Intégrale de Riemann — leçon d'oral du CAPES

Prérequis

Situation dans les programmes : en terminale spécialité, intégrale d'une fonction continue positive définie comme aire sous la courbe, théorème fondamental (démontré pour une fonction continue positive croissante, admis en général), existence de primitives admise, linéarité, positivité, relation de Chasles, valeur moyenne, intégration par parties ; méthode des rectangles en algorithmique.
Borne supérieure dans $\mathbb{R}$ , suites adjacentes.
Continuité, continuité uniforme et théorème de Heine sur un segment.
Dérivation, théorème des accroissements finis, fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ .

Proposition de plan en trois parties

I. Intégrale de Riemann sur un segment

Fonctions en escalier sur $[a ; b]$ et leur intégrale, indépendante de la subdivision adaptée choisie. Une fonction bornée $f$ est intégrable au sens de Riemann si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\varphi, \psi$ en escalier avec $\varphi \le f \le \psi$ et $\int_a^b(\psi - \varphi) \le \varepsilon$ . Théorème : toute fonction continue sur un segment est intégrable (par la continuité uniforme), ainsi que toute fonction monotone et toute fonction continue par morceaux. Contre-exemple : l'indicatrice de $\mathbb{Q} \cap [0 ; 1]$ n'est pas intégrable. Sommes de Riemann : pour $f$ continue, $\frac{b-a}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \to \int_a^b f$ . Propriétés : linéarité, positivité, relation de Chasles, $\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b|f|$ pour $a \le b$ , inégalité de la moyenne.

II. Primitives et techniques de calcul

Théorème fondamental : si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ , $x \mapsto \int_a^x f$ est l'unique primitive de $f$ nulle en $a$ , et $\int_a^b f = G(b) - G(a)$ pour toute primitive $G$ . Intégration par parties pour $u, v$ de classe $\mathcal{C}^1$ . Changement de variable : $\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$ pour $f$ continue et $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ . Formule de Taylor avec reste intégral. Exemple : intégrales de Wallis $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^n t\,dt$ , avec $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}W_n$ par intégration par parties.

III. Intégrales dépendant d'un paramètre

Sur un segment : si $f$ est continue sur $I \times [a ; b]$ , alors $F(x) = \int_a^b f(x, t)\,dt$ est continue sur $I$ ; si de plus $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe et est continue sur $I \times [a ; b]$ , alors $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $F'(x) = \int_a^b\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,dt$ . Sur un intervalle quelconque (intégrales généralisées), il faut une hypothèse de domination : $|f(x, t)| \le g(t)$ avec $g$ intégrable indépendante de $x$ , éventuellement sur chaque segment de $I$ , et une domination analogue de la dérivée partielle. Exemples : fonction $\Gamma$ , intégrale de Gauss $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,dt = \sqrt{\pi}$ , transformée de Laplace.

Théorème clé et démonstration

Théorème fondamental de l'analyse

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et $a \in I$ . Alors la fonction $F : x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$ ; c'est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ . En conséquence, pour toute primitive $G$ de $f$ sur $I$ et tous $\alpha, \beta \in I$ , $\int_\alpha^\beta f(t)\,dt = G(\beta) - G(\alpha)$ .

Démonstration

1. Taux d'accroissement. Soit $x_0 \in I$ et $h \neq 0$ tel que $x_0 + h \in I$ . Par la relation de Chasles et parce que $\int_{x_0}^{x_0+h}f(x_0)\,dt = hf(x_0)$ : $\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0) = \frac{1}{h}\int_{x_0}^{x_0+h}\left(f(t) - f(x_0)\right)dt$ .
2. Majoration. Soit $\varepsilon > 0$ . Par continuité de $f$ en $x_0$ , il existe $\eta > 0$ tel que pour tout $t \in I$ , $|t - x_0| \le \eta$ implique $|f(t) - f(x_0)| \le \varepsilon$ . Si $0 \lt |h| \le \eta$ , tout $t$ compris entre $x_0$ et $x_0 + h$ vérifie $|t - x_0| \le \eta$ , donc $\left|\int_{x_0}^{x_0+h}(f(t) - f(x_0))\,dt\right| \le |h|\varepsilon$ .
3. Dérivabilité. On obtient $\left|\frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - f(x_0)\right| \le \varepsilon$ pour $0 \lt |h| \le \eta$ : $F$ est dérivable en $x_0$ (à droite ou à gauche seulement si $x_0$ est une borne de $I$ ) et $F'(x_0) = f(x_0)$ . De plus $F(a) = 0$ .
4. Unicité. Si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ , $(G - F)' = 0$ sur l'intervalle $I$ , donc $G - F$ est constante par le théorème des accroissements finis. Si de plus $G(a) = 0$ , alors $G = F$ .
5. Calcul d'intégrales. Pour toute primitive $G$ , $G = F + c$ , donc $G(\beta) - G(\alpha) = F(\beta) - F(\alpha) = \int_a^\beta f - \int_a^\alpha f = \int_\alpha^\beta f$ par Chasles.

Développements possibles pour l’oral

Intégrales de Wallis et formule de Stirling (niveau L2) : relation $W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$ , équivalent $W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$ , puis $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ en identifiant la constante grâce aux intégrales de Wallis.
Intégrale de Gauss par une intégrale à paramètre sur un segment (niveau L2) : avec $F(x) = \int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}\,dt$ et $G(x) = \left(\int_0^x e^{-t^2}\,dt\right)^2$ , on montre $F' + G' = 0$ , donc $F + G = \frac{\pi}{4}$ , et l'on obtient $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ .
Sommes de Riemann (niveau terminale-L1) : pour $f$ lipschitzienne de constante $K$ , l'erreur de la méthode des rectangles est majorée par $\frac{K(b-a)^2}{2n}$ ; application à $\lim_{n \to +\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} = \ln 2$ et lien avec l'algorithme des rectangles programmé au lycée.
Intégrale de Dirichlet (niveau L3) : $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2}$ , intégrale semi-convergente, par l'étude de $F(x) = \int_0^{+\infty}e^{-xt}\frac{\sin t}{t}\,dt$ sur $]0 ; +\infty[$ , le calcul $F'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ et une justification soignée de la continuité en 0.

Remarques et questions du jury

Le théorème fondamental demande la continuité de $f$ : pour la fonction $f$ égale à 0 sur $[-1 ; 0[$ et à 1 sur $[0 ; 1]$ , la fonction $x \mapsto \int_{-1}^{x}f$ existe mais n'est pas dérivable en 0.
Une fonction intégrable n'admet pas toujours de primitive : la partie entière est intégrable sur $[0 ; 2]$ mais n'a pas de primitive sur cet intervalle, car une dérivée vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (théorème de Darboux).
Pour dériver sous le signe intégral sur un intervalle non borné, la domination porte sur la dérivée partielle et doit être uniforme sur chaque segment du domaine du paramètre : $|\frac{\partial f}{\partial x}(x, t)| \le g_K(t)$ pour $x \in K$ , avec $g_K$ intégrable.
Distinguez continuité et continuité uniforme : la preuve de l'intégrabilité des fonctions continues sur un segment utilise le théorème de Heine, et $x \mapsto \sin\frac{1}{x}$ est continue sur $]0 ; 1]$ sans y être uniformément continue.
Situer la notion : en terminale, l'intégrale est introduite par l'aire et l'existence des primitives des fonctions continues est admise ; le jury apprécie que le candidat dise précisément ce que la construction de Riemann permet de démontrer.

Exercices corrigés

Exercice 1 Continuité sous l'intégrale sur un segment compact

Palier 1 · découverte

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f : I \times [a, b] \to \mathbb{R}$ continue en $(x, t)$ . Pourquoi la fonction $F(x) = \int_a^b f(x, t)\,dt$ est-elle automatiquement continue sur $I$ sans hypothèse de domination globale supplémentaire ?

Car le domaine d'intégration $[a, b]$ est un segment compact : sur tout compact $K \subset I$ , $K \times [a, b]$ est compact et le théorème de Heine assure la continuité uniforme
Car toute fonction continue en deux variables est dérivable
Car l'intégrale d'une fonction continue est nulle
C'est faux : une domination globale est toujours obligatoire même sur un segment

Un indice

L'hypothèse de domination n'est nécessaire que si le domaine d'intégration n'est pas compact (intervalle infini ou bornes non fermées).

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Bonne réponse : A. Car le domaine d'intégration $[a, b]$ est un segment compact : sur tout compact $K \subset I$ , $K \times [a, b]$ est compact et le théorème de Heine assure la continuité uniforme

Lorsque l'intervalle d'intégration $[a, b]$ est un segment, pour tout compact $K \subset I$ , $f$ est continue sur le produit compact $K \times [a, b]$ . D'après le théorème de Heine, $f$ y est uniformément continue : $\forall \varepsilon > 0,\; \exists \eta > 0$ tel que $|x - x_0| \le \eta \implies |f(x, t) - f(x_0, t)| \le \frac{\varepsilon}{b-a}$ . Par intégration, $|F(x) - F(x_0)| \le \varepsilon$ . La domination n'est donc nécessaire que sur les intervalles d'intégration non compacts.

Exercice 2 Calcul de l'intégrale de Gauss par coordonnées polaires

Palier 2 · application

En considérant l'intégrale double $I^2 = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ , que vaut l'intégrale de Gauss $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}\,dt$ ?

$I = \sqrt{\pi}$
$I = \pi$
$I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
$I = 1$

Un indice

Passer en coordonnées polaires : $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ , avec $r \in [0, +\infty[$ et $\theta \in [0, 2\pi[$ .

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Bonne réponse : A. $I = \sqrt{\pi}$

Par le théorème de Fubini pour les fonctions positives : $I^2 = (\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,dx)(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}\,dy) = \iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ . En passant en coordonnées polaires : $I^2 = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{+\infty} e^{-r^2} r\,dr = 2\pi [-\frac{e^{-r^2}}{2}]_0^{+\infty} = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$ . Comme $e^{-t^2} > 0$ , $I > 0$ , d'où $I = \sqrt{\pi}$ .

Exercice 3 Intégrale de Dirichlet via une intégrale à paramètre

Palier 3 · approfondissement

On pose pour $x > 0$ , $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} e^{-xt}\,dt$ . Sachant que $F'(x) = -\int_0^{+\infty} \sin(t)e^{-xt}\,dt = -\frac{1}{1+x^2}$ et que $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 0$ , que vaut l'intégrale de Dirichlet $I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t}\,dt$ ?

$I = \frac{\pi}{2}$
$I = \pi$
$I = 1$
$I = \frac{\pi}{4}$

Un indice

Intègre $F'$ : $F(x) = C - \arctan(x)$ . Détermine $C$ grâce à la limite en $+\infty$ , puis utilise (en l'admettant) la continuité de $F$ en $0$ : $I = F(0)$ .

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Bonne réponse : A. $I = \frac{\pi}{2}$

On a $F'(x) = -\frac{1}{1+x^2}$ , donc $F(x) = C - \arctan(x)$ sur $]0, +\infty[$ . En faisant tendre $x \to +\infty$ , $0 = C - \frac{\pi}{2}$ , donc $C = \frac{\pi}{2}$ , d'où $F(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x)$ . En justifiant la continuité de $F$ en $0^+$ par convergence uniforme (ou intégration par parties), on obtient $I = \lim_{x \to 0^+} F(x) = \frac{\pi}{2}$ .

Exercice 4 Critère de Lebesgue pour l'intégrabilité selon Riemann

Palier 4 · défi

Soit $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction bornée. D'après le théorème de Lebesgue-Vitali, à quelle condition nécessaire et suffisante $f$ est-elle intégrable au sens de Riemann sur $[a, b]$ ?

L'ensemble des points de discontinuité de f est de mesure de Lebesgue nulle
La fonction f est de classe C1 sur [a, b]
L'ensemble des points de discontinuité de f est dénombrable
La fonction f est monotone sur [a, b]

Un indice

Une fonction monotone peut avoir une infinité dénombrable de discontinuités et rester intégrable, l'indicatrice de l'ensemble de Cantor est discontinue en une infinité non dénombrable de points et reste intégrable, alors que $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ (discontinue partout) ne l'est pas : quelle notion de « petitesse » de l'ensemble des discontinuités départage ces cas ?

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Bonne réponse : A. L'ensemble des points de discontinuité de f est de mesure de Lebesgue nulle

Le critère de Lebesgue-Vitali établit qu'une fonction bornée sur un segment $[a, b]$ est Riemann-intégrable si et seulement si l'ensemble de ses points de discontinuité est de mesure de Lebesgue nulle. Cela inclut toutes les fonctions continues par morceaux, les fonctions réglées, ainsi que des fonctions ayant un ensemble non dénombrable de discontinuités (comme sur l'ensemble triadique de Cantor qui est de mesure nulle).