Cours et exercices corrigés de L1 : Intégrale de Riemann sur un segment et techniques de primitivation

1. Construction de l'intégrale de Riemann

• Une subdivision de $[a ; b]$ est une suite $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$. Une fonction $\varphi$ est en escalier si elle est constante, égale à $c_k$, sur chaque $]x_k ; x_{k+1}[$ ; on pose $\int_a^b \varphi = \sum_{k=0}^{n-1} c_k (x_{k+1} - x_k)$.
• $f$ bornée sur $[a ; b]$ est intégrable si pour tout $\varepsilon > 0$ il existe $\varphi$, $\psi$ en escalier avec $\varphi \le f \le \psi$ et $\int_a^b (\psi - \varphi) \le \varepsilon$. L'intégrale de $f$ est alors l'unique réel compris entre tous les $\int \varphi$ et tous les $\int \psi$.
• Sont intégrables : les fonctions continues, continues par morceaux et monotones sur $[a ; b]$.

Démonstration (cas monotone). Soit $f$ croissante sur $[a ; b]$ et $x_k = a + k\frac{b - a}{n}$. Sur $[x_k ; x_{k+1}[$, posons $\varphi = f(x_k)$ et $\psi = f(x_{k+1})$ ; alors $\varphi \le f \le \psi$ et
$$\int_a^b (\psi - \varphi) = \frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\big(f(x_{k+1}) - f(x_k)\big) = \frac{(b - a)\big(f(b) - f(a)\big)}{n},$$
qui est inférieur à $\varepsilon$ pour $n$ assez grand.

2. Propriétés de l'intégrale

Pour $f$, $g$ intégrables sur $[a ; b]$ :

• Linéarité : $\int_a^b (\lambda f + \mu g) = \lambda\int_a^b f + \mu\int_a^b g$. Chasles : $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ (avec la convention $\int_b^a = -\int_a^b$).
• Positivité et croissance (pour $a \le b$) : $f \ge 0 \implies \int_a^b f \ge 0$ ; $f \le g \implies \int_a^b f \le \int_a^b g$ ; $\left|\int_a^b f\right| \le \int_a^b |f| \le (b - a)\sup_{[a ; b]}|f|$.
• Stricte positivité : si $a < b$, $f$ continue, $f \ge 0$ et $\int_a^b f = 0$, alors $f = 0$ sur $[a ; b]$.
• Formule de la moyenne : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ ($a < b$), il existe $c \in [a ; b]$ tel que $\frac{1}{b - a}\int_a^b f = f(c)$ (TVI appliqué entre $\min f$ et $\max f$).

3. Théorème fondamental de l'analyse

Théorème : soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. La fonction $F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ ; en particulier $F$ est $\mathcal{C}^1$ et $F' = f$. Pour toute primitive $G$ de $f$, $\int_a^b f(t)\, dt = G(b) - G(a)$.
Démonstration.
1. Soit $x \in I$ et $h \neq 0$ avec $x + h \in I$. Par Chasles, $\frac{F(x + h) - F(x)}{h} - f(x) = \frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t) - f(x)\big)\, dt$.
2. Soit $\varepsilon > 0$. Par continuité de $f$ en $x$, il existe $\delta > 0$ tel que $|t - x| \le \delta \implies |f(t) - f(x)| \le \varepsilon$.
3. Pour $0 < |h| \le \delta$, l'inégalité de la moyenne donne $\left|\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\big(f(t) - f(x)\big)\, dt\right| \le \varepsilon$. Donc $F'(x) = f(x)$.
4. Si $G$ est une autre primitive, $(G - F)' = 0$ sur l'intervalle $I$, donc $G - F$ est constante et $G(b) - G(a) = F(b) - F(a) = \int_a^b f$.

4. Intégration par parties et changement de variable

• Intégration par parties : si $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a ; b]$,

$$\int_a^b u'(t)v(t)\, dt = \big[u(t)v(t)\big]_a^b - \int_a^b u(t)v'(t)\, dt.$$
(Preuve : $(uv)' = u'v + uv'$ est continue, on intègre.) Exemple : $\int_0^1 xe^x\, dx = \big[xe^x\big]_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx = e - (e - 1) = 1$.

• Changement de variable : si $\varphi : [\alpha ; \beta] \to \mathbb{R}$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et $f$ continue sur un intervalle contenant $\varphi([\alpha ; \beta])$,

$$\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(x)\, dx = \int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\, dt.$$
(Preuve : si $F$ est une primitive de $f$, $(F \circ \varphi)' = (f \circ \varphi)\varphi'$.) La bijectivité de $\varphi$ n'est pas requise. Exemple : avec $x = \sin t$, $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^2 t\, dt = \frac{\pi}{4}$.

5. Sommes de Riemann

Théorème : si $f$ est continue sur $[a ; b]$,
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(a + k\frac{b - a}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{b - a}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(a + k\frac{b - a}{n}\right) = \int_a^b f.$$
Démonstration (cas $f$ lipschitzienne de rapport $K$, par exemple $\mathcal{C}^1$). Posons $h = \frac{b - a}{n}$ et $x_k = a + kh$. Pour $t \in [x_k ; x_{k+1}]$, $|f(t) - f(x_k)| \le K(t - x_k)$, donc
$$\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}} f - hf(x_k)\right| \le \int_{x_k}^{x_{k+1}} K(t - x_k)\, dt = \frac{Kh^2}{2}.$$
En sommant les $n$ inégalités : $\left|\int_a^b f - h\sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\right| \le \frac{nKh^2}{2} = \frac{K(b - a)^2}{2n} \to 0$. Le cas continu général se traite de même grâce à l'uniforme continuité (théorème de Heine, chapitre L1-CNT).

6. Primitives usuelles

• $\int x^\alpha\, dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha + 1}$ ($\alpha \neq -1$) ; $\int \frac{dx}{x} = \ln|x|$ sur $]-\infty ; 0[$ ou sur $]0 ; +\infty[$ ; $\int \frac{u'}{u} = \ln|u|$.
• $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x$ ; $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x$ sur $]-1 ; 1[$ ; $\int u'e^u = e^u$.
• Trinôme sans racine réelle : on écrit la forme canonique. Exemple : $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$, d'où

$$\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5} = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x + 1}{2}\right) + C.$$

• Fractions rationnelles : décomposition en éléments simples (chapitre L1-CMP), puis primitivation de chaque terme.