Statistique descriptive à une et deux…

Prérequis

Niveaux concernés et situation dans les programmes : au collège, recueil et représentation de données, fréquences, moyenne, médiane et étendue ; en seconde, moyenne pondérée, linéarité de la moyenne, écart type, quartiles et écart interquartile, avec l'outil numérique (tableur, programmation) ; en première, en spécialité comme dans l'enseignement scientifique ou les mathématiques du tronc commun selon les séries, tableaux croisés, séries à deux variables et nuages de points ; en terminale, ajustement affine selon les options (mathématiques complémentaires, voie technologique). Les programmes de seconde et de première mis à jour (BO n° 14 du 2 avril 2026) maintiennent cette progression ; le candidat vérifiera dans les textes en vigueur le niveau exact de chaque notion, notamment l'ajustement par moindres carrés.
Plan de leçon possible : I. Séries à une variable et indicateurs de position ; II. Indicateurs de dispersion ; III. Séries à deux variables et ajustement affine. Le développement peut être la propriété de minimisation de la moyenne (théorème clé, $\sum(x_i - a)^2$ minimal en $a = \bar{x}$ ), la détermination de la droite des moindres carrés, ou l'étude de l'effet d'une transformation affine sur les indicateurs.
Prérequis des élèves : calcul de fréquences et de pourcentages, fonctions affines et polynômes du second degré (pour la minimisation), symbole $\sum$ , utilisation d'un tableur ou d'une calculatrice.
Recul attendu du candidat : lien entre statistique descriptive et variables aléatoires (espérance, variance, inégalité de Bienaymé-Tchebychev), robustesse de la médiane, interprétation de la variance comme carré d'une distance, droite de régression comme projection orthogonale, coefficient de corrélation et inégalité de Cauchy-Schwarz, corrélation et causalité.

Proposition de plan en trois parties

I. Séries à une variable : indicateurs de position

Une série statistique quantitative est donnée par des valeurs $x_1, \dots, x_p$ et des effectifs $n_1, \dots, n_p$ , d'effectif total $N = \sum n_i$ , ou par les fréquences $f_i = \frac{n_i}{N}$ . Moyenne : $\bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_ix_i = \sum_{i=1}^{p}f_ix_i$ . Linéarité (démonstration exigible) : si $y_i = ax_i + b$ , alors $\bar{y} = a\bar{x} + b$ ; la moyenne d'une réunion de deux séries est la moyenne des moyennes pondérée par les effectifs. Médiane : valeur $Me$ telle qu'au moins la moitié des valeurs soient inférieures ou égales à $Me$ et au moins la moitié supérieures ou égales ; pour une série ordonnée de $N$ valeurs, c'est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ si $N$ est impair, et par convention la demi-somme des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ si $N$ est pair. Exemple : pour la série $2, 3, 3, 5, 7, 22$ , $\bar{x} = 7$ et $Me = 4$ . Contre-exemple : la médiane n'est pas linéaire vis-à-vis de la réunion de séries, et la moyenne n'est pas robuste : une seule valeur extrême ( $22$ ) suffit à la rendre supérieure à quatre des six valeurs.

II. Indicateurs de dispersion

Étendue : différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Quartiles : $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales, $Q_3$ la plus petite telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales ; écart interquartile $Q_3 - Q_1$ ; diagramme en boîte. Variance : $V = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_i(x_i - \bar{x})^2$ , écart type $\sigma = \sqrt{V}$ , exprimé dans l'unité des données. Formule de König-Huygens : $V = \frac{1}{N}\sum n_ix_i^2 - \bar{x}^2$ (démonstration exigible : développer le carré et utiliser $\sum n_i(x_i - \bar{x}) = 0$ ). Transformation affine : si $y_i = ax_i + b$ , alors $V_y = a^2V_x$ et $\sigma_y = |a|\sigma_x$ ; une translation ne modifie pas la dispersion. Propriété de minimisation : la fonction $a \mapsto \frac{1}{N}\sum n_i(x_i - a)^2$ atteint son minimum, égal à $V$ , en $a = \bar{x}$ . Exemple : la série $4, 8, 9, 11$ a pour moyenne $8$ , pour variance $\frac{16 + 0 + 1 + 9}{4} = 6{,}5$ et pour écart type $\sqrt{6{,}5} \approx 2{,}55$ . Contre-exemple : deux séries de même moyenne et de même étendue peuvent avoir des écarts types différents ( $0, 5, 5, 5, 10$ et $0, 0, 5, 10, 10$ , d'écarts types $\sqrt{10}$ et $\sqrt{20}$ ).

III. Séries à deux variables et ajustement affine

Une série à deux variables est une liste de couples $(x_i ; y_i)$ , $1 \le i \le n$ , représentée par un nuage de points dans un repère ; le point moyen est $G(\bar{x} ; \bar{y})$ . Covariance : $\mathrm{cov}(x, y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = \frac{1}{n}\sum x_iy_i - \bar{x}\,\bar{y}$ . Lorsque le nuage a une forme allongée, on peut chercher une droite d'ajustement $y = ax + b$ . Méthode des moindres carrés : on minimise la somme $S(a, b) = \sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2$ des carrés des écarts verticaux ; si $V_x \neq 0$ , le minimum est atteint pour $a = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{V_x}$ et $b = \bar{y} - a\bar{x}$ ; la droite passe par le point moyen. Le coefficient de corrélation linéaire $r = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{\sigma_x\sigma_y}$ vérifie $-1 \le r \le 1$ , et $|r| = 1$ si et seulement si les points sont alignés. L'ajustement permet d'interpoler ou d'extrapoler, avec prudence. Changement de variable : un nuage d'allure exponentielle se traite en ajustant $z = \ln y$ en fonction de $x$ . Exemple : pour les points $(1 ; 2)$ , $(2 ; 3)$ , $(3 ; 5)$ , $(4 ; 6)$ , on trouve $G(2{,}5 ; 4)$ , $\mathrm{cov} = 1{,}75$ , $V_x = 1{,}25$ , donc $y = 1{,}4x + 0{,}5$ . Contre-exemple : une forte corrélation n'implique pas un lien de causalité (deux grandeurs qui augmentent avec le temps sont corrélées sans dépendre l'une de l'autre), et $r = 0$ n'exclut pas une liaison non affine (points d'une parabole symétrique).

Théorème clé et démonstration

La moyenne minimise l'écart quadratique ; formule de König-Huygens

Soit $x_1, \dots, x_n$ une série de moyenne $\bar{x}$ et de variance $V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ . Pour tout réel $a$ , on pose $f(a) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - a)^2$ . Alors, pour tout réel $a$ , $f(a) = V + (a - \bar{x})^2$ . En particulier, $f$ atteint son minimum en $a = \bar{x}$ et uniquement en ce point, ce minimum vaut $V$ , et $V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 - \bar{x}^2$ .

Démonstration

1. Somme des écarts à la moyenne. $\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar{x} = n\bar{x} - n\bar{x} = 0$ .
2. Décomposition. Pour tout $i$ , $x_i - a = (x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a)$ , donc $(x_i - a)^2 = (x_i - \bar{x})^2 + 2(\bar{x} - a)(x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a)^2$ .
3. Sommation. En sommant et en divisant par $n$ , $f(a) = V + \frac{2(\bar{x} - a)}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) + (\bar{x} - a)^2 = V + (a - \bar{x})^2$ , d'après le point 1.
4. Minimum. Comme $(a - \bar{x})^2 \ge 0$ , avec égalité si et seulement si $a = \bar{x}$ , on a $f(a) \ge V = f(\bar{x})$ pour tout $a$ , avec égalité seulement en $\bar{x}$ .
5. Formule de König-Huygens. Pour $a = 0$ , le point 3 donne $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^2 = V + \bar{x}^2$ .
6. Autre lecture. $f(a) = a^2 - 2\bar{x}a + \frac{1}{n}\sum x_i^2$ est un trinôme du second degré de coefficient dominant positif, minimal en $-\frac{-2\bar{x}}{2} = \bar{x}$ : la preuve est accessible en première. Le même calcul, mené à $a$ fixé pour minimiser en $b$ , montre que la droite des moindres carrés passe par le point moyen.

Développements possibles pour l’oral

Exercice de seconde (moyenne et transformation affine) : les notes d'un devoir, sur 20, ont pour moyenne $9{,}5$ et pour écart type $3$ . Le professeur décide de multiplier toutes les notes par $1{,}1$ puis d'ajouter $1$ point. Quelles sont la nouvelle moyenne et le nouvel écart type ? Corrigé : par linéarité, la moyenne devient $1{,}1 \times 9{,}5 + 1 = 11{,}45$ ; l'écart type est multiplié par $1{,}1$ et n'est pas modifié par l'ajout d'une constante : il vaut $3{,}3$ .
Exercice de seconde (moyenne d'une réunion) : dans une classe, les 12 garçons ont une moyenne de $11$ et les 18 filles une moyenne de $13$ . Quelle est la moyenne de la classe ? Corrigé : $\frac{12 \times 11 + 18 \times 13}{30} = \frac{132 + 234}{30} = 12{,}2$ , et non $12$ : la moyenne des moyennes doit être pondérée par les effectifs.
Exercice de seconde (médiane et quartiles) : on considère la série des 11 valeurs ordonnées $3, 5, 6, 6, 8, 9, 10, 12, 12, 15, 30$ . Déterminer la médiane, les quartiles et l'écart interquartile. Que deviennent la moyenne et la médiane si l'on remplace $30$ par $16$ ? Corrigé : $Me$ est la 6e valeur, $9$ ; $Q_1$ est la 3e valeur ( $\frac{11}{4} = 2{,}75$ , arrondi à 3), soit $6$ ; $Q_3$ est la 9e valeur ( $\frac{33}{4} = 8{,}25$ , arrondi à 9), soit $12$ ; l'écart interquartile vaut $6$ . La moyenne passe de $\frac{116}{11} \approx 10{,}5$ à $\frac{102}{11} \approx 9{,}3$ , la médiane reste égale à $9$ : elle est robuste.
Exercice de terminale (ajustement après changement de variable) : un capital placé évolue ainsi : année $x$ = 0, 1, 2, 3 ; valeur $y$ = 1000, 1100, 1210, 1331. On pose $z = \ln y$ . Montrer que les points $(x ; z)$ sont alignés et en déduire une expression de $y$ . Corrigé : $\frac{y_{k+1}}{y_k} = 1{,}1$ pour chaque $k$ , donc $z_{k+1} - z_k = \ln 1{,}1$ : les points sont alignés sur la droite $z = \ln 1000 + x\ln 1{,}1$ , ce qui donne $y = 1000 \times 1{,}1^x$ (évolution à taux constant de 10 %).
Prolongements : interprétation géométrique de la droite des moindres carrés comme projection orthogonale dans $\mathbb{R}^n$ ; inégalité de Cauchy-Schwarz et encadrement $-1 \le r \le 1$ ; ajustement de $x$ en $y$ et comparaison des deux droites ; échantillonnage, loi des grands nombres et intervalle de fluctuation ; régression non linéaire par changement de variable ; paradoxe de Simpson sur des moyennes pondérées.

Remarques et questions du jury

Erreur fréquente d'élève : calculer la moyenne d'une série regroupée sans pondérer par les effectifs, ou calculer « la moyenne des moyennes » de deux groupes d'effectifs différents.
Erreur fréquente d'élève : donner pour médiane la valeur centrale de la série non ordonnée, ou la valeur de la colonne centrale du tableau d'effectifs ; il faut ordonner les valeurs et utiliser les effectifs cumulés croissants.
Erreur fréquente d'élève : croire que l'écart type est modifié par une translation des valeurs, ou qu'il est multiplié par $a$ (et non $|a|$ ) dans une transformation $y = ax + b$ ; confondre aussi variance et écart type dans l'interprétation (l'unité de la variance est le carré de celle des données).
Erreur fréquente d'élève : extrapoler loin du domaine des données à l'aide d'une droite d'ajustement, ou conclure à une relation de cause à effet à partir d'une corrélation.
Le jury attend que le candidat fixe des définitions précises des quartiles et de la médiane (il existe plusieurs conventions, notamment entre la calculatrice et le tableur) et qu'il les applique de manière cohérente.
Question fréquente : pourquoi des carrés et non des valeurs absolues ? Le candidat peut répondre que la somme $\sum|x_i - a|$ est minimale en une médiane, alors que la somme des carrés est minimale en la moyenne, et que le carré se prête au calcul (trinôme, dérivation, géométrie euclidienne).

Exercices corrigés

Exercice 1 Moyenne pondérée

Palier 1 · découverte

Dans une série, la valeur $10$ a l'effectif $3$ et la valeur $15$ a l'effectif $2$ . Quelle est la moyenne de la série ?

$12$
$12{,}5$
$13$
$25$

Un indice

Multiplier chaque valeur par son effectif, additionner, puis diviser par l'effectif total.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $12$

$\bar{x} = \frac{3 \times 10 + 2 \times 15}{3 + 2} = \frac{60}{5} = 12$ . La valeur $12{,}5$ est la moyenne des deux valeurs sans tenir compte des effectifs.

Exercice 2 Médiane d'une série d'effectif pair

Palier 2 · application

Quelle est la médiane de la série $8, 3, 12, 5, 9, 14$ ?

$8{,}5$
$12$
$5$
$9$

Un indice

Commencer par ranger les valeurs dans l'ordre croissant ; l'effectif est pair.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $8{,}5$

La série ordonnée est $3, 5, 8, 9, 12, 14$ . L'effectif $6$ est pair : la médiane est la demi-somme des 3e et 4e valeurs, $\frac{8 + 9}{2} = 8{,}5$ . Les réponses $12$ ou $5$ proviennent de la lecture des valeurs centrales de la série non ordonnée.

Exercice 3 Écart type et transformation affine

Palier 3 · approfondissement

Une série a pour moyenne $20$ et pour écart type $4$ . On transforme chaque valeur $x$ en $y = -3x + 5$ . Quel est l'écart type de la nouvelle série ?

$12$
$-12$
$-7$
$36$

Un indice

Une translation ne modifie pas la dispersion ; seul le coefficient multiplicateur intervient, et un écart type est toujours positif.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $12$

$V_y = (-3)^2V_x = 9 \times 16 = 144$ , donc $\sigma_y = |-3| \times 4 = 12$ . Un écart type ne peut pas être négatif ; la valeur $-7$ applique la transformation à l'écart type comme à une valeur ; $36$ multiplie l'écart type par $a^2$ , ce qui vaut pour la variance. La nouvelle moyenne est $-3 \times 20 + 5 = -55$ .

Exercice 4 Droite des moindres carrés

Palier 4 · défi

Pour une série à deux variables, on a $\bar{x} = 4$ , $\bar{y} = 10$ , $V_x = 2{,}5$ et $\mathrm{cov}(x, y) = 5$ . Quelle est l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ?

$y = 2x + 2$
$y = 0{,}5x + 8$
$y = 2x + 10$
$y = 2{,}5x$

Un indice

Le coefficient directeur est le quotient de la covariance par la variance de $x$ , et la droite passe par le point moyen.

Voir la correction

Bonne réponse : A. $y = 2x + 2$

$a = \frac{\mathrm{cov}(x, y)}{V_x} = \frac{5}{2{,}5} = 2$ et $b = \bar{y} - a\bar{x} = 10 - 8 = 2$ , donc $y = 2x + 2$ . On vérifie que le point moyen $G(4 ; 10)$ appartient à la droite. La réponse $y = 0{,}5x + 8$ inverse le quotient ; $y = 2x + 10$ ne passe pas par $G$ .