Probabilités conditionnelles et indépendance

Prérequis

Niveaux concernés et situation dans les programmes : en seconde, modélisation d'une expérience aléatoire, loi de probabilité sur un ensemble fini, probabilité d'une réunion, tableaux croisés d'effectifs et fréquences conditionnelles ; en première spécialité, probabilité conditionnelle $P_A(B)$ , arbres pondérés, formule des probabilités totales, indépendance de deux événements, succession de deux épreuves indépendantes ; en terminale spécialité, succession d'épreuves indépendantes, schéma de Bernoulli et loi binomiale. Les programmes de seconde et de première mis à jour (BO n° 14 du 2 avril 2026) conservent ces notions ; le candidat vérifiera le placement exact de chaque item dans les textes en vigueur.
Plan de leçon possible : I. Probabilité conditionnelle ; II. Arbres pondérés et formule des probabilités totales, formule de Bayes ; III. Indépendance et répétition d'épreuves. Le développement peut être la formule des probabilités totales et la formule de Bayes (théorème clé), l'étude d'un test de dépistage, ou la stabilité de l'indépendance par passage au complémentaire.
Prérequis des élèves : calcul de probabilités sur un univers fini, équiprobabilité, événements contraires, réunion et intersection, tableaux croisés d'effectifs, calcul fractionnaire et pourcentages.
Recul attendu du candidat : $P_A$ est une probabilité sur $\Omega$ ; partition (système complet d'événements) ; distinction entre indépendance deux à deux et indépendance mutuelle ; indépendance de variables aléatoires ; lien entre fréquences conditionnelles d'un tableau croisé et probabilités conditionnelles ; paradoxes classiques (faux positifs, paradoxe de Simpson).

Proposition de plan en trois parties

I. Probabilité conditionnelle

Soit $(\Omega, P)$ un univers fini muni d'une probabilité et $A$ un événement tel que $P(A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ . Motivation : dans un tableau croisé d'effectifs, la fréquence de $B$ parmi les individus vérifiant $A$ est $\frac{n(A \cap B)}{n(A)}$ ; en situation d'équiprobabilité, $P_A(B) = \frac{\mathrm{card}(A \cap B)}{\mathrm{card}(A)}$ , c'est-à-dire que l'on restreint l'univers à $A$ . Propriétés : $P_A$ est une probabilité ( $P_A(\Omega) = 1$ , additivité pour des événements incompatibles), donc $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)$ . Formule des probabilités composées : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ . Exemple : on tire successivement sans remise deux boules d'une urne contenant 3 rouges et 2 vertes ; la probabilité d'obtenir deux rouges vaut $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ . Contre-exemple : en général $P_A(B) \neq P_B(A)$ ; la probabilité qu'une personne soit malade sachant que son test est positif n'est pas celle d'un test positif sachant la personne malade.

II. Arbres pondérés, probabilités totales et formule de Bayes

Des événements $A_1, \dots, A_n$ de probabilités non nulles forment une partition de $\Omega$ s'ils sont deux à deux incompatibles et de réunion $\Omega$ ; le cas le plus fréquent est $\{A, \bar{A}\}$ . Règles de l'arbre pondéré : la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1 ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches (probabilités composées) ; la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent. Formule des probabilités totales : $P(B) = \sum_{k=1}^{n}P(A_k)P_{A_k}(B)$ , en particulier $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$ (démonstration exigible). Formule de Bayes (« inversion du conditionnement ») : si $P(B) \neq 0$ , $P_B(A) = \frac{P(A)P_A(B)}{P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)}$ . Exemple : une maladie touche 1 % d'une population ; un test est positif chez 99 % des malades et chez 2 % des personnes saines. Alors $P(T) = 0{,}01 \times 0{,}99 + 0{,}99 \times 0{,}02 = 0{,}0297$ et $P_T(M) = \frac{0{,}0099}{0{,}0297} = \frac{1}{3}$ : deux tiers des tests positifs sont des faux positifs. Contre-exemple : les événements de l'arbre doivent former une partition ; « être fumeur » et « avoir plus de 50 ans » ne permettent pas d'appliquer la formule.

III. Indépendance et répétition d'épreuves

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ . Lorsque $P(A) \neq 0$ , cela équivaut à $P_A(B) = P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne modifie pas la probabilité de $B$ . Propriété (démonstration exigible) : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$ le sont, ainsi que $A$ et $\bar{B}$ , et $\bar{A}$ et $\bar{B}$ . L'indépendance dépend de la probabilité choisie, et non seulement des événements : c'est une hypothèse de modélisation (épreuves physiquement sans influence l'une sur l'autre) ou une propriété à vérifier par le calcul. Succession de deux épreuves indépendantes : l'univers est un produit cartésien et la probabilité d'un couple d'issues est le produit des probabilités ; on la représente par un arbre dont les pondérations ne dépendent pas de la première issue, ou par un tableau à double entrée. Généralisation en terminale : répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, loi binomiale ; probabilité d'au moins un succès : $1 - (1 - p)^n$ . Exemple : on lance un dé équilibré ; $A$ : « résultat pair », $B$ : « résultat inférieur ou égal à 2 » ; $P(A \cap B) = \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3}$ , les événements sont indépendants. Contre-exemple : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque $P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)$ .

Théorème clé et démonstration

Formule des probabilités totales et formule de Bayes

Soit $A_1, \dots, A_n$ une partition de $\Omega$ formée d'événements de probabilités non nulles, et $B$ un événement. Alors $P(B) = \sum_{k=1}^{n}P(A_k)P_{A_k}(B)$ . Si de plus $P(B) \neq 0$ , alors pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$ , $P_B(A_j) = \frac{P(A_j)P_{A_j}(B)}{\sum_{k=1}^{n}P(A_k)P_{A_k}(B)}$ .

Démonstration

1. Décomposition de $B$ . Comme $A_1 \cup \dots \cup A_n = \Omega$ , on a $B = B \cap \Omega = (B \cap A_1) \cup \dots \cup (B \cap A_n)$ par distributivité de l'intersection sur la réunion.
2. Incompatibilité. Pour $k \neq l$ , $(B \cap A_k) \cap (B \cap A_l) \subset A_k \cap A_l = \varnothing$ : les événements $B \cap A_k$ sont deux à deux incompatibles.
3. Additivité. La probabilité d'une réunion d'événements deux à deux incompatibles est la somme des probabilités, donc $P(B) = \sum_{k=1}^{n}P(B \cap A_k)$ .
4. Probabilités composées. Comme $P(A_k) \neq 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle donne $P(B \cap A_k) = P(A_k)P_{A_k}(B)$ , d'où la formule des probabilités totales.
5. Formule de Bayes. Si $P(B) \neq 0$ , par définition $P_B(A_j) = \frac{P(A_j \cap B)}{P(B)}$ . Le numérateur vaut $P(A_j)P_{A_j}(B)$ (point 4) et le dénominateur est donné par la formule des probabilités totales.
6. Lecture sur l'arbre. Le point 4 est la règle du produit le long d'un chemin, le point 3 la règle de la somme des chemins menant à $B$ : la preuve justifie les règles de l'arbre pondéré, qu'il ne faut pas présenter comme des axiomes.

Développements possibles pour l’oral

Exercice de première (tableau croisé) : dans un lycée de 800 élèves, 480 sont demi-pensionnaires, dont 300 en seconde ; il y a 450 élèves de seconde. On choisit un élève au hasard. Calculer la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire sachant qu'il est en seconde, puis qu'il soit en seconde sachant qu'il est demi-pensionnaire. Corrigé : $P_S(D) = \frac{300}{450} = \frac{2}{3}$ et $P_D(S) = \frac{300}{480} = \frac{5}{8}$ . Les deux nombres diffèrent : on ne divise pas par le même effectif.
Exercice de première (arbre et probabilités totales) : un atelier produit 60 % de ses pièces sur la machine $M_1$ et 40 % sur $M_2$ ; les taux de pièces défectueuses sont 3 % et 5 %. Quelle est la probabilité qu'une pièce soit défectueuse ? Sachant qu'elle est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle vienne de $M_2$ ? Corrigé : $P(D) = 0{,}6 \times 0{,}03 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}038$ et $P_D(M_2) = \frac{0{,}02}{0{,}038} = \frac{10}{19} \approx 0{,}53$ .
Exercice de première (indépendance) : on tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Les événements $A$ : « la carte est un cœur » et $B$ : « la carte est un as » sont-ils indépendants ? Même question après avoir ajouté un joker au jeu. Corrigé : avec 32 cartes, $P(A \cap B) = \frac{1}{32} = \frac{8}{32} \times \frac{4}{32}$ : indépendants. Avec 33 cartes, $P(A \cap B) = \frac{1}{33}$ alors que $P(A)P(B) = \frac{32}{1089} \neq \frac{1}{33} = \frac{33}{1089}$ : ils ne le sont plus. L'indépendance dépend de la probabilité.
Exercice de terminale (au moins un succès) : un archer atteint sa cible avec probabilité $0{,}3$ à chaque tir, les tirs étant indépendants. Combien de tirs faut-il au minimum pour que la probabilité d'atteindre au moins une fois la cible dépasse $0{,}99$ ? Corrigé : la probabilité cherchée est $1 - 0{,}7^n$ et $1 - 0{,}7^n \ge 0{,}99 \iff 0{,}7^n \le 0{,}01 \iff n \ge \frac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}7} \approx 12{,}9$ (le logarithme de $0{,}7$ est négatif, ce qui renverse l'inégalité) : il faut au moins 13 tirs.
Prolongements : indépendance mutuelle de $n$ événements et contre-exemple d'événements deux à deux indépendants mais non mutuellement indépendants (deux lancers de pièce, « pile au premier », « pile au second », « résultats identiques ») ; chaînes de Markov à deux états et suites arithmético-géométriques ; paradoxe de Simpson ; problème de Monty Hall ; probabilités conditionnelles pour une variable aléatoire et loi géométrique « sans mémoire ».

Remarques et questions du jury

Erreur fréquente d'élève : confondre $P_A(B)$ et $P(A \cap B)$ , en particulier lire sur une branche de second niveau la probabilité de l'intersection. La phrase « parmi les ... » ou « sachant que ... » doit signaler le conditionnement.
Erreur fréquente d'élève : confondre incompatibles et indépendants. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles sont au contraire très dépendants : la réalisation de l'un empêche celle de l'autre.
Erreur fréquente d'élève : inverser le conditionnement ( $P_A(B)$ au lieu de $P_B(A)$ ), ce qui conduit à croire qu'un test fiable à 99 % donne un diagnostic sûr à 99 %. L'exemple du dépistage d'une maladie rare est un bon support pour discuter de la formule de Bayes et du rôle de la prévalence.
Erreur fréquente d'élève : additionner les probabilités pour « au moins un succès » ( $n \times p$ , qui peut dépasser 1) au lieu de passer à l'événement contraire « aucun succès ».
Le jury attend que le candidat distingue l'indépendance comme hypothèse de modélisation (tirages avec remise, lancers successifs) et comme propriété démontrée par le calcul ; il apprécie qu'on justifie les règles des arbres pondérés plutôt qu'on les présente comme des recettes.
Question fréquente : $P_A$ est-elle une probabilité ? Le candidat doit savoir le démontrer ( $P_A(\Omega) = 1$ et additivité) et en déduire les règles de calcul, notamment $P_A(\bar{B}) = 1 - P_A(B)$ , qui justifie la somme des branches issues d'un nœud.

Exercices corrigés

Exercice 1 Définition de la probabilité conditionnelle

Palier 1 · découverte

On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}1$ . Quelle est la valeur de $P_A(B)$ ?

$0{,}25$
$0{,}04$
$0{,}1$
$0{,}5$

Un indice

Une probabilité conditionnelle est un quotient : on divise la probabilité de l'intersection par celle de l'événement par lequel on conditionne.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $0{,}25$

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0{,}1}{0{,}4} = 0{,}25$ . Le produit $0{,}4 \times 0{,}1 = 0{,}04$ et la valeur $0{,}1$ confondent la probabilité conditionnelle avec celle de l'intersection.

Exercice 2 Formule des probabilités totales

Palier 2 · application

On donne $P(A) = 0{,}3$ , $P_A(B) = 0{,}6$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2$ . Quelle est la valeur de $P(B)$ ?

$0{,}32$
$0{,}8$
$0{,}4$
$0{,}18$

Un indice

Utiliser la partition formée par $A$ et son contraire, puis sommer les probabilités des deux chemins de l'arbre qui mènent à $B$ .

Voir la correction

Bonne réponse : A. $0{,}32$

$P(\bar{A}) = 0{,}7$ et, par la formule des probabilités totales, $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B) = 0{,}3 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}14 = 0{,}32$ . La valeur $0{,}8$ additionne des probabilités conditionnelles ; $0{,}4$ en fait la moyenne sans pondération ; $0{,}18$ oublie le second chemin.

Exercice 3 Test de dépistage et formule de Bayes

Palier 3 · approfondissement

Une maladie touche 2 % d'une population. Un test est positif chez 95 % des malades et chez 5 % des personnes saines. Une personne a un test positif. Quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu'elle soit malade ?

$0{,}28$
$0{,}95$
$0{,}02$
$0{,}5$

Un indice

Construire l'arbre (malade ou non, puis test positif ou non), calculer la probabilité d'un test positif, puis inverser le conditionnement.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $0{,}28$

$P(T) = 0{,}02 \times 0{,}95 + 0{,}98 \times 0{,}05 = 0{,}019 + 0{,}049 = 0{,}068$ , puis $P_T(M) = \frac{0{,}019}{0{,}068} = \frac{19}{68} \approx 0{,}28$ . Bien que le test soit fiable, près des trois quarts des tests positifs concernent des personnes saines, car la maladie est rare. La réponse $0{,}95$ confond $P_T(M)$ et $P_M(T)$ .

Exercice 4 Indépendance et événement contraire

Palier 4 · défi

$A$ et $B$ sont deux événements indépendants avec $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}4$ . Quelle est la probabilité de $A \cup B$ ?

$0{,}7$
$0{,}9$
$0{,}2$
$0{,}3$

Un indice

Exprimer la probabilité de la réunion à l'aide de celle de l'intersection, ou passer à l'événement contraire en utilisant l'indépendance des contraires.

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Bonne réponse : A. $0{,}7$

Par indépendance, $P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2$ , donc $P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7$ . Autre méthode : $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants, donc $P(\overline{A \cup B}) = P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}3$ et $P(A \cup B) = 0{,}7$ . La valeur $0{,}9$ suppose les événements incompatibles, ce qui contredit l'indépendance.