Cours et exercices corrigés de L1 : Applications linéaires, noyau, image et Théorème du Rang

1. Applications linéaires

$f : E \to F$ est linéaire si $\forall u, v \in E,\ \forall \lambda, \mu \in \mathbb{K},\ f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$.

• Conséquence : $f(0_E) = 0_F$ (test rapide : $x \mapsto x + 1$ n'est pas linéaire).
• $\mathcal{L}(E, F)$ est un espace vectoriel ; une composée d'applications linéaires est linéaire. Vocabulaire : endomorphisme ($E = F$), isomorphisme (bijective), automorphisme (les deux). La réciproque d'un isomorphisme est linéaire.
• Exemples : la dérivation $P \mapsto P'$ sur $\mathbb{K}[X]$ ; $A \mapsto {}^t\!A$ ; $f \mapsto \int_0^1 f$ sur $\mathcal{C}([0 ; 1])$ ; $X \mapsto AX$ de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$.
• Détermination par une base : si $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ et $y_1, \dots, y_n \in F$, il existe une unique $f \in \mathcal{L}(E, F)$ telle que $f(e_i) = y_i$ pour tout $i$.

2. Noyau et image

Soit $f \in \mathcal{L}(E, F)$.

• Noyau : $\mathrm{Ker}\, f = \{x \in E \mid f(x) = 0_F\} = f^{-1}(\{0_F\})$, sous-espace de $E$.
• Image : $\mathrm{Im}\, f = \{f(x) \mid x \in E\} = f(E)$, sous-espace de $F$. Si $(e_1, \dots, e_n)$ engendre $E$, alors $\mathrm{Im}\, f = \mathrm{Vect}\big(f(e_1), \dots, f(e_n)\big)$.
• Rang : si $\mathrm{Im}\, f$ est de dimension finie, $\mathrm{rg}\, f = \dim \mathrm{Im}\, f$.
• L'image d'un sous-espace par $f$ est un sous-espace ; l'image réciproque d'un sous-espace est un sous-espace.

3. Injectivité, surjectivité, isomorphismes

• Critère d'injectivité : $f$ injective $\iff \mathrm{Ker}\, f = \{0_E\}$.

Démonstration. Si $f$ est injective et $f(x) = 0_F = f(0_E)$, alors $x = 0_E$. Réciproquement, si $\mathrm{Ker}\, f = \{0_E\}$ et $f(u) = f(v)$, alors $f(u - v) = 0_F$, donc $u - v = 0_E$.

• Surjectivité : $f$ surjective $\iff \mathrm{Im}\, f = F$ $\iff$ (si $\dim F$ finie) $\mathrm{rg}\, f = \dim F$.
• Images de familles : $f$ injective $\iff$ l'image de toute famille libre est libre ; $f$ surjective $\iff$ l'image d'une famille génératrice de $E$ engendre $F$ ; $f$ est un isomorphisme $\iff$ l'image d'une base de $E$ est une base de $F$.
• Deux espaces de dimension finie sont isomorphes si et seulement s'ils ont la même dimension.

4. Théorème du rang

Théorème : si $E$ est de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E, F)$, alors $\mathrm{Im}\, f$ est de dimension finie et
$$\dim E = \dim \mathrm{Ker}\, f + \mathrm{rg}\, f.$$
Démonstration.
1. $\mathrm{Ker}\, f$ est un sous-espace de $E$, donc de dimension finie $k$ ; soit $(u_1, \dots, u_k)$ une base de $\mathrm{Ker}\, f$, complétée en une base $(u_1, \dots, u_k, v_1, \dots, v_r)$ de $E$, avec $k + r = \dim E$.
2. Génératrice : tout $y \in \mathrm{Im}\, f$ s'écrit $y = f(x)$ avec $x = \sum a_i u_i + \sum b_j v_j$ ; comme $f(u_i) = 0_F$, $y = \sum b_j f(v_j)$. Donc $\big(f(v_1), \dots, f(v_r)\big)$ engendre $\mathrm{Im}\, f$.
3. Libre : si $\sum b_j f(v_j) = 0_F$, alors $f\big(\sum b_j v_j\big) = 0_F$, donc $\sum b_j v_j \in \mathrm{Ker}\, f$ s'écrit $\sum a_i u_i$. La relation $\sum a_i u_i - \sum b_j v_j = 0_E$ et la liberté de la base de $E$ donnent $b_j = 0$ pour tout $j$.
4. Ainsi $\mathrm{rg}\, f = r = \dim E - \dim \mathrm{Ker}\, f$.

Corollaire : si $\dim E = \dim F$ est finie, $f$ injective $\iff$ $f$ surjective $\iff$ $f$ bijective.

5. Matrice d'une application linéaire

Soient $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ une base de $E$ et $\mathcal{C} = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)$ une base de $F$.

• $\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}, \mathcal{C}}(f) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ a pour $j$-ième colonne les coordonnées de $f(e_j)$ dans $\mathcal{C}$.
• Si $X$ et $Y$ sont les colonnes de coordonnées de $x$ et de $y = f(x)$, alors $Y = AX$.
• $\mathrm{Mat}(g \circ f) = \mathrm{Mat}(g)\,\mathrm{Mat}(f)$ (bases compatibles) ; $\mathrm{rg}\, f = \mathrm{rg}\, A$ ; $f$ est un isomorphisme si et seulement si $A$ est carrée inversible, et $\mathrm{Mat}(f^{-1}) = A^{-1}$.
• Exemple : la dérivation $D$ sur $\mathbb{R}_2[X]$, base $(1, X, X^2)$ : $D(1) = 0$, $D(X) = 1$, $D(X^2) = 2X$, d'où

$$\mathrm{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathrm{rg}\, D = 2, \quad \mathrm{Ker}\, D = \mathbb{R}_0[X].$$

6. Changement de base

• La matrice de passage $P = P_{\mathcal{B} \to \mathcal{B}'}$ a pour colonnes les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base $\mathcal{B}'$ dans l'ancienne base $\mathcal{B}$ ; elle est inversible et $P^{-1} = P_{\mathcal{B}' \to \mathcal{B}}$.
• Coordonnées : si $X$ (ancienne base) et $X'$ (nouvelle base) représentent le même vecteur, alors $X = PX'$.
• Application linéaire : $A' = Q^{-1}AP$, où $P$ est le passage dans $E$ et $Q$ dans $F$. Endomorphisme : $A' = P^{-1}AP$ ; on dit que $A$ et $A'$ sont semblables. Deux matrices semblables ont même rang, même trace, même déterminant.
• Exemple : $f$ de matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$ ; avec $\mathcal{B}' = \big((1,1), (1,-1)\big)$, $f(1,1) = (3,3)$ et $f(1,-1) = (1,-1)$, donc $A' = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ (et l'on vérifie $\operatorname{Tr} A = \operatorname{Tr} A' = 4$, $\det A = \det A' = 3$).