Cours et exercices corrigés de L1 : Espaces vectoriels, sous-espaces et bases en dimension finie

1. Définition d'un K-espace vectoriel

Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Un $\mathbb{K}$-espace vectoriel est un ensemble $E$ muni d'une addition et d'une multiplication externe $\mathbb{K} \times E \to E$ telles que :

• $(E, +)$ est un groupe commutatif (associativité, neutre $0_E$, opposés, commutativité) ;
• pour $\lambda, \mu \in \mathbb{K}$ et $u, v \in E$ : $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$, $(\lambda + \mu)u = \lambda u + \mu u$, $(\lambda\mu)u = \lambda(\mu u)$, $1 \cdot u = u$.
• Conséquences : $0 \cdot u = 0_E$, $\lambda \cdot 0_E = 0_E$, $(-1)u = -u$, et $\lambda u = 0_E \iff (\lambda = 0 \text{ ou } u = 0_E)$.
• Exemples : $\mathbb{K}^n$, $\mathbb{K}[X]$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, l'ensemble $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, l'ensemble des suites réelles.

2. Sous-espaces vectoriels, intersection et réunion

$F \subset E$ est un sous-espace vectoriel si $0_E \in F$ et $\forall u, v \in F,\ \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K},\ \lambda u + \mu v \in F$.

• $\mathrm{Vect}(v_1, \dots, v_p) = \{\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_p v_p \mid \lambda_i \in \mathbb{K}\}$ est le plus petit sous-espace contenant $v_1, \dots, v_p$.
• Une intersection de sous-espaces est un sous-espace. Le noyau d'une application linéaire est un sous-espace.
• Réunion : $F \cup G$ est un sous-espace si et seulement si $F \subset G$ ou $G \subset F$.

Démonstration (sens direct, par contraposée). Supposons $F \not\subset G$ et $G \not\subset F$ : il existe $u \in F \setminus G$ et $v \in G \setminus F$. Si $u + v \in F$, alors $v = (u + v) - u \in F$ : exclu. Si $u + v \in G$, alors $u = (u + v) - v \in G$ : exclu. Donc $u + v \notin F \cup G$, qui n'est pas stable par addition. La réciproque est immédiate ($F \cup G$ vaut $G$ ou $F$).

3. Familles libres, génératrices, bases

Soit $(e_1, \dots, e_p)$ une famille de vecteurs de $E$.

• Libre : $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_p e_p = 0_E \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0$. Une famille est liée si et seulement si l'un des vecteurs est combinaison linéaire des autres.
• Génératrice : $\mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_p) = E$.
• Base : famille libre et génératrice. Tout $x \in E$ s'écrit alors de manière unique $x = x_1 e_1 + \dots + x_p e_p$ ; les $x_i$ sont les coordonnées de $x$.
• Bases canoniques : $(e_1, \dots, e_n)$ dans $\mathbb{K}^n$ ; $(1, X, \dots, X^n)$ dans $\mathbb{K}_n[X]$ ; $(E_{ij})$ dans $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.
• Théorème de la base incomplète : si $E$ est engendré par une famille finie $\mathcal{G}$ et si $\mathcal{L}$ est une famille libre de $E$, on peut compléter $\mathcal{L}$ par des vecteurs de $\mathcal{G}$ en une base de $E$. En particulier, de toute famille génératrice finie on peut extraire une base.

4. Dimension finie

Lemme fondamental : si $E$ est engendré par $n$ vecteurs, toute famille de $n + 1$ vecteurs de $E$ est liée.
Démonstration (récurrence sur $n$). Pour $n = 0$, $E = \{0_E\}$ et une famille à un vecteur, nul, est liée. Supposons le résultat vrai au rang $n - 1$ ; soient $E = \mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ et $u_1, \dots, u_{n+1} \in E$. Écrivons $u_j = w_j + a_j e_n$ avec $w_j \in H = \mathrm{Vect}(e_1, \dots, e_{n-1})$.
1. Si tous les $a_j$ sont nuls, $u_1, \dots, u_n$ sont $n$ vecteurs de $H$, engendré par $n - 1$ vecteurs : ils sont liés, donc la famille entière aussi.
2. Sinon, quitte à renuméroter, $a_{n+1} \neq 0$. Les vecteurs $v_j = u_j - \frac{a_j}{a_{n+1}} u_{n+1}$ ($1 \le j \le n$) sont dans $H$, donc liés : il existe $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \neq 0$ avec $\sum \lambda_j v_j = 0_E$.
3. Alors $\sum_{j=1}^n \lambda_j u_j - \left(\sum_{j=1}^n \frac{\lambda_j a_j}{a_{n+1}}\right) u_{n+1} = 0_E$ est une relation non triviale : la famille est liée.

Conséquences : toutes les bases de $E$ ont le même cardinal $\dim E$ ; $\dim \mathbb{K}^n = n$, $\dim \mathbb{K}_n[X] = n + 1$, $\dim \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) = np$. Si $\dim E = n$, une famille libre (ou génératrice) de $n$ vecteurs est une base ; si $F$ est un sous-espace, $\dim F \le \dim E$ avec égalité si et seulement si $F = E$.

5. Somme, somme directe, supplémentaires

• Somme : $F + G = \{f + g \mid f \in F,\ g \in G\}$ est le plus petit sous-espace contenant $F \cup G$.
• Somme directe : la somme est directe, notée $F \oplus G$, si tout vecteur de $F + G$ s'écrit de manière unique $f + g$.
• Supplémentaires : $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$. En dimension finie, tout sous-espace admet un supplémentaire (base incomplète), qui n'est pas unique.

Proposition : $F + G$ est directe si et seulement si $F \cap G = \{0_E\}$.
Démonstration. Si la somme est directe et $x \in F \cap G$, alors $x = x + 0_E = 0_E + x$ sont deux décompositions, donc $x = 0_E$. Réciproquement, si $f + g = f' + g'$, alors $f - f' = g' - g \in F \cap G = \{0_E\}$, donc $f = f'$ et $g = g'$.

• Exemples : dans $\mathbb{R}^3$, le plan $P : x + y + z = 0$ et la droite $D = \mathrm{Vect}\big((1,1,1)\big)$ sont supplémentaires ($(1,1,1) \notin P$ et $2 + 1 = 3$). Dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, fonctions paires et impaires sont supplémentaires : $f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$.

6. Formule de Grassmann

Théorème : si $F$ et $G$ sont des sous-espaces de dimension finie,
$$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G).$$
Démonstration.
1. Soit $(e_1, \dots, e_r)$ une base de $F \cap G$. On la complète en une base $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ de $F$ et en une base $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ de $G$.
2. La famille $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)$ engendre $F + G$, car tout $f + g$ est combinaison de ses vecteurs.
3. Liberté : si $\sum a_i e_i + \sum b_j f_j + \sum c_k g_k = 0$, alors $\sum c_k g_k = -\sum a_i e_i - \sum b_j f_j \in F \cap G$, donc $\sum c_k g_k = \sum d_i e_i$ pour certains $d_i$. Par liberté de la base de $G$, tous les $c_k$ (et $d_i$) sont nuls. Il reste $\sum a_i e_i + \sum b_j f_j = 0$, d'où $a_i = b_j = 0$ par liberté de la base de $F$.
4. Ainsi $\dim(F + G) = r + s + t = (r + s) + (r + t) - r$.

Corollaire : si $\dim E$ est finie, $E = F \oplus G \iff \big(F \cap G = \{0_E\}$ et $\dim F + \dim G = \dim E\big)$.