Espaces préhilbertiens réels — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Situation dans les programmes : théorème de Pythagore et distance d'un point à une droite au collège ; produit scalaire dans le plan en première (projection orthogonale, norme, formule d'Al-Kashi, expression en repère orthonormé) ; produit scalaire dans l'espace, orthogonalité et projeté orthogonal sur une droite ou un plan en terminale spécialité.
Espaces vectoriels réels, familles libres et génératrices, dimension, sous-espaces supplémentaires.
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques, identités de polarisation.
Trinôme du second degré : signe et discriminant.

Proposition de plan en trois parties

I. Produit scalaire et norme euclidienne

Un produit scalaire sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive ; norme associée $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ . Exemples : produit canonique sur $\mathbb{R}^n$ ; $\langle A, B \rangle = \mathrm{tr}(A^{\top}B)$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ; $\langle f, g \rangle = \int_a^b fg$ sur $\mathcal{C}([a ; b], \mathbb{R})$ , défini positif grâce à la continuité. Identités de polarisation et du parallélogramme. Inégalité de Cauchy-Schwarz $|\langle x, y \rangle| \le \|x\|\|y\|$ , avec égalité si et seulement si $(x, y)$ est liée ; inégalité triangulaire, avec égalité si et seulement si les vecteurs sont positivement liés. Théorème de Pythagore.

II. Orthogonalité et bases orthonormées

Vecteurs orthogonaux, orthogonal $A^{\perp}$ d'une partie $A$ (c'est un sous-espace vectoriel). Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. Procédé de Gram-Schmidt : pour toute famille libre $(x_1, \dots, x_p)$ , il existe une unique famille orthonormée $(e_1, \dots, e_p)$ telle que $\mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_k) = \mathrm{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ et $\langle e_k, x_k \rangle > 0$ pour tout $k$ . Conséquences : tout espace euclidien admet une base orthonormée, dans laquelle $x = \sum \langle x, e_i \rangle e_i$ et $\|x\|^2 = \sum \langle x, e_i \rangle^2$ . Exemple : orthonormalisation de $(1, X, X^2)$ pour $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1}PQ$ .

III. Projection orthogonale et meilleure approximation

Théorème : si $F$ est un sous-espace de dimension finie d'un espace préhilbertien $E$ , alors $E = F \oplus F^{\perp}$ ; la projection orthogonale s'écrit $p_F(x) = \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle e_i$ dans une base orthonormée $(e_1, \dots, e_p)$ de $F$ . Caractérisation : $p_F(x)$ est l'unique $y \in F$ tel que $\|x - y\| = d(x, F)$ , et $d(x, F)^2 = \|x\|^2 - \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle^2$ . Inégalité de Bessel. Applications : distance d'un point à un plan de l'espace, droite des moindres carrés, calcul de $\min_{a, b \in \mathbb{R}}\int_0^1(x^2 - ax - b)^2\,dx = \frac{1}{180}$ , atteint pour $a = 1$ et $b = -\frac{1}{6}$ .

Théorème clé et démonstration

Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie $p \ge 1$ , muni d'une base orthonormée $(e_1, \dots, e_p)$ (qui existe par le procédé de Gram-Schmidt). Alors (i) $E = F \oplus F^{\perp}$ ; (ii) pour tout $x \in E$ , le vecteur $p_F(x) = \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle e_i$ est l'unique $y \in F$ tel que $\|x - y\| = \inf_{z \in F}\|x - z\|$ ; (iii) $d(x, F)^2 = \|x\|^2 - \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle^2$ .

Démonstration

1. Intersection. Si $x \in F \cap F^{\perp}$ , alors $\langle x, x \rangle = 0$ , donc $x = 0$ car le produit scalaire est défini positif.
2. Décomposition. Soit $x \in E$ et $y = \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle e_i \in F$ . Pour tout $j$ , $\langle x - y, e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle - \sum_{i}\langle x, e_i \rangle\langle e_i, e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle - \langle x, e_j \rangle = 0$ . Par linéarité, $x - y$ est orthogonal à toute combinaison des $e_j$ , donc $x - y \in F^{\perp}$ . Ainsi $x = y + (x - y)$ et $E = F + F^{\perp}$ , somme directe par l'étape 1.
3. Minimisation. Pour $z \in F$ , $x - z = (x - y) + (y - z)$ avec $x - y \in F^{\perp}$ et $y - z \in F$ . Par Pythagore, $\|x - z\|^2 = \|x - y\|^2 + \|y - z\|^2 \ge \|x - y\|^2$ , avec égalité si et seulement si $z = y$ . L'infimum est donc atteint, uniquement en $y = p_F(x)$ .
4. Distance. Par Pythagore, $\|x\|^2 = \|y\|^2 + \|x - y\|^2$ , et $\|y\|^2 = \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle^2$ car la famille $(e_i)$ est orthonormée. Donc $d(x, F)^2 = \|x - y\|^2 = \|x\|^2 - \sum_{i=1}^{p}\langle x, e_i \rangle^2$ .
5. Remarque. L'hypothèse de dimension finie sert à disposer d'une base orthonormée finie de $F$ ; sans elle, la conclusion (i) peut être fausse.

Développements possibles pour l’oral

Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité (niveau L1) : preuve par le signe du trinôme $\lambda \mapsto \|x + \lambda y\|^2$ , puis applications $\left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)^2 \le n\sum_{i=1}^{n}a_i^2$ et $\left(\int_0^1 f\right)^2 \le \int_0^1 f^2$ pour $f$ continue.
Droite des moindres carrés (niveau L2, lien avec la statistique du lycée) : projection orthogonale de $(y_1, \dots, y_n)$ sur $\mathrm{Vect}\left((1, \dots, 1), (x_1, \dots, x_n)\right)$ , équations normales, et formules $a = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{V(x)}$ et $b = \bar{y} - a\bar{x}$ .
Polynômes de Legendre (niveau L2-L3) : procédé de Gram-Schmidt appliqué à $(1, X, X^2, \dots)$ pour $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1}PQ$ , identification avec les dérivées $n$ -ièmes de $(X^2 - 1)^n$ à un facteur près, et preuve que le $n$ -ième polynôme a $n$ racines simples dans $]-1 ; 1[$ .
Déterminant de Gram (niveau L2) : pour une base quelconque $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ , $d(x, F)^2 = \frac{G(f_1, \dots, f_p, x)}{G(f_1, \dots, f_p)}$ , où $G$ désigne le déterminant de la matrice des produits scalaires.

Remarques et questions du jury

En dimension infinie, $E = F \oplus F^{\perp}$ peut être faux : dans $\mathbb{R}[X]$ muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \sum_k p_kq_k$ des coefficients, l'hyperplan $F = \{P : P(1) = 0\}$ vérifie $F^{\perp} = \{0\}$ , donc $F^{\perp\perp} = E \neq F$ .
Le caractère défini positif doit être vérifié : sur $\mathcal{C}([0 ; 1], \mathbb{R})$ , $\int_0^1 fg$ convient car une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle, mais ce n'est plus un produit scalaire sur les fonctions continues par morceaux.
Le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz porte sur $|\langle x, y \rangle|$ ; l'égalité $\langle x, y \rangle = \|x\|\|y\|$ sans valeur absolue caractérise les vecteurs positivement liés, ce qui donne le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire.
Un projecteur n'est pas forcément orthogonal ; un projecteur $p$ est orthogonal si et seulement si $\|p(x)\| \le \|x\|$ pour tout $x$ , et le jury peut demander un exemple de projecteur non orthogonal dans le plan.
Lien avec le lycée : savoir présenter le projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace comme le point qui minimise la distance, et faire le lien entre Cauchy-Schwarz et l'écriture $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\cos\theta$ .

Exercices corrigés

Exercice 1 Identité du parallélogramme et normes préhilbertiennes

Palier 1 · découverte

Dans un espace vectoriel normé $(E, \|\cdot\|)$ , à quelle condition nécessaire et suffisante la norme provient-elle d'un produit scalaire (théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan) ?

La norme vérifie l'identité du parallélogramme : $\forall x, y \in E,\; \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$
La norme est bornée sur la boule unité
L'espace E est de dimension finie
La boule unité fermée est un polyèdre convexe

Un indice

Penser aux identités de polarisation permettant de reconstituer le produit scalaire $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)$ .

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Bonne réponse : A. La norme vérifie l'identité du parallélogramme : $\forall x, y \in E,\; \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$

Le théorème de Fréchet-von Neumann-Jordan affirme qu'une norme est issue d'un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme. Dans ce cas, le produit scalaire est donné par la formule de polarisation : $\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)$ dans le cas réel.

Exercice 2 Orthonormalisation de Gram-Schmidt sur les polynômes

Palier 2 · application

Soit $E = \mathbb{R}_1[X]$ muni du produit scalaire $\langle P, Q \rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt$ . On applique le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique $(1, X)$ . Quels sont les deux premiers polynômes orthonormés $(e_0, e_1)$ ?

$e_0(X) = 1$ et $e_1(X) = \sqrt{3}(2X - 1)$
$e_0(X) = 1$ et $e_1(X) = X - \frac{1}{2}$
$e_0(X) = \sqrt{2}$ et $e_1(X) = \sqrt{6} X$
$e_0(X) = 1$ et $e_1(X) = 2X$

Un indice

$\|1\|^2 = \int_0^1 1\,dt = 1$ . Puis orthogonaliser : $P_1(X) = X - \langle X, e_0 \rangle e_0$ , avec $\langle X, 1 \rangle = 1/2$ . Enfin normaliser.

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Bonne réponse : A. $e_0(X) = 1$ et $e_1(X) = \sqrt{3}(2X - 1)$

1. $\|1\|^2 = \int_0^1 1\,dt = 1$ , donc $e_0(X) = 1$ .
2. On orthogonalise $X$ par rapport à $e_0$ : $P_1 = X - \langle X, e_0 \rangle e_0 = X - \int_0^1 t\,dt = X - 1/2$ .
3. Calcul de la norme : $\|P_1\|^2 = \int_0^1 (t - 1/2)^2\,dt = [\frac{(t-1/2)^3}{3}]_0^1 = \frac{1/8 - (-1/8)}{3} = \frac{1}{12}$ .
4. Donc $\|P_1\| = \frac{1}{2\sqrt{3}}$ , d'où $e_1 = \frac{P_1}{\|P_1\|} = 2\sqrt{3}(X - 1/2) = \sqrt{3}(2X - 1)$ .

Exercice 3 Distance d'une fonction aux constantes par projection orthogonale

Palier 3 · approfondissement

Dans $E = \mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ muni du produit scalaire usuel $\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t)\,dt$ , quelle est la distance de la fonction $f(t) = t^2$ au sous-espace des fonctions constantes $F = \mathbb{R} \cdot 1$ ?

$d(f, F) = \frac{2}{3\sqrt{5}}$
$d(f, F) = \frac{1}{3}$
$d(f, F) = \frac{1}{\sqrt{5}}$
$d(f, F) = \frac{1}{6}$

Un indice

Le projeté orthogonal de $f$ sur $\mathbb{R}\cdot 1$ est la constante $c = \frac{\langle f, 1 \rangle}{\|1\|^2} = \int_0^1 t^2\,dt = 1/3$ . La distance au carré vaut $\|f - c\|^2 = \int_0^1 (t^2 - 1/3)^2\,dt$ .

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Bonne réponse : A. $d(f, F) = \frac{2}{3\sqrt{5}}$

Le projeté orthogonal de $f$ sur $F$ est $p_F(f) = c$ où $c = \frac{\int_0^1 t^2\,dt}{\int_0^1 1\,dt} = \frac{1}{3}$ . La distance au carré vaut $d(f, F)^2 = \int_0^1 (t^2 - 1/3)^2\,dt = \int_0^1 (t^4 - \frac{2}{3}t^2 + \frac{1}{9})\,dt = \frac{1}{5} - \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{5} - \frac{1}{9} = \frac{4}{45}$ . On prend la racine carrée : $d(f, F) = \sqrt{\frac{4}{45}} = \frac{2}{3\sqrt{5}}$ .

Exercice 4 Bipolaire orthogonal et adhérence en dimension infinie

Palier 4 · défi

Soit $E$ un espace de Hilbert réel (préhilbertien complet) et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . Quelle est la relation exacte entre $F$ et son bipolaire orthogonal $F^{\perp\perp}$ ?

$F^{\perp\perp} = \bar{F}$ (l'adhérence de F pour la topologie induite par le produit scalaire)
$F^{\perp\perp} = F$ toujours, quel que soit l'espace et le sous-espace
$F^{\perp\perp} = \{0\}$
$F^{\perp\perp} = E$

Un indice

Comme l'application $x \mapsto \langle x, y \rangle$ est continue, tout orthogonal $S^\perp$ est un sous-espace fermé. Si $F$ est dense mais distinct de $E$ , $F^{\perp\perp} = E \ne F$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $F^{\perp\perp} = \bar{F}$ (l'adhérence de F pour la topologie induite par le produit scalaire)

Pour tout sous-ensemble $S$ , l'orthogonal $S^\perp$ est une intersection de noyaux de formes linéaires continues, donc est un sous-espace vectoriel fermé. Ainsi, $F^{\perp\perp}$ est fermé et contient $F$ , donc contient $\bar{F}$ . Comme $E$ est complet, $\bar{F}$ est un sous-espace fermé et $E = \bar{F} \oplus \bar{F}^{\perp}$ (théorème de projection), avec $\bar{F}^{\perp} = F^{\perp}$ ; on en déduit exactement $F^{\perp\perp} = \bar{F}$ . Attention : dans un espace seulement préhilbertien (non complet), on a uniquement l'inclusion $\bar{F} \subset F^{\perp\perp}$ , qui peut être stricte. En particulier, si $F$ n'est pas fermé (par exemple les polynômes $\mathbb{R}[X]$ dans $L^2([0, 1])$ ), $F^{\perp\perp} = L^2([0, 1]) \ne F$ .