourcentage : $\frac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%$ .

4. Situation d'équiprobabilité

Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, boules indiscernables au toucher…), on parle d'équiprobabilité et :
$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$
Exemple : avec un dé équilibré, $P(\text{nombre pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

5. Fréquence et probabilité

Si l'on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Exemple : sur $1\,000$ lancers d'une pièce équilibrée, on obtient environ $500$ fois « pile ». Sur $10$ lancers, on peut très bien obtenir $7$ fois « pile » : le hasard crée des écarts sur peu d'essais.

À retenir

$0 \le P \le 1$ ; impossible : $0$ ; certain : $1$ .
Équiprobabilité : $P = \frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$ .
Le hasard n'a pas de mémoire ; la fréquence se rapproche de la probabilité sur un grand nombre d'essais.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer une probabilité

Exemple

On tire une boule au hasard dans une urne contenant 4 boules bleues et 6 boules rouges. Quelle est la probabilité de tirer une boule bleue ?

Étape 1 : Les boules sont tirées au hasard : situation d'équiprobabilité. Nombre total d'issues : $4 + 6 = 10$ boules.
Étape 2 : Issues favorables : les $4$ boules bleues.
Étape 3 : $P(\text{bleue}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%$ .

Méthode : Probabilité avec un dé

Exemple

On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?

Étape 1 : Issues possibles : $1, 2, 3, 4, 5, 6$ , soit $6$ issues équiprobables.
Étape 2 : Issues favorables (multiples de $3$ ) : $3$ et $6$ , soit $2$ issues.
Étape 3 : $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .

Méthode : Probabilité quand des issues se répètent

Exemple

On choisit au hasard une lettre du mot MATHEMATIQUES. Quelle est la probabilité de tirer la lettre M ? une voyelle ?

Étape 1 : Le mot compte $13$ lettres : chaque lettre (chaque position) a la même chance d'être choisie.
Étape 2 : La lettre M apparaît $2$ fois : $P(\text{M}) = \frac{2}{13}$ .
Étape 3 : Les voyelles sont A, E, A, I, U, E, soit $6$ lettres : $P(\text{voyelle}) = \frac{6}{13}$ .

Pièges fréquents

Une probabilité ne peut JAMAIS être supérieure à 1 ni inférieure à 0 !
Le hasard n'a pas de mémoire : si un dé donne 6 trois fois de suite, la probabilité d'avoir 6 au coup suivant reste toujours $\frac{1}{6}$ .
Au dénominateur, on compte toutes les issues : avec $3$ boules rouges et $5$ bleues, $P(\text{rouge}) = \frac{3}{8}$ et non $\frac{3}{5}$ .
Les issues ne sont pas toujours équiprobables : sur une roue dont les secteurs ont des tailles différentes, la formule « favorables sur possibles » ne s'applique pas directement.

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Quelle est la probabilité d'obtenir un 5 sur un dé équilibré à 6 faces ?

$\frac{1}{6}$ .

Quelle est la probabilité d'un événement impossible ?

Quelle est la probabilité d'un événement certain ?

$1$ (il se produit à coup sûr).

Au lancer d'un dé cubique équilibré à 6 faces, quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \quad (\text{issues favorables : } 2, 4, 6)$

On choisit une lettre au hasard dans MATHEMATIQUES. Probabilité d'obtenir A ?

Il y a $2$ A sur $13$ lettres : $\frac{2}{13}$ .

Qu'est-ce qu'un événement élémentaire ?

Un événement réalisé par une seule issue (par exemple « obtenir $5$ » avec un dé).

Exercices corrigés

Exercice 1 Probabilité élémentaire avec un dé

Palier 1 · découverte

On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir le chiffre 4 ?

Un indice

Compte les issues favorables (faces portant le chiffre 4) et le nombre total d'issues, toutes équiprobables.

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Bonne réponse : A. 1/6

Exact : il y a 1 face avec le 4 sur 6 faces au total.

$P(4) = \frac{1}{6}$

Exercice 2 Tirage dans une urne

Palier 2 · application

Une boîte contient 3 jetons rouges, 5 jetons verts et 2 jetons jaunes. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilité de tirer un jeton vert sous forme décimale ?

Un indice

Nombre total de jetons : $3 + 5 + 2 = 10$ .

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Réponse attendue : 0.5

$P(\text{Vert}) = \frac{5}{10} = 0,5$

Exercice 3 Événement certain et impossible

Palier 3 · approfondissement

On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 6 ?

Un indice

Compte les faces du dé qui portent un nombre strictement supérieur à 6 : que vaut la probabilité d'un événement qui ne peut jamais se produire ?

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Réponse attendue : 0

Aucune face ne porte un nombre supérieur à 6, c'est un événement impossible : $P = 0$ .

Exercice 4 Défi 4ème : Nombre pair sur un dé

Palier 4 · défi

On lance un dé équilibré à 6 faces. Quelle est la probabilité en pourcentage d'obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) ?

Un indice

Compte les issues paires parmi les 6 issues équiprobables, puis convertis la fraction obtenue en pourcentage.

Voir la correction

Réponse attendue : 50

$P(\text{Pair}) = \frac{3}{6} = 0,5 = 50\%$