Cours et exercices corrigés de L1 : Formules de Taylor, développements limités et étude locale

1. Théorème de Rolle et accroissements finis

• Extremum local : si $f$ est dérivable en un point $c$ intérieur à $I$ où elle admet un extremum local, alors $f'(c) = 0$.
• Théorème de Rolle : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ ($a < b$), dérivable sur $]a ; b[$ et $f(a) = f(b)$, il existe $c \in\, ]a ; b[$ tel que $f'(c) = 0$.
• Théorème des accroissements finis (TAF) : si $f$ est continue sur $[a ; b]$ et dérivable sur $]a ; b[$, il existe $c \in\, ]a ; b[$ tel que $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$.

Démonstration.
1. Rolle : $f$ est continue sur le segment $[a ; b]$, donc bornée et atteint ses bornes $m$ et $M$. Si $m = M$, $f$ est constante et tout $c$ convient. Sinon, l'une des deux valeurs diffère de $f(a) = f(b)$ ; disons $M$, atteint en $c \in\, ]a ; b[$.
2. Pour $x \in\, ]c ; b[$, $\frac{f(x) - f(c)}{x - c} \le 0$ ; pour $x \in\, ]a ; c[$, ce quotient est $\ge 0$. En passant à la limite en $c$, $f'(c) \le 0$ et $f'(c) \ge 0$, donc $f'(c) = 0$.
3. TAF : $g(x) = f(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$ est continue sur $[a ; b]$, dérivable sur $]a ; b[$ et $g(a) = g(b) = f(a)$. Rolle donne $c$ avec $0 = g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

2. Conséquences des accroissements finis

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et dérivable à l'intérieur de $I$.

• Inégalité des accroissements finis : si $|f'| \le M$, alors $|f(x) - f(y)| \le M|x - y|$ pour tous $x, y \in I$ ($f$ est $M$-lipschitzienne).
• Monotonie : $f' \ge 0 \implies f$ croissante ; $f' > 0$ sauf en un nombre fini de points $\implies f$ strictement croissante ; $f' = 0 \implies f$ constante (sur un intervalle).
• Limite de la dérivée : si $f$ est continue en $a$, dérivable sur $I \setminus \{a\}$ et si $f'(x) \to \ell$ quand $x \to a$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$.
• Exemple : $|\sin x - \sin y| \le |x - y|$, et $|\ln x - \ln y| \le |x - y|$ pour $x, y \ge 1$.

3. Formule de Taylor avec reste intégral

Théorème : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur un intervalle $I$ et $a, x \in I$,
$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, dt.$$
Démonstration (récurrence sur $n$).
1. Rang $0$ : $f$ est $\mathcal{C}^1$, donc $f(x) = f(a) + \int_a^x f'(t)\, dt$ (théorème fondamental de l'analyse).
2. Hérédité : supposons la formule vraie au rang $n - 1$ pour les fonctions $\mathcal{C}^n$, et soit $f$ de classe $\mathcal{C}^{n+1}$. Le reste au rang $n - 1$ est $R_{n-1} = \int_a^x \frac{(x - t)^{n-1}}{(n-1)!} f^{(n)}(t)\, dt$.
3. On intègre par parties avec $u(t) = -\frac{(x - t)^n}{n!}$, $u'(t) = \frac{(x - t)^{n-1}}{(n-1)!}$, $v = f^{(n)}$, $v' = f^{(n+1)}$, toutes continues :
$$R_{n-1} = \left[-\frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n)}(t)\right]_a^x + \int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, dt = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + R_n.$$
4. En reportant dans la formule au rang $n - 1$, on obtient la formule au rang $n$.

4. Taylor-Lagrange et Taylor-Young

• Inégalité de Taylor-Lagrange : si $f$ est $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ et $|f^{(n+1)}| \le M$ entre $a$ et $x$,

$$\left|f(x) - \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k\right| \le \frac{M|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}.$$
Elle se déduit du reste intégral, puisque $\left|\int_a^x \frac{(x - t)^n}{n!}\, dt\right| = \frac{|x - a|^{n+1}}{(n+1)!}$.

• Égalité de Taylor-Lagrange : si $f$ est $n + 1$ fois dérivable et $x \neq a$, il existe $c$ strictement entre $a$ et $x$ tel que le reste vaut $\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$ (pour $n = 0$, c'est le TAF).
• Formule de Taylor-Young : si $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$ (il suffit que $f$ soit $n$ fois dérivable en $a$),

$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^k + o\big((x - a)^n\big) \quad (x \to a).$$

• Application : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\left|e^x - \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\right| \le \frac{e^{|x|}|x|^{n+1}}{(n+1)!} \to 0$, donc $e^x = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{k!}$.

5. Développements limités usuels en 0

$f$ admet un DL à l'ordre $n$ en $0$ s'il existe des réels $a_0, \dots, a_n$ tels que $f(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n + o(x^n)$ ; la partie régulière est unique. Si $f$ est paire (resp. impaire), elle ne contient que des puissances paires (resp. impaires).

• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1})$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2})$
• $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + \dots + x^n + o(x^n)$ et $\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$
• $(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^2 + \dots + \frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots(\alpha - n + 1)}{n!}x^n + o(x^n)$
• $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \dots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{2p+1} + o(x^{2p+2})$ et $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^4)$

6. Opérations sur les développements limités

• Somme : on additionne les parties régulières (à l'ordre commun le plus petit).
• Produit : on multiplie les parties régulières et on tronque à l'ordre $n$ ; si les DL commencent par $x^p$ et $x^q$, des DL à l'ordre $n - q$ et $n - p$ suffisent.
• Quotient : on se ramène à $\frac{1}{1 - u}$ avec $u \to 0$. Exemple : $\tan x = \left(x - \frac{x^3}{6}\right)\left(1 + \frac{x^2}{2}\right) + o(x^3) = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$.
• Composition : si $u(x) \to 0$ quand $x \to 0$ et si $g$ a un DL en $0$, on substitue le DL de $u$ dans celui de $g$ et on tronque. Exemple :

$$e^{\sin x} = 1 + \left(x - \frac{x^3}{6}\right) + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^3).$$

• Primitivation : si $f$ est continue sur un intervalle contenant $0$ et $f(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k + o(x^n)$, toute primitive $F$ vérifie $F(x) = F(0) + \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1}x^{k+1} + o(x^{n+1})$. Exemple : $\arctan$ s'obtient à partir de $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 + o(x^4)$.

7. Applications : limites, tangentes, asymptotes

• Limites : remplacer chaque fonction par un DL à un ordre suffisant pour faire apparaître le premier terme non nul.
• Position par rapport à la tangente : si $f(x) = a_0 + a_1(x - a) + a_p(x - a)^p + o\big((x - a)^p\big)$ avec $p \ge 2$ et $a_p \neq 0$, la tangente en $a$ est $y = a_0 + a_1(x - a)$ et la position locale de la courbe est donnée par le signe de $a_p(x - a)^p$ (point d'inflexion si $p$ est impair).
• Asymptote : si $f(x) = \alpha x + \beta + \frac{\gamma}{x^p} + o\left(\frac{1}{x^p}\right)$ quand $x \to +\infty$, avec $\gamma \neq 0$ et $p \ge 1$, la droite $y = \alpha x + \beta$ est asymptote et la courbe est au-dessus si $\gamma > 0$, en dessous si $\gamma < 0$, au voisinage de $+\infty$.