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4e · Organisation et Fonctions · 4D2

Cours et exercices corrigés de 4e : Probabilités : événements contraires et expériences à deux épreuves

Notations ensemblistes (événement contraire, intersection, réunion), calcul de P(non A) = 1 - P(A), expériences aléatoires simples à deux épreuves.

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Objectifs du chapitre

Le cours

1. Vocabulaire fondamental des probabilités

  • Expérience aléatoire : Expérience dont on connaît toutes les issues possibles, mais dont le résultat ne peut pas être prévu avec certitude à l'avance (ex: jet de dé, pile ou face).
  • Événement impossible : Événement qui ne peut jamais se produire, sa probabilité vaut 00 (P=0P = 0).
  • Événement certain : Événement qui se produit à coup sûr, sa probabilité vaut 11 (P=1P = 1).
  • Propriété : Pour tout événement AA, la probabilité est un nombre compris entre 0 et 1 : 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1

2. Équiprobabilité

Lorsque chaque issue a exactement la même chance de se produire (dés équilibrés, boules indiscernables au toucher, pièces bien équilibrées), on dit qu'il y a équiprobabilité :
P(A)=Nombre d’issues favorables aˋ ANombre total d’issues possiblesP(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables à } A}{\text{Nombre total d'issues possibles}}

3. Événement contraire Aˉ\bar{A}

L'événement contraire d'un événement AA, noté Aˉ\bar{A} (ou « non A »), est l'ensemble de toutes les issues qui n'appartiennent pas à AA.
Formule d’or : P(Aˉ)=1−P(A)  ⟺  P(A)+P(Aˉ)=1\text{Formule d'or : } P(\bar{A}) = 1 - P(A) \quad \iff \quad P(A) + P(\bar{A}) = 1
Exemple : Si la probabilité de tirer une bille rouge est P(R)=0,35P(R) = 0{,}35, alors la probabilité de ne pas tirer de bille rouge est P(Rˉ)=1−0,35=0,65P(\bar{R}) = 1 - 0{,}35 = 0{,}65.

4. Expériences aléatoires à deux épreuves

Pour modéliser deux tirages successifs ou le lancer simultané de deux objets :

  • Le tableau à double entrée : très efficace quand le nombre d'issues est fini et identique pour chaque épreuve.
  • L'arbre pondéré : sur chaque branche on inscrit la probabilité de l'issue correspondante.
  • La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1.

5. Fréquence et probabilité

Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se rapproche de sa probabilité.
Exemple : en lançant un dé équilibré 6 000 fois, on obtient le 6 environ 1 000 fois : la fréquence est proche de 16≈0,17\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17. Sur 12 lancers seulement, elle peut en être très éloignée.

À retenir

  • 0≤P(A)≤10 \le P(A) \le 1 ; événement impossible : 00 ; événement certain : 11.
  • Équiprobabilité : P(A)=nombre d’issues favorablesnombre d’issues possiblesP(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}.
  • P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1 - P(A) : très utile pour « au moins un ».
  • Deux épreuves : on liste toutes les issues avec un arbre ou un tableau.
  • Sur un grand nombre d'essais, la fréquence observée se rapproche de la probabilité.

Méthodes et exemples rédigés

Méthode : Calculer la probabilité d'un événement avec l'événement contraire

Exemple

Dans une tombola de 500 tickets, 15 tickets sont gagnants. Quelle est la probabilité de ne rien gagner ?

  1. Étape 1 (Probabilité de l'événement direct) : Soit GG l'événement « Gagner un lot ». P(G)=15500=3100=0,03P(G) = \frac{15}{500} = \frac{3}{100} = 0{,}03.

  2. Étape 2 (Appliquer l'événement contraire) : L'événement « Ne rien gagner » est l'événement contraire Gˉ\bar{G}.

  3. Étape 3 (Calcul) : P(Gˉ)=1−P(G)=1−0,03=0,97P(\bar{G}) = 1 - P(G) = 1 - 0{,}03 = 0{,}97 (soit 97 % de chance de ne rien gagner).

Méthode : Utiliser un tableau à double entrée (deux dés)

Exemple

On lance deux dés équilibrés à six faces et on additionne les résultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?

  1. Étape 1 (Issues) : chaque dé a 6 faces, il y a 6×6=366 \times 6 = 36 issues équiprobables, que l'on présente dans un tableau (dé 1 en ligne, dé 2 en colonne, somme dans les cases).

  2. Étape 2 (Issues favorables) : la somme vaut 7 pour (1;6)(1 ; 6), (2;5)(2 ; 5), (3;4)(3 ; 4), (4;3)(4 ; 3), (5;2)(5 ; 2), (6;1)(6 ; 1) : 6 issues (une diagonale du tableau).

  3. Étape 3 (Probabilité) : en notant SS l'événement « la somme vaut 7 », P(S)=636=16P(S) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}.

Méthode : Utiliser un arbre et l'événement contraire

Exemple

On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile ?

PF PFPF 1/21/2 1/21/21/21/2 (P ; P) : 1/4(P ; F) : 1/4(F ; P) : 1/4(F ; F) : 1/4

  1. Étape 1 (Arbre) : l'arbre fait apparaître 4 issues équiprobables : (P;P)(P ; P), (P;F)(P ; F), (F;P)(F ; P), (F;F)(F ; F), chacune de probabilité 14\dfrac{1}{4}.

  2. Étape 2 (Événement contraire) : le contraire de « au moins une fois Pile » est « aucun Pile », c'est-à-dire (F;F)(F ; F), de probabilité 14\dfrac{1}{4}.

  3. Étape 3 (Conclusion) : en notant AA l'événement « au moins un Pile », P(A)=1−P(Aˉ)=1−14=34P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}. (Vérification : 3 issues favorables sur 4.)

Pièges fréquents

Questions de révision

Essaie de répondre de tête avant d'afficher la réponse.

Si P(A)=0,42P(A) = 0{,}42, que vaut la probabilité de l'événement contraire Aˉ\bar{A} ?

P(Aˉ)=1−0,42=0,58P(\bar{A}) = 1 - 0{,}42 = 0{,}58.

Que vaut la somme des probabilités de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire ?

Elle est toujours égale à 1.

Quelle est la probabilité d'un événement impossible ?

00 (zéro chance de se produire).

Dans un sac contenant 4 billes bleues et 6 billes vertes, quelle est la probabilité de tirer une bille bleue ?

P=44+6=410=0,4P = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = 0{,}4 (ou 25\frac{2}{5}).

Que vaut la somme des probabilités des branches partant d'un même nœud dans un arbre pondéré ?

Elle vaut toujours 1.

On lance deux dés. Probabilité d'obtenir un double ?

636=16\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} (les doubles forment la diagonale du tableau).

On lance deux fois une pièce. Probabilité d'obtenir deux Face ?

14\dfrac{1}{4} (une issue sur quatre).

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul de l'événement contraire

Palier 1 · découverte

La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à P(E)=0,35P(E) = 0,35. Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas demain ?

Un indice

Formule de l'événement contraire : P(Eˉ)=1−P(E)P(\bar{E}) = 1 - P(E).

Voir la correction

Réponse attendue : 0.65

P(Eˉ)=1−0,35=0,65P(\bar{E}) = 1 - 0,35 = 0,65

Exercice 2 Tirage sans succès

Palier 2 · application

Une tombola contient 200 billets, dont 20 sont gagnants. Quelle est la probabilité de tirer un billet perdant sous forme décimale ?

Un indice

Nombre de billets perdants : 200−20=180200 - 20 = 180. Ou 1−202001 - \frac{20}{200}.

Voir la correction

Réponse attendue : 0.9

P(Perdant)=1−20200=1−0,1=0,9P(\text{Perdant}) = 1 - \frac{20}{200} = 1 - 0,1 = 0,9

Exercice 3 Expérience à deux épreuves (pièces)

Palier 3 · approfondissement

On lance deux pièces de monnaie équilibrées consécutivement. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « Pile » ?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 2/4
  4. 1/3
Un indice

Dresse la liste des 4 issues possibles : (P,P), (P,F), (F,P), (F,F).

Voir la correction

Bonne réponse : A. 1/4

Exact : les 4 issues équiprobables sont (P,P), (P,F), (F,P), (F,F). P(P,P) = 1/4 = 0,25.

P(Pile, Pile)=12×12=14P(\text{Pile, Pile}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Exercice 4 Défi : Tirage avec remise

Palier 4 · défi

Une urne contient 2 boules vertes et 3 boules blanches. On tire successivement 2 boules avec remise. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules blanches sous forme d'une fraction irréductible ?

Un indice

Probabilité au premier tirage : 35\frac{3}{5}. Même chose au deuxième tirage.

Voir la correction

Réponse attendue : 9/25

P(Blanche, Blanche)=35×35=925P(\text{Blanche, Blanche}) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25}