Variables aléatoires réelles discrètes

Prérequis

Situation dans les programmes : en première, variable aléatoire sur un univers fini, loi, espérance, variance et écart-type ; en terminale spécialité, loi binomiale, somme de variables aléatoires, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, inégalité de concentration et loi faible des grands nombres ; la loi géométrique figure dans l'option mathématiques complémentaires.
Espaces probabilisés : tribu, probabilité, $\sigma$ -additivité, probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, indépendance.
Séries numériques à termes positifs, convergence absolue, sommation par paquets.
Dénombrement : coefficients binomiaux et formule du binôme.

Proposition de plan en trois parties

I. Variables aléatoires discrètes et lois

Sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ , une variable aléatoire discrète est une application $X : \Omega \to \mathbb{R}$ dont l'image $X(\Omega)$ est finie ou dénombrable et telle que $\{X = x\} \in \mathcal{A}$ pour tout $x$ . Sa loi est la famille $(P(X = x))_{x \in X(\Omega)}$ , de somme 1 ; réciproquement, toute famille de réels positifs de somme 1 indexée par une partie dénombrable de $\mathbb{R}$ est la loi d'une variable aléatoire. Fonction de répartition $F_X(t) = P(X \le t)$ : croissante, continue à droite, de limites 0 en $-\infty$ et 1 en $+\infty$ . Couples de variables, lois marginales, indépendance : $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$ pour tous $x, y$ .

II. Espérance, variance et inégalités

$X$ admet une espérance si $\sum |x|P(X = x)$ converge, et alors $E(X) = \sum xP(X = x)$ . Linéarité, positivité, croissance. Théorème de transfert : $g(X)$ admet une espérance si et seulement si $\sum |g(x)|P(X = x)$ converge, et $E(g(X)) = \sum g(x)P(X = x)$ . Variance $V(X) = E\left((X - E(X))^2\right) = E(X^2) - E(X)^2$ , et $V(aX + b) = a^2V(X)$ . Si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une variance, $E(XY) = E(X)E(Y)$ et $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ . Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev.

III. Lois usuelles et loi faible des grands nombres

Loi de Bernoulli $\mathcal{B}(p)$ : espérance $p$ , variance $p(1-p)$ . Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ , loi de la somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p$ : espérance $np$ , variance $np(1-p)$ . Loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ sur $\mathbb{N}^{\ast}$ , rang du premier succès : $P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ , espérance $\frac{1}{p}$ , variance $\frac{1-p}{p^2}$ , absence de mémoire. Loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$ : espérance et variance égales à $\lambda$ . Fonction génératrice $G_X(s) = E(s^X)$ pour $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ . Loi faible des grands nombres pour des variables indépendantes de même loi admettant une variance. Applications : estimation d'une proportion, taille d'échantillon, simulation.

Théorème clé et démonstration

Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev, loi faible des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrète. (i) Si $X$ est à valeurs positives et admet une espérance, alors pour tout $a > 0$ , $P(X \ge a) \le \frac{E(X)}{a}$ . (ii) Si $X$ admet une variance, alors pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|X - E(X)| \ge \varepsilon) \le \frac{V(X)}{\varepsilon^2}$ . (iii) Si $X_1, \dots, X_n$ sont indépendantes, de même loi, d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2$ , et si $M_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$ , alors pour tout $\varepsilon > 0$ , $P(|M_n - m| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ , qui tend vers 0 quand $n \to +\infty$ .

Démonstration

1. Markov. Les valeurs $x$ de $X$ sont positives et la série $\sum xP(X = x)$ converge. En séparant les valeurs $x \ge a$ et $x \lt a$ : $E(X) = \sum_{x \ge a}xP(X = x) + \sum_{x \lt a}xP(X = x) \ge \sum_{x \ge a}xP(X = x)$ , car la seconde somme est positive. Puis $\sum_{x \ge a}xP(X = x) \ge a\sum_{x \ge a}P(X = x) = aP(X \ge a)$ par $\sigma$ -additivité. Donc $P(X \ge a) \le \frac{E(X)}{a}$ .
2. Bienaymé-Tchebychev. La variable $Y = (X - E(X))^2$ est discrète, positive, et admet l'espérance $V(X)$ . Comme $\varepsilon > 0$ , les événements $\{|X - E(X)| \ge \varepsilon\}$ et $\{Y \ge \varepsilon^2\}$ sont égaux. Markov appliqué à $Y$ avec $a = \varepsilon^2$ donne $P(|X - E(X)| \ge \varepsilon) \le \frac{V(X)}{\varepsilon^2}$ .
3. Moments de $M_n$ . Par linéarité, $E(M_n) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}E(X_k) = m$ . Par indépendance, $V(X_1 + \cdots + X_n) = \sum_{k=1}^{n}V(X_k) = n\sigma^2$ , donc $V(M_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}$ .
4. Conclusion. Bienaymé-Tchebychev appliqué à $M_n$ donne $P(|M_n - m| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}$ , majorant qui tend vers 0.

Développements possibles pour l’oral

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson (niveau L1-L2) : si $np_n \to \lambda > 0$ , alors pour tout entier $k$ , $\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k} \to e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ ; preuve par équivalents et par $\ln(1 - p_n) \sim -p_n$ , interprétation comme loi des événements rares.
Caractérisation de la loi géométrique par l'absence de mémoire (niveau L1) : si $X$ est à valeurs dans $\mathbb{N}^{\ast}$ , avec $P(X > k) > 0$ et $P(X > n + k \mid X > n) = P(X > k)$ pour tous $n, k \in \mathbb{N}$ , alors $u_k = P(X > k)$ vérifie $u_{n+k} = u_nu_k$ , donc $u_k = u_1^k$ , et $X$ suit la loi $\mathcal{G}(p)$ avec $p = P(X = 1)$ .
Problème du collectionneur (niveau L1, abordable en terminale) : le nombre $T_n$ de tirages nécessaires pour obtenir les $n$ vignettes est une somme de variables géométriques de paramètres $\frac{n-k}{n}$ , $0 \le k \le n - 1$ , d'où $E(T_n) = n\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \sim n\ln n$ .
Loi faible des grands nombres et estimation (niveau terminale) : à l'aide de Bienaymé-Tchebychev et de $p(1-p) \le \frac{1}{4}$ , déterminer une taille d'échantillon $n$ garantissant $P(|F_n - p| \ge 0{,}05) \le 0{,}05$ , ce qui donne $n \ge 2000$ .

Remarques et questions du jury

Une variable discrète n'admet pas toujours d'espérance : si $P(X = k) = \frac{1}{k(k+1)}$ pour $k \in \mathbb{N}^{\ast}$ , la loi est bien définie (somme télescopique égale à 1), mais $\sum kP(X = k) = \sum \frac{1}{k+1}$ diverge.
La convergence absolue est exigée dans la définition de l'espérance pour que la somme ne dépende pas de l'ordre d'énumération de $X(\Omega)$ , en lien avec le théorème de réarrangement de Riemann.
L'additivité de la variance demande l'indépendance (la non-corrélation suffit) : pour $Y = -X$ , $V(X + Y) = 0$ alors que $V(X) + V(Y) = 2V(X)$ .
L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev est souvent grossière : pour $X$ de loi $\mathcal{B}(100, \frac{1}{2})$ , elle donne $P(|X - 50| \ge 10) \le 0{,}25$ alors que la valeur exacte est environ $0{,}057$ . Le jury attend que l'on sache commenter cet écart.
Situer la notion : au lycée, les variables sont définies sur un univers fini et la loi est donnée par un tableau ; le passage au dénombrable, avec les lois géométrique et de Poisson, est ce qui rend nécessaires les séries et la convergence absolue.

Exercices corrigés

Exercice 1 Propriété d'absence de mémoire de la loi géométrique

Palier 1 · découverte

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ . Quelle loi discrète est l'unique loi vérifiant la propriété d'absence de mémoire : $\forall (n, k) \in (\mathbb{N}^*)^2,\; P(X > n+k \mid X > n) = P(X > k)$ ?

La loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$
La loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$
La loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$
La loi uniforme discrète

Un indice

L'équation fonctionnelle $g(n+k) = g(n)g(k)$ pour $g(n) = P(X > n)$ conduit à $g(n) = q^n$ avec $q = 1-p$ .

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Bonne réponse : A. La loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$

Posons $g(n) = P(X > n)$ . La relation conditionnelle s'écrit $\frac{P(X > n+k)}{P(X > n)} = P(X > k)$ , soit $g(n+k) = g(n)g(k)$ . Sur $\mathbb{N}^*$ , l'unique solution décroissante vérifiant $g(0)=1$ est $g(n) = q^n$ avec $q = g(1) \in ]0, 1[$ . Alors $P(X = k) = P(X > k-1) - P(X > k) = q^{k-1}(1-q) = p(1-p)^{k-1}$ , ce qui caractérise la loi géométrique $\mathcal{G}(p)$ .

Exercice 2 Fonction génératrice d'une variable de Poisson

Palier 2 · application

Soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ une variable suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda > 0$ . Quelle est l'expression de sa fonction génératrice $G_X(t) = \mathbb{E}(t^X)$ pour tout $t \in \mathbb{R}$ ?

$G_X(t) = e^{\lambda(t - 1)}$
$G_X(t) = \frac{\lambda}{1 - t}$
$G_X(t) = (1 - p + pt)^n$
$G_X(t) = e^{\lambda t}$

Un indice

Écrire $\mathbb{E}(t^X) = \sum_{k=0}^{+\infty} t^k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $G_X(t) = e^{\lambda(t - 1)}$

Par définition : $G_X(t) = \sum_{k=0}^{+\infty} t^k P(X = k) = \sum_{k=0}^{+\infty} t^k e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(\lambda t)^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda t} = e^{\lambda(t-1)}$ . On vérifie immédiatement $G_X'(1) = \lambda = \mathbb{E}(X)$ et $G_X''(1) + G_X'(1) - (G_X'(1))^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda = \mathbb{V}(X)$ .

Exercice 3 Problème du collectionneur de vignettes (Coupon Collector)

Palier 3 · approfondissement

Un collectionneur cherche à obtenir $n$ vignettes distinctes. À chaque paquet acheté, la vignette obtenue est choisie uniformément parmi les $n$ vignettes, indépendamment des tirages précédents. Quel est le nombre moyen $E(T_n)$ de paquets nécessaires pour compléter la collection ?

$E(T_n) = n H_n = n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim n \ln(n)$
$E(T_n) = n^2$
$E(T_n) = \frac{n(n+1)}{2}$
$E(T_n) = n \ln(2)$

Un indice

Décomposer le temps total en somme de temps d'attente $T_n = \sum_{k=1}^n X_k$ où $X_k$ est le nombre d'achats pour trouver une $k$ -ième nouvelle vignette sachant qu'on en a déjà $k-1$ .

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Bonne réponse : A. $E(T_n) = n H_n = n \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \sim n \ln(n)$

Soit $X_k$ le temps pour obtenir la $k$ -ième vignette différente. Lorsqu'on possède $k-1$ vignettes, la probabilité d'en tirer une nouvelle est $p_k = \frac{n - (k-1)}{n}$ . $X_k$ suit donc une loi géométrique $\mathcal{G}(p_k)$ sur $\mathbb{N}^*$ , d'espérance $E(X_k) = \frac{1}{p_k} = \frac{n}{n - k + 1}$ . Par linéarité de l'espérance : $E(T_n) = \sum_{k=1}^n E(X_k) = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n - k + 1} = n \sum_{j=1}^n \frac{1}{j} = n H_n \sim n \ln(n)$ .

Exercice 4 Loi faible des grands nombres pour variables non corrélées

Palier 4 · défi

Soit $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite de variables aléatoires deux à deux non corrélées, de même espérance $\mu$ et dont les variances sont uniformément majorées : $\forall n,\; V(X_n) \le M < +\infty$ . Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur la moyenne empirique $\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ ?

$P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{M}{n \varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ (convergence en probabilité)
$P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) = 0$ pour tout $n \ge 100$
La moyenne empirique ne converge que si les variables sont indépendantes et identiquement distribuées
La variance de $\bar{X}_n$ vaut $M$

Un indice

Calculer la variance de la moyenne : comme les variables sont non corrélées, $\mathbb{V}(\sum X_i) = \sum \mathbb{V}(X_i) \le n M$ , d'où $\mathbb{V}(\bar{X}_n) \le \frac{M}{n}$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{M}{n \varepsilon^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$ (convergence en probabilité)

Par linéarité de l'espérance, $E(\bar{X}_n) = \mu$ . Comme les variables sont non corrélées, la covariance croisée s'annule, donc $V(\bar{X}_n) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n V(X_i) \le \frac{nM}{n^2} = \frac{M}{n}$ . D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $\forall \varepsilon > 0,\; P(|\bar{X}_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{V(\bar{X}_n)}{\varepsilon^2} \le \frac{M}{n \varepsilon^2}$ . Quand $n \to +\infty$ , cette borne tend vers 0, ce qui prouve la loi faible des grands nombres.